카르탕 행렬 문서 원본 보기

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수학에서, '''카르탕 행렬'''(Cartan行列, {{llang|en|Cartan matrix}})은 특정 조건을 만족시키는 정수 [[정사각 행렬]]이다.

== 정의 ==
정수 성분 [[정사각 행렬]]
:<math>A\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb Z)</math>
가 다음 조건을 만족시킨다면, '''카르탕 행렬'''이라고 한다.
* 모든 <math>i\in\{1,2,\dots,n\}</math>에 대하여, <math>A_{ii}=2</math>
* 모든 <math>i,j\in\{1,2,\dots,n\}</math>에 대하여, 만약 <math>i\ne j</math>라면 <math>A_{ij}\le0</math>
* 모든 <math>i,j\in\{1,2,\dots,n\}</math>에 대하여, 만약 <math>A_{ij}=0</math>이라면 <math>A_{ji}=0</math>

=== 딘킨 도표 ===
카르탕 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb Z)</math>가 주어졌을 때, 이에 대응하는 '''딘킨 도표'''({{llang|en|Dynkin diagram}})는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[그래프]] <math>\Gamma</math>
*:<math>\operatorname V(\Gamma) = \{1,\dotsc,n\}</math>
*:<math>\operatorname E(\Gamma) = \{ \{i,j\} \colon A_{ij} < 0\}</math>
* 각 변 <math>\{i,j\} \in\operatorname E(\Gamma)</math>에 대하여, 양의 정수 [[순서쌍]] <math>(|A_{ij}|, |A_{ji}|)</math>
이 데이터로부터 카르탕 행렬을 재구성할 수 있다.

== 분류 ==
<math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>에 대하여, 만약
:<math>M_{ij}=0\;\forall i\in I,\;j\in\{1,\dotsc,n\}\setminus J</math>
인 <math>\varnothing\ne I\subsetneq \{1,\dotsc,n\}</math>가 존재하지 않는다면, <math>M</math>을 '''분해 불가능 행렬'''({{llang|en|indecomposable matrix}})이라고 하자. 모든 행렬은 분해 불가능 행렬들의 직합으로 표현된다.

분해 불가능 카르탕 행렬 <math>A</math> 가운데, 다음과 같이 [[대각 행렬]]과 [[대칭 행렬]]의 곱으로 표현될 수 있는 것을 '''대칭화 가능 카르탕 행렬'''({{llang|en|symmetric Cartan matrix}})이라고 한다.
:<math>A=DS</math>, <math>D,S\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)</math>
:<math>S_{ij}=S_{ji}</math>
:<math>D=\operatorname{diag}(D_{11},\dotsc,D_{nn})</math>
이 경우, 항상 <math>D_{ij}</math>의 대각선 성분을 양의 정수로, <math>S_{ij}</math>의 성분을 [[유리수]]로 잡을 수 있다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
분해 가능 대칭화 가능 카르탕 행렬은 분해 불가능 대칭화 가능 카르탕 행렬들의 직합이므로, 분해 불가능인 경우만 고려하면 족하다.

<math>A</math>가 분해 불가능 대칭화 가능 카르탕 행렬이라고 하고, 그 분해를
:<math>A=DS</math>
:<math>D,S\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)</math>
라고 하자. 이제, 각 <math>i\in\{1,\dotsc,n\}</math>에 대하여, <math>2=A_{ii}=D_iS_{ii}</math>이므로 <math>D_{ii}\ne0</math>이다.

이제, 각 <math>i,j\in\{1,\dotsc,n\}</math>에 대하여, 만약 <math>A_{ij}\ne0</math>이라면, 
:<math>D_i/D_j = A_{ij}/A_{ji} \in \mathbb Q^+</math>
이다. 분해 불가능 조건에 따라, 이 값들은 <math>(D_{11},\dotsc,D_{nn})</math>의 [[사영 공간|사영]] [[동치류]]를 결정하며, 성분의 비가 모두 양의 유리수이므로 이 동치류는 양의 정수 성분의 대표원
:<math>\tilde D=aD\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb Z^+)</math>
:<math>a\in\mathbb R^\times</math>
을 갖는다. 이 경우
:<math>\tilde S=a^{-1}S</math>
를 놓으면
:<math>A=\tilde D\tilde S</math>
이다. 또한,
:<math>\tilde S_{ij}=\frac{A_{ij}}{\tilde D_{ii}}\in\mathbb Q</math>
이므로,
:<math>\tilde S\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb Q)</math>
이다.
</div></div>

대칭화 가능 카르탕 행렬은 <math>n</math>개의 실수 [[고윳값]]을 가진다. 대칭화 가능 카르탕 행렬 <math>A</math>들은 그 [[고윳값]]에 따라 다음과 같이 분류된다.
* 만약 <math>A</math>의 [[고윳값]]이 모두 양수일 경우, 카르탕 행렬을 '''유한형 카르탕 행렬'''이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 복소수 [[단순 리 대수]]와 [[일대일 대응]]한다.
* 만약 <math>A</math>의 [[고윳값]]이 모두 양수 또는 0이며, 0을 하나 이상 포함할 경우, 카르탕 행렬을 '''아핀 카르탕 행렬'''이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 [[아핀 리 대수]]와 [[일대일 대응]]한다.
* 만약 <math>A</math>의 [[고윳값]]이 음수를 포함한다면, 카르탕 행렬을 '''아핀 카르탕 행렬'''이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 [[아핀 리 대수]]와 [[일대일 대응]]한다.

== 예 ==
1×1 카르탕 행렬은
:<math>A=\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}</math>
밖에 없다.

2×2 카르탕 행렬들은 다음과 같다.
:<math>A=\begin{pmatrix}
2&a\\
b&2
\end{pmatrix}</math>
2×2의 경우, 만약 <math>a,b\ne 0</math>이라면 항상
:<math>
A = \begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & b
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2/a & 1 \\
1 & 2/b
\end{pmatrix}
</math>
으로 놓을 수 있어, 항상 대칭 카르탕 행렬이다. <math>A</math>의 [[고윳값]]은
:<math>\lambda_\pm=2\pm\sqrt{ab}</math>
이다.

이 경우,
* 유한형 카르탕 행렬은 (<math>a\le b</math>라고 놓으면) <math>(a,b)\in\{(0,0),(-1,-1),(-2,-1),(-3,-1)\}</math>이다. 이들은 각각 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak a_1\oplus\mathfrak a_1</math>, <math>\mathfrak a_2</math>, <math>\mathfrak b_2=\mathfrak c_2</math>, <math>\mathfrak g_2</math>에 대응된다.
* 아핀 카르탕 행렬은 (<math>a\le b</math>라고 놓으면) <math>(a,b)\in\{(-4,-1), (-2,-2) \}</math>이다. 이들은 각각 [[아핀 리 대수]] <math>\mathfrak a_1^{(1)}</math> 및 <math>\mathfrak a_2^{(2)}</math>에 해당한다.

== 역사 ==
[[엘리 카르탕]]의 이름을 땄으나, 이름과 달리 [[빌헬름 킬링]]이 최초로 사용하였다.

== 같이 보기 ==
* [[기본 표현]]
* [[킬링 형식]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cartan matrix}}
* {{매스월드|id=CartanMatrix|title=Cartan matrix|이름=Todd|성=Rowland}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:행렬]]