카스너 계량 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{일반상대론|solutions}}

[[파일:Kasner-simple.gif|오른쪽|섬네일|276x276픽셀| '''그림 1.'''  [[구면좌표계|구형 좌표]]계에서 특이점을 향한 카스너 메트릭 {{EquationNote|eq. 2}} 의 동역학. Lifshitz-Khalatnikov 매개변수는 ''u'' =2 (1/ ''u'' =0.5)이고 ''r'' 좌표는 2 ''p'' <sub>α</sub> (1/ ''u'' )τ인데 여기서 τ는 로그 시간 즉 τ = ln ''t''이다.<ref>The expression for ''r'' is derived by logarithming the power coefficients in the metric: ln [''t''<sup>2''p''<sub>α</sub>(1/''u'')</sup>] = 2''p''<sub>α</sub>(1/''u'') ln ''t''.</ref> 축을 따라 축소되는 현상은 선형적이고 균일하다(혼돈 없음).]]

'''카스너 계량'''({{llang|en|Kasner metric}})은 [[알베르트 아인슈타인]]의 [[일반 상대성이론|일반 상대성]] 이론에 대한 [[일반 상대성 이론의 엄밀 해|엄밀 해]]의 하나로 [[물질]]이 없는(즉, 진공 해이다) 이방성 [[우주]]를 기술한다. 1921년 미국 수학자 [[에드워드 캐스너|에드워드 카스너]]에 의하여 개발되어 그의 이름을 따서 명명되었다.<ref>Kasner, E. "Geometrical theorems on Einstein’s cosmological equations." ''Am. J. Math.'' '''43''', 217–221 (1921).</ref> 이 해는  <math>D>3</math> 인 어떤 [[시공간]] [[차원]]에서도 기술될 수 있으며 중력 [[혼돈 이론|혼돈]] 연구와 강한 연관성을 가지고 있다.

== 계량 및 조건 ==
차원 <math>D>3</math>인 시공간에서 카스너 계량은,

: <math>\text{d}s^2 = -\text{d}t^2 + \sum_{j=1}^{D-1} t^{2p_j} [\text{d}x^j]^2</math>

으로 카스너 지수라고 불리는 상수 <math>p_j</math>가  <math>D-1</math>개 포함되어 있다. 카스너 계량은 등시간 조각이 공간적으로 평평한 시공간을 기술하는데, 이 공간은 서로 따른 방향으로 <math>p_j</math> 값에 따라 서로 다른 비율로 확장하거나 수축한다. 이 계량에서 [[공변거리|공변좌표]]가 <math>\Delta x^j</math> 만큼 차이가 나는 시험 입자는 <math>t^{p_j}\Delta x^j</math> 의 물리적 거리만큼 떨어져 있다.

카스너 계량은 카스너 지수가 다음의 카스너 조건을 만족할 때 진공에서 아인슈타인 등식의 엄밀해의 하나이다.

: <math>\sum_{j=1}^{D-1} p_j = 1,</math>

: <math>\sum_{j=1}^{D-1} p_j^2 = 1.</math>

첫 번째 조건은 카스너 평면이라는 [[평면]]을 정의하고, 두 번째 조건은 구의 일종은 카스너 [[구 (기하학)|구]]를 설명한다. 따라서 두 조건을 충족하는 해(즉 <math>p_j</math>의 선택)는  두 조건이 교차하는 구(때때로 혼란스럽게도 이것도 카스너 구로 불린다) 상에 있다. <math>D</math> 차원의 시공간에서 해의 공간은 <math>D-3</math> 차원의 구 <math>S^{D-3}</math> 상에 존재한다.

== 특징 ==
카스너 해에는 눈에 띄고 특이한 몇 가지 특징이 있다. 즉,

* 공간 조각의 부피는 항상 <math>O(t)</math>인데, 이는 그 양이 <math>\sqrt{-g}</math>에 비례하고, 또한

:: <math>\sqrt{-g} = t^{p_1 + p_2 + \cdots + p_{D-1}} = t</math>

: 이기 때문인데 여기서 우리는 첫 번째 카스너 조건을 사용했다. 따라서 그러므로 <math>t\to 0</math>일 때  <math>t</math>의 방향에 따라서,[[대폭발|빅뱅]] 또는 [[대함몰|빅 크런치]]를 설명할 수 있다.

* [[우주팽창|공간의]] [[등방성]] 확장이나 수축은 허용되지 않는다. 공간 조각이 등방성으로 확장되는 경우 모든 카스너 지수는 동일해야 하고 따라서 첫번째 카스너 조건을 만족시키기 위해서  <math>p_j = 1/(D-1)</math> 가 된다. 하지만 이때는 두 번째 카스너 조건이 충족될 수 없는데, 이는

:: <math>\sum_{j=1}^{D-1} p_j^2 = \frac{1}{D-1} \ne 1</math>

:이기 때문이다.

: 이와 대조적으로 [[우주론]] 에서 사용되는 [[프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량]]은 물질의 존재로 인해 등방성으로 팽창하거나 수축할 수 있다.

* 조금 더 계산하면, 하나의 <math>p_j=1</math>이고 나머지는 0이 되는 해가 적어도 아니라면, 최소한 하나의 카스너 지수가 항상 음수라는 것을 보여줄 수 있다. 우리가 시간 좌표 <math>t</math>가 0에서 증가한다고 가정하자. 그렇다면 이는 공간의 부피가  <math>t</math>,와 같이 증가할 때에, 적어도 하나의 방향(음의 카스너 지수에 해당)은 실제로 '수축'하고 있다는 것을 의미한다.
* 카스너 계량이 진공 아인슈타인 방정식에 대한 해이므로, [[리치 곡률 텐서|리치 텐서]]는  카스너 조건을 충족하는 어떤 지수에 대해서도 항상 소멸한다. 전체 [[리만 곡률 텐서|리만 텐서]]는 하나의 <math>p_j=1</math> 이고 나머지에 대해서는 소멸하고, 이 경우 공간은 평평해진다. [[민코프스키 계량]]은 좌표 변환  <math>t' = t \cosh x_j</math> 및 <math>x_j' = t \sinh x_j</math> 을 통해 찾을 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[BKL 특이점]]
* [[믹스마스터 우주]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=[[Gravitation (book)|Gravitation]]|성=Misner|이름=Charles W.|성2=Kip S. Thorne|날짜=September 1973|출판사=[[W. H. Freeman]]|위치=San Francisco|isbn=0-7167-0344-0|성3=John Archibald Wheeler}}

{{상대론}}

[[분류:일반 상대성 이론의 엄밀해]]