카우프먼 다항식 문서 원본 보기

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[[매듭 이론]]에서 '''카우프먼 다항식'''(Kauffman多項式, {{llang|en|Kauffman polynomial}})은 [[연환]]에 대하여 정의되는 다항식 불변량이다.

== 정의 ==
=== 매듭 그림의 뒤틀림 ===
[[유향 다양체|유향]] 연환 그림 <math>D</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그림의 각 교차점을 다음과 같이 두 가지로 분류할 수 있다.
:{| class=wikitable style="text-align: center"
| style="font-size: xx-large"| ⤱
| style="font-size: xx-large"| ⤲
|-
|| 양의 교차점 || 음의 교차점
|}
[[유향 다양체|유향]] 연환 그림의 [[방향 (다양체)|방향]]을 바꾸면, 양의 교차점은 그대로 양의 교차점으로 남으며, 음의 교차점도 마찬가지다. 따라서, (무향) 연환 그림의 양의 교차점의 수와 음의 교차점의 수롤 정의할 수 있다.


연환 그림의 양의 교차점의 수 &minus; 음의 교차점의 수를 연환 그림의 '''뒤틀림'''({{llang|en|writhe|리드}})라고 하며,
:<math>\operatorname{wr}(D)\in\mathbb Z</math>
로 표기한다.

=== 카우프먼 다항식 ===
(무향) [[연환]] 그림 <math>D</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 세 조건으로 주어지는 다항식을 생각하자.
* (A) [[자명한 매듭]] 그림 <math>\bigcirc</math>의 경우, <math>L_\bigcirc(a,z)=1</math>
* (B) 타래 관계({{llang|en|skein relation}})
::{| class=wikitable style="text-align: center"
| style="font-size: xx-large" | ⤫
| style="font-size: xx-large" | ⤬
| style="font-size: xx-large" | ≍
| style="font-size: xx-large" | 𐠷
|-
| <math>D_+</math> || <math>D_-</math> || <math>D_0</math> || <math>D_\infty</math>
|}
::<math>L_{D_+}(a,z)-L_{D_-}(a,z) = z(L_{D_0}(a,z) - L_{D_\infty}(a,z)) </math>

* (C)  Ⅰ종 [[라이데마이스터 변형]]
*:[[파일:Reidemeister Move 1.png|200px]]
*:<math>D_+ \leftrightarrow D_0 \leftrightarrow D_-</math>
*:<math>a^{\pm1 }L_{D_0}(a,z) = L_{D_\pm}(a,z)</math>

이는 [[연환]] 그림 <math>D</math>에 대하여 [[로랑 다항식]]
:<math>L_D(a,z) \in \mathbb Z[z,z^{-1}]</math>
를 정의한다. 이는 Ⅱ종 및 Ⅲ종 [[라이데마이스터 변형]]에 대하여 불변이지만, Ⅰ종 [[라이데마이스터 변형]]에 대하여 불변이지 않다.

이제, 연환 <math>L</math>의 임의의 그림 <math>D</math>를 골랐을 때, <Math>L</math>의 '''카우프먼 다항식'''은 다음과 같다.
:<math>F_L(a,z) = a^{-\operatorname{wr}(D)} L_D(a,z)</math>
이는 연환의 불변량임을 보일 수 있다.

(일부 문헌에서는 위와 약간 다른 타래 관계를 사용하나, 이들은 다 서로 동치이다.)

== 성질 ==
[[홈플리 다항식]]이 [[특수 유니터리 군]] [[천-사이먼스 이론]]에 대응되는 것처럼, 카우프먼 다항식은 [[특수 직교군]] 및 [[심플렉틱 군]] [[천-사이먼스 이론]]에 대응된다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1005.3861|이름=Marco|성=Astorino | 제목=Kauffman knot invariant from SO(''N'') or Sp(''N'') Chern–Simons theory and the Potts model | 언어=en}}</ref>

준위 <math>k\in\mathbb Z</math>의  <math>\operatorname{SO}(N)</math> [[천-사이먼스 이론]]을 생각하자. 이제,
:<math>z = \exp(-\pi\mathrm i/2k)</math>
:<math>a = z^{N-1}</math>
를 정의하자. 그렇다면, [[윌슨 고리]] <math>L</math> 연산자의 기댓값은 (복소수 위상을 무시하면) 카우프만 다항식과 같다.
:<math>\langle W(L)\rangle = \exp(\mathrm i\theta) \cdot F_L(a,z)</math>

<math>\operatorname{USp}(2N)</math> [[천-사이먼스 이론]]의 경우도 마찬가지로 카우프먼 다항식을 정의한다.

== 역사 ==
[[파일:Louis H. Kauffman, Oct 2014.jpg|thumb|right|카우프먼 (2014년 10월 31일 사진)]]
루이스 허시 카우프먼({{llang|en|Louis Hirsch Kauffman}}, 1945~)이 1990년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용
|이름=Louis Hirsch | 성=Kauffman
|제목=An invariant of regular isotopy
|저널=Transactions of the American Mathematical Society
|권= 318 | 호= 2
|날짜=1990|쪽= 417–471
|doi=10.1090/S0002-9947-1990-0958895-7
|mr= 958895
|언어=en
}}
</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Kauffman polynomial}}
* {{매스월드|id=KauffmanPolynomialF|title=Kauffman polynomial ''F''}}
* {{매스월드|id=BracketPolynomial|title=Bracket polynomial}}
* {{매스월드|id=KauffmanPolynomialX|title=Kauffman polynomial ''X''}}

* {{웹 인용|url=http://katlas.org/wiki/The_Kauffman_Polynomial | 제목=The Kauffman polynomial | 웹사이트= The Knot Atlas | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:다항식]]
[[분류:매듭 불변량]]