카시미르 원소 문서 원본 보기

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[[리 대수]] 이론에서, '''카시미르 원소'''(Casimir元素, {{llang|en|Casimir element}})는 [[리 대수]]의 [[보편 포락 대수]]의 [[환의 중심|중심]]의 특별한 원소이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[보편 포락 대수]] <math>\operatorname U(\mathfrak g)</math>의 [[환의 중심|환으로서의 중심]] <math>\operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g))</math>를 생각하자. 이는 <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]]이다. 물론, 이는 <math>\operatorname U(\mathfrak g)</math>의 표준적인 [[자연수]] 등급에 의하여 [[등급 벡터 공간]]으로 분해된다.
:<math>\operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g)) = \bigoplus_{i=0}^\infty \operatorname Z_i(\operatorname U(\mathfrak g))</math>

[[푸앵카레-버코프-비트 정리]]에 따라서, <math>\operatorname Z_i(\operatorname U(\mathfrak g))</math>는 <math>\mathfrak g^*</math> 변수의 <math>i</math>차 [[불변 다항식]]들의 공간과 같다.

두 불변 다항식의 곱은 물론 불변 다항식이다. 두 (양의 차수의) 불변 다항식의 곱으로 표현될 수 없는 [[동차 다항식|동차]] 불변 다항식에 대응하는 <math>\operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g))</math>의 원소를 <math>\mathfrak g</math>의 '''카시미르 원소'''라고 한다.

=== 이차 카시미르 원소 ===
특히, 만약 <math>\mathfrak g</math>가 [[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>위의 [[단순 리 대수]]라면, 그 [[킬링 형식]] <math>B</math>는 [[비퇴화 이차 형식]]이며, 그 역행렬 <math>B^{-1}(-,-)</math>은 <math>\mathfrak g^*</math> 위의 2차 불변 다항식이므로, 카시미르 원소를 이룬다. 이를 <math>\mathfrak g</math>의 '''이차 카시미르 원소'''({{llang|en|quadratic Casimir element}})라고 한다.

특히, 만약 <math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]일 때, <math>B</math>에 대한 [[정규 직교 기저]]를 <math>x_i</math>라고 하면, 이차 카시미르 원소는 다음과 같다.
:<math>C=\sum_i x_ix_i\in\operatorname U(\mathfrak g)</math>

== 성질 ==
=== 하리시찬드라 동형 ===
만약 <math>\mathfrak g</math>가 ([[대수적으로 닫힌 체]]일 필요가 없는) [[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] 위의 [[가약 리 대수]]일 경우, '''하리시찬드라 동형'''({{llang|en|Harish-Chandra isomorphism}})에 의하여, 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.
:<math>\operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g)) \to \operatorname{Sym}(\mathfrak g)^{\operatorname W(\mathfrak g)}</math>
여기서 우변은 <math>\mathfrak g</math>로 생성되는 [[대칭 대수]]의 원소 가운데, [[바일 군]] <Math>\operatorname W(\mathfrak g)</math>의 [[군의 작용|작용]]에 대하여 불변인 것들의 부분 공간이다.

=== 라플라스-벨트라미 연산자 ===
[[리 군]] <math>G</math>의 [[리 대수]]가 [[반단순 리 대수]]라고 하자. 그렇다면, 그 위에서 [[킬링 형식]] <math>B</math>는 [[준 리만 계량]]을 정의하며, 2차 카시미르 불변량은 이 [[준 리만 다양체]] <math>(G,B)</math>의 [[라플라스-벨트라미 연산자]] <math>\Delta_B</math>와 같다.

== 예 ==
[[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 ([[양의 정부호]]) [[3차원 직교군|3차원 직교 리 대수]] <math>\mathfrak{so}(3;K)</math>를 생각하자. 그 [[기저 (선형대수학)|기저]]는 다음과 같이 잡을 수 있다.
:<math>
L_x=
\begin{pmatrix}
0& 0& 0\\
0& 0& -1\\
0& 1& 0
\end{pmatrix},
L_y=
\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 0& 0\\
-1& 0& 0
\end{pmatrix},
L_z=
\begin{pmatrix}
0& -1& 0\\
1& 0& 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix}
</math>

그렇다면, 이차 카시미르 원소
:<math>L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2 
= -2
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}</math>
을 정의할 수 있다. 이는 대각 행렬이므로, [[보편 포락 대수]]의 [[환의 중심|중심]]에 속함을 알 수 있다.

[[양자역학]]에서, <math>L_i</math>는 세 직교 방향에 대한 [[각운동량]]에 해당하며, 이차 카시미르 원소 <math>L^2</math>는 각운동량의 크기의 절댓값의 제곱의 [[기댓값]]이다. (이는 물론 각운동량의 크기의 절댓값의 기댓값의 제곱과 다르다.) [[총 각운동량 양자수]]의 스칼라 값을 <math>\ell</math>이라고 할 때, 이는 <math>\ell(\ell+1)</math>에 해당한다. 여기서 사용한 3차원 정의(定義) [[리 대수의 표현|표현]]은 [[스핀 (물리학)|스핀]] <math>\ell=1</math>에 해당하므로, <math>L^2 = 2</math>가 된다.
 
== 역사 ==
[[헨드릭 카시미르]]가 양자 강체 동역학에 대한 1931년 박사 학위 논문에서 <math>\mathfrak{so}(3)</math>의 이차 카시미르 불변량을 최초로 사용하였다.<ref>{{서적 인용|성=Oliver|이름=David|날짜=2004|제목=The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-40307-6|doi=10.1007/b97539 | url = https://archive.org/details/springer_10.1007-b97539 |언어=en}}</ref>{{rp|81}}<ref>{{서적 인용|url=http://ilorentz.org/history/proefschriften/sources/Casimir_1931.pdf | 이름=H. B. G.|성=Casimir|저자링크=헨드릭 카시미르 | 제목=Rotation of a rigid body in quantum mechanics | 날짜=1931 | 출판사= J. B. Wolters’ Uitgevers-Maatschappĳ N.V. | 위치=[[네덜란드]] | 언어=en}}</ref>

하리시찬드라 동형은 [[하리시찬드라 메로트라]]가 도입하였다.

== 같이 보기 ==
* [[파울리-루반스키 벡터]]
* [[클렙슈-고르단 계수]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Casimir element}}
* {{매스월드|id=CasimirOperator|title=Casimir operator}}
* {{nlab|id=Casimir operator}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/52587/basis-free-definition-of-casimir-element | 제목=Basis-free definition of the Casimir element | 웹사이트=Math Overflow | 언어=en}}

[[분류:리 대수]]