카이제곱 분포 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{확률분포 정보
| 종류 = 밀도
| pdf 그림 = chi-square distributionPDF.png
| cdf 그림 = chi-square distributionCDF.png|
| 매개변수 = [[자연수]] <math>k</math>: 자유도
| 받침 = ''x'' ∈ [0, +∞)
| pdf = <math>\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\; x^{k/2-1} e^{-x/2}</math>
| cdf = <math>\frac{1}{\Gamma(k/2)}\;\gamma(k/2,\,x/2)</math>
| 기대값 = <math>k</math>
| 중앙값 = <math>\approx k\bigg(1-\frac{2}{9k}\bigg)^3</math>
| 최빈값 = max{ ''k'' − 2, 0 }
| 분산 = <math>2k</math>
| 왜도 = <math>\scriptstyle\sqrt{8/k}</math>
| 첨도 = 12 / ''k''
| 엔트로피 = <math>\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)</math>
| mgf = <math>(1-2\,t)^{-k/2}</math>, 단 <math>|k| \le 1/2</math>
| 특성함수 = <math>(1-2\,i\,t)^{-k/2}</math><ref>{{웹 인용 | url=http://www.planetmathematics.com/CentralChiDistr.pdf | title=Characteristic function of the central chi-square distribution | author=M.A. Sanders | accessdate=2009-03-06 | 보존url=https://web.archive.org/web/20110715091705/http://www.planetmathematics.com/CentralChiDistr.pdf | 보존날짜=2011-07-15 | url-status=dead }}</ref>
}}
'''카이제곱 분포'''(χ제곱分布, {{llang|en|chi-squared distribution}}) 또는 '''χ<sup>2</sup> 분포'''는 <math>k</math>개의 서로 독립적인 [[표준정규분포|표준정규]] 확률변수를 각각 제곱한 다음 합해서 얻어지는 분포이다. 이 때 <math>k</math>를 [[자유도]]라고 하며, 카이 제곱 분포의 매개변수가 된다. 카이 제곱 분포는 [[신뢰구간]]이나 [[가설검정]] 등의 모델에서 자주 등장한다.

카이 제곱 분포는 [[감마 분포]]의 특수한 형태로 [[감마 분포]]에서 <math>k = \nu/2</math>, <math>\theta = 2</math>인 분포를 나타낸다.
:<math>f(x;\,k) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\, \mathbf{1}_{\{x\geq0\}}</math>

== 정의 ==
양의 정수 <math>k</math>가 주어졌다고 하고, <math>k</math>개의 독립적이고 [[표준정규분포]]를 따르는 [[확률변수]] <math>X_1, \cdots, X_k</math>를 정의하자.

그렇다면 '''자유도''' <math>k</math>'''의 카이 제곱 분포'''는 [[확률변수]]

:<math>Q = \sum_{i=1}^{k} X_i^2</math>
의 분포이다. 즉, <math>Q\sim\chi^2_k</math>이다.

== 성질 ==
카이 제곱 분포의 [[확률밀도함수]]는 다음과 같다.
:<math>f(x;\,k) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\, \mathbf{1}_{\{x\geq0\}}</math>
여기에서 <math>\Gamma(k/2)</math>는 [[감마 함수]]이다.

[[누적분포함수]]는 다음과 같다.
:<math>F(x;\,k) = \frac{\gamma(k/2,\,x/2)}{\Gamma(k/2)} = P(k/2,\,x/2)</math>
여기에서 <math>\gamma(s,\ x)</math>는 [[하부 불완전 감마 함수]]이다.

[[비대칭도]]는 <math>\sqrt{8/k}</math>, [[첨도]]는 <math>12/k</math>이다. 따라서 <math>k</math>가 충분히 크지 않은 경우 카이 제곱 분포를 [[중심극한정리]]를 통해 곧바로 정규분포로 근사하는 것은 오차가 많이 발생한다. 그 대신, 다른 방식의 근사 방식이 제안되어 있다.
* [[로널드 피셔]]는 <math>\sqrt{2 \chi^2_k}</math>를 정규분포로 근사하는 방법을 제안했다. 이때 평균은 <math>\sqrt{2k-1}</math>, 분산은 1이 된다.
* <math>\sqrt[3]{\chi^2_k /k}</math>를 정규분포로 근사할 수 있다. 평균은 <math>1-2/(9k)</math>, 분산은 <math>2/(9k)</math>가 된다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[카이제곱 검정]]
* [[t-분포]]

{{확률분포}}

{{전거 통제}}

[[분류:연속분포]]
[[분류:정규 분포]]