칸토어 집합 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''칸토어 집합'''({{llang|en|Cantor set}})은 0과 1 사이의 [[실수]]로 이루어진 [[집합]]으로, <math>[0, 1]</math>부터 시작하여 각 [[구간]]을 3등분하여 가운데 구간을 반복적으로 제외하는 방식으로 만들어진다.
[[파일:Cantor set in seven iterations.svg|frame|center|칸토어 집합을 제작하기 위해 7번 반복한 과정]]

== 정의 ==
칸토어 집합은 다음과 같이 만들어진다.
# 처음 구간은 <math>[0,1]</math>에서 시작한다.
# <math>[0, 1]</math> 구간을 3등분한 후, 가운데 개구간 <math>\left(\frac 1 3, \frac 2 3 \right)</math>을 제외한다. 그러면 <math>\left[0, \frac 1 3 \right] \cup \left[\frac 2 3, 1 \right]</math>가 남는다.
# 두 구간 <math>\left[0, \frac 1 3 \right]</math>, <math>\left[\frac 2 3, 1 \right]</math>의 가운데 구간을 제외한다. <math>\left[0, \frac 1 9 \right] \cup \left[\frac 2 9, \frac 1 3 \right] \cup \left[\frac 2 3, \frac 7 9 \right] \cup \left[\frac 8 9, 1 \right]</math>
# 계속해서 반복한다.
또는, 앞 단계의 구간을 <math>\frac 1 3</math>크기로 줄인 다음 두 개를 배치하는 방식으로도 같은 집합을 얻을 수 있다. 즉,
:<math>
\begin{align}
C_0 &= [0,1] \\
C_n &= \frac{C_{n-1}}{3} \cup \left(\frac{2}{3}+\frac{C_{n-1}}{3}\right)
\end{align}
</math>
이 된다.

== 성질 ==
=== 크기 ===
칸토어 집합에 포함되는 수는 [[삼진법]] [[소수 (기수법)|소수]]로 표기했을 때 모든 자릿수가 0 또는 2가 된다. 이것은 칸토어 집합을 만드는 각 단계마다 자릿수에 1이 있는 수를 점차적으로 제거하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 첫 번째 단계에는 <math>0.1xxx\cdots_{(3)}</math>가 빠지고, 두 번째 단계에는 <math>0.01xxx\cdots_{(3)}</math>과 <math>0.21xxx\cdots_{(3)}</math>가 빠지는 과정이 계속해서 일어난다. 또한 이것을 이용해 칸토어 집합의 수를 0과 1 사이의 모든 실수와 [[일대일 대응]]시킬 수 있는데, 3진수 각 자릿수의 2를 2진수에서의 1로 대응한다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.
:<math>f \left( \sum_{k=1}^\infty a_k 3^{-k} \right) = \sum_{k=1}^\infty (a_k/2) 2^{-k}</math>
따라서 칸토어 집합은 [[비가산 집합]]이며, 크기가 <math>2^{\aleph_0}</math>이다.

=== 측도 및 위상수학적 성질 ===
칸토어 집합을 만드는 과정에서, 각 단계에서 빠지는 구간의 길이는 <math>1/3,2/9,4/27,\dots</math>이 된다. 이 길이를 모두 합하면
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) = 1</math>
이 된다. 즉, 칸토어 집합은 [[르베그 측도]]가 0이다. 또한, 칸토어 집합은 [[조밀한 곳이 없는 집합]]이며, [[완전 집합]]이다.

칸토어 집합은 [[가산 무한]] 개의 두 원소 [[이산 공간]]의 [[곱공간]] <math>\{0,1\}^{\aleph_0}</math>과 [[위상동형]]이다. 특히, 칸토어 집합의 [[작은 귀납적 차원]]은 0이다.

=== 프랙털 성질 ===
칸토어 집합은 [[자기닮음]] 성질을 가지고 있는 [[프랙털]]이다. 칸토어 집합을 ⅓ 크기로 줄이면 원래 칸토어 집합의 왼쪽 부분과 같다. 따라서 칸토어 집합의 [[하우스도르프 차원]]은
:<math>\frac {\ln 2}{\ln 3}=0.6309\cdots</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[불연속점의 분류]]
* [[칸토어 함수]]
* [[코크 곡선]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=CantorSet|title=Cantor set}}

{{프랙털}}

{{전거 통제}}

[[분류:측도론]]
[[분류:게오르크 칸토어]]