카르티에 인자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''카르티에 인자'''(Cartier因子, {{llang|en|Cartier divisor}})는 [[국소환 달린 공간]] 위에 정의될 수 있는 어떤 [[아벨 군]] 층의 단면이며, 특수한 경우 [[선다발]]에 대응한다. 적절한 조건을 만족시키는 [[스킴 (수학)|스킴]]의 경우, 카르티에 인자에서 [[베유 인자]]로 가는 [[단사 함수]]가 존재하며, [[비특이 대수다양체]]의 경우에 이는 [[전단사 함수]]이다 (즉, 모든 [[베유 인자]]는 카르티에 인자이다).

== 정의 ==
[[국소환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math>의 [[유리 함수층]] <math>\mathcal K_X</math>를 생각하자. 그렇다면 다음과 같은, [[아벨 군]] [[층 (수학)|층]]의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>\underline 1\to\mathcal O^\times_X\to\mathcal K_X^\times\to\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times\to \underline 1</math>
여기서 <math>(-)^\times</math>는 [[가역원층]]을 뜻하며, <math>\underline1</math>은 [[자명군]]의 [[상수층]]이다.

<math>X</math>의 '''카르티에 인자층'''(Cartier主因層, {{llang|en|sheaf of Cartier divisors}})은 다음과 같은 [[아벨 군]]층이다.
:<math>\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times</math>
<math>X</math>의 '''카르티에 인자군'''은 카르티에 인자층의 대역 [[단면 (올다발)|단면]]들의 [[아벨 군]], 즉
:<math>\operatorname{CaDiv}(X)=\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)</math>
이다. <math>X</math>의 '''카르티에 인자'''는 카르티에 인자층의 대역 단면, 즉 카르티에 인자군의 원소이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| year = 1977|제목=Algebraic Geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285|언어=en}}</ref>{{rp|141}}<ref name="Liu">{{서적 인용
 |이름       = Qing
 |성          = Liu
 |날짜       = 2006-06-29
 |제목       = Algebraic geometry and arithmetic curves
 |기타       = Reinie Erne 역
 |총서       = Oxford Graduate Texts in Mathematics
 |volume       = 6
 |출판사    = Oxford University Press
 |isbn         = 978-0-19-920249-2
 |zbl          = 1103.14001
 |mr           = 1917232
 |판          = 2
 |url          = http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |언어       = en
 |확인날짜 = 2017-12-07
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20160305003407/http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |보존날짜 = 2016-03-05
 |url-status = dead
}}</ref>{{rp|256, Definition 7.1.17}} 즉, 구체적으로 <math>X</math>의 카르티에 인자는 <math>X</math>의 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math> 및 [[유리 함수층|유리 함수]] <math>\{f_i\in\Gamma(U_i,\mathcal K_X^\times)\}_{i\in I}</math>로 정의되며, 이 경우 임의의 <math>i,j\in I</math>에 대하여 만약 <math>U_i\cap U_j\ne\varnothing</math>이라면
:<math>f_i/f_j\in\Gamma(U_i\cap U_j;\mathcal O_X^\times)</math>
이어야 한다.

=== 효과적 인자 ===
'''효과적 카르티에 인자'''(效果的Cartier因子, {{llang|en|effective Cartier divisor}})는 [[모노이드 준동형]]
:<math>\Gamma(X;\mathcal O_X\cap\mathcal K^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K^\times/\mathcal O_X^\times)</math>
의 상에 속하는 카르티에 인자이다.<ref name="Liu"/>{{rp|256, Definition 7.1.17}} 즉, 위와 같이 구체적으로 <math>\{(U_i,f_i)\}_{i\in I}</math>로 나타내었을 때, <math>f_i\in\Gamma(U_i,\mathcal O_X)\cap\Gamma(U_i,\mathcal K_X^\times)</math>로 잡을 수 있는 카르티에 인자이다.<ref  name="Hartshorne"/>{{rp|145}} 이 경우, 각 <math>f_i</math>는 [[아이디얼 층]] <math>(f_i)</math>를 정의하며, 이는 [[여차원]]이 1인 부분 스킴을 정의한다.

