카탈랑 상수 문서 원본 보기

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{{구별|카탈랑 수}}

'''카탈랑 상수'''(Catalan's constant)는 [[외젠 샤를 카탈랑]]에 의해 정의된 상수로 [[조합론]]에서 쓰인다.

== 정의 ==
카탈랑 상수는 다음과 같이 정의된다.
:<math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!</math>
여기서 ''β''는 [[디리클레 베타 함수]]를 의미한다.

카탈랑 상수의 값은 다음과 같다. {{OEIS|A006752}}

:''G'' = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

카탈랑 상수의 값은 소숫점 아래 6천 억 자리까지 계산되었으나 이 수가 [[유리수]]인지 여부는 아직 알려져 있지 않다.

== 표현 ==
카탈랑 상수는 적분을 이용하여 다음과 같이 표현된다.
:<math>G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy \!</math>

:<math>G = -\int_0^1 \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \!</math>

:<math>G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \;dt  \!</math>

:<math>G = \frac{1}{4} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \;dt \!</math>

:<math>G = \int_0^{\pi/4} \ln ( \cot(t) ) \,dt \!</math>

:<math>G = \int_0^\infty \arctan (e^{-t}) \,dt \!</math>

:<math>G = \int_1^\infty \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \!</math>

==알려진 자릿수==
카탈랑 상수 {{mvar|G}}의 알려진 세계 신기록 자릿수는 지난 몇십년간 급격하게 증가하였다. 이는 컴퓨터 성능의 향상과 알고리즘적 개선으로 인한 것이다.<ref>{{웹 인용|last1=Gourdon|first1=X.|last2=Sebah|first2=P.|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html|title=Constants and Records of Computation}}</ref>

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ 카탈랑 상수 {{mvar|G}}의 알려진 십진 자릿수
! 일자 || 십진 자릿수 || 발견자
|-
| 1832년 ||align="right"| 16 || 토마스 클라우센
|-
| 1858년 ||align="right"| 19 || 칼 요한 힐
|-
| 1864년 ||align="right"| 14 || [[외젠 샤를 카탈랑]]
|-
| 1877년 ||align="right"| 20 || 제임스 위트브레드 리 글레이셔
|-
| 1913년 ||align="right"| 32 || 제임스 위트브레드 리 글레이셔
|-
| 1990년 ||align="right"| {{val|20000}} || 그래고리 J. 피
|-
| 1996년 ||align="right"| {{val|50000}} || 그래고리 J. 피
|-
| 1996년 8월 14일 ||align="right"| {{val|100000}} || 그래고리 J. 피 & 사이먼 플루프
|-
| 1996년 9월 29일 ||align="right"| {{val|300000}} || 토마스 파파니콜라우
|-
| 1996년 ||align="right"| {{val|1500000}} || 토마스 파파니콜라우
|-
| 1997년 ||align="right"| {{val|3379957}} || 패트릭 데미첼
|-
| 1998년 1월 4일 ||align="right"| {{val|12500000}} || 하비에르 구르동
|-
| 2001년 ||align="right"| {{val|100000500}} || 하비에르 구르동 & 파스칼 세바
|-
| 2002년 ||align="right"| {{val|201000000}} || 하비에르 구르동 & 파스칼 세바
|-
| 2006년 10월 ||align="right"| {{val|5000000000}} || 시게루 콘도 & 스티브 파그리아룰로<ref>{{웹 인용|url=http://ja0hxv.calico.jp/pai/ecatalan.html# |title=Shigeru Kondo's website |access-date=2008-01-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20080211185703/http://ja0hxv.calico.jp/pai/ecatalan.html# |archive-date=2008-02-11 |url-status=dead |df= }}</ref>
|-
| 2008년 8월 ||align="right"| {{val|10000000000}} || 시게루 콘도 & 스티브 파그리아룰로<ref>[http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Constants and Records of Computation]</ref>
|-
| 2009년 1월 31일 ||align="right"| {{val|15510000000}} || 알랙산더 J. 리 & 래이먼드 찬<ref name=yee_chan>[http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html Large Computations]</ref>
|-
| 2009년 4월 16일 ||align="right"| {{val|31026000000}} || 알랙산더 J. 리 & 래이먼드 찬<ref name=yee_chan/>
|-
| 2015년 6월 7일 ||align="right"| {{val|200000001100}} || 로버트 J. 세티<ref name=setti>[http://www.numberworld.org/digits/Catalan/ Catalan's constant records using YMP]</ref>
|-
| 2016년 4월 12일 ||align="right"| {{val|250000000000}} || 론 왓킨스<ref name=setti/>
|-
| 2019년 2월 16일  ||align="right"| {{val|300000000000}} || 티지안 한셀만<ref name=setti/>
|-
| 2019년 3월 29일  ||align="right"| {{val|500000000000}} || 마이크 A & 이언 커트리스<ref name=setti/>
|-
| 2019년 7월 16일  ||align="right"| {{val|600000000100}} || 김승민<ref name=yee>[https://web.archive.org/web/20190722034426/http://www.numberworld.org/y-cruncher/ Catalan's constant records using YMP]</ref><ref name=kim>[https://ehfd.github.io/world-record/catalans-constant/ Catalan's constant world record by Seungmin Kim]</ref>
|-
|}

== 각주 ==
{{각주|2}}

== 같이 보기 ==
* [[디리클레 베타 함수]]
* [[수학 상수]]
* [[조합론]]

{{수학 상수}}

[[분류:조합론]]
[[분류:수학 상수]]