=== 카르티에 인자 유군 ===
층의 [[짧은 완전열]]에 따라서, 다음과 같은 [[아벨 군]]의 [[긴 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to\Gamma(X;\mathcal O^\times_X)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\xrightarrow{(-)}\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)\to\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)=\operatorname{Pic}(X)\to\operatorname H^1(X;\mathcal K_X^\times)\to\cdots</math>
'''카르티에 주인자'''(Cartier主因子, {{llang|en|principal Cartier divisor}})는 <math>(-)\colon\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)</math>의 [[상 (수학)|상]]에 속하는 카르티에 인자이다.<ref name="Liu"/>{{rp|256, Definition 7.1.17}} 이에 대한 [[몫군]]
:<math>\frac{\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)}{(\Gamma(X;\mathcal K_X^\times))}</math>
을 '''카르티에 인자 유군'''({{llang|en|Cartier divisor class group}})이라고 한다.<ref name="Liu"/>{{rp|256, Definition 7.1.17}}

[[완전열]]의 정의에 따라 카르티에 인자 유군은 [[피카르 군]] <math>\operatorname{Pic}(X)=\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)</math>의 [[부분군]]이며, 만약 <math>\operatorname H^1(X;\mathcal K_X^\times)=1</math>이라면 카르티에 인자 유군은 [[피카르 군]]과 일치한다. 이것이 성립할 [[충분 조건]]은 <math>X</math>가 [[축소 스킴|축소]] [[뇌터 스킴]]인 것이다.<ref name="Liu"/>{{rp|257, Corollary 7.1.19}}

== 성질 ==
<math>X</math>가 [[정역 스킴]]이라고 하자. 그렇다면, [[피카르 군]] <math>\operatorname{Pic}(X)</math>은 [[가역층]]들의 동치류들로 구성될 수 있으며, 카르티에 인자 유군은 피카르 군의 부분군이므로, 카르티에 인자 <math>D</math>에 대응하는 [[선다발]] <math>\mathcal L(D)</math> (또는 [[가역층]] <math>\mathcal O_X(D)</math>)을 정의할 수 있으며, 인자의 합은 이 선다발의 [[텐서곱]]에 해당한다.

구체적으로, <math>X</math>의 (충분히 섬세한) [[열린 덮개]] <math>(U_i)_{i\in I}</math>에 대하여, [[선다발]]은 <math>U_i</math>와 <math>U_j</math> 사이의 전이 사상({{llang|en|transition map}}) <math>h_{ij}\colon U_i\cap U_j\to k^\times</math>들로 정의된다. 카르티에 인자
:<math>\{[f_i]\}_{i\in I}</math>
:<math>[f_i] \in \Gamma(U_i;\mathcal K_X/\mathcal O_X^\times) </math>
:<math>f_i \in \Gamma(U_i;\mathcal K_X) = \operatorname{Frac}(\Gamma(U_i;\mathcal O_X))</math>
가 주어졌을 때, 전이 사상들을
:<math>h_{ij} = \frac{\operatorname{res}_{U_i\cap U_j}^{U_i}f_i}{\operatorname{res}_{U_i\cap U_j}^{U_j}f_j}
\in\Gamma(U_i\cap U_j\in\mathcal K_X)
</math>
로 정의하자. 그렇다면, 이는 전이 사상의 성질들 <math>h_{ij}h_{ji}=1</math>, <math>h_{ij}h_{jk}h_{ki}=1</math>을 만족시킴을 쉽게 알 수 있다.

== 역사 ==
[[베유 인자]]의 개념을 1950년대에 [[피에르 카르티에]]가 개량하여, [[층 (수학)|층]] 이론을 사용하여 카르티에 인자를 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=P.|성=Cartier|저자링크=피에르 카르티에|제목=Questions de rationalité des diviseurs en géometrie algébrique|저널=Bulletin de la Société Mathématique de France|권=86|날짜=1958|쪽= 177–251|mr=0106223|zbl=0091.33501|issn=0037-9484|url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1958__86__177_0|언어=fr}}</ref> 이로서 후자는 [[특이점 (대수기하학)|특이점]]이 있는 공간에도 적용할 수 있게 되었다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Divisor (algebraic geometry)}}
* {{nlab|id=Cartier divisor}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2008/04/16/weil-divisors-cartier-divisors-and-more-line-bundles/ | 제목=Weil divisors, Cartier divisors and more line bundles|웹사이트=Rigorous Trivialities|날짜=2008-04-16|이름=Charles|성=Siegel|언어=en}}

[[분류:대수기하학]]