침몰 (수학) 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서, '''침몰'''(沈沒, {{llang|en|submersion}})은 [[접공간]] 사이의 [[전사 함수]]를 유도하는 [[매끄러운 함수]]이다. [[몰입 (수학)|몰입]]의 쌍대 개념이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* 두 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>, <math>N</math>
* [[매끄러운 함수]] <math>f \colon M \to N</math>
그렇다면, 각 점 <math>x\in M</math>에서, [[실수 선형 변환]]
:<math>\mathrm T_xf\colon\mathrm T_xM \to \mathrm T_{f(x)}N</math>
을 정의할 수 있다. 여기서 <math>\mathrm T_xM</math>은 <math>M</math>의 <math>x</math>에서의 [[접공간]]이다.

만약 <math>\mathrm T_xf</math>가 [[전사 함수]]라면, <math>f</math>를 <math>x</math>에서의 '''침몰'''이라고 하며, <math>x</math>를 <math>f</math>의 '''정칙점'''({{llang|en|regular point}})이라고 한다. 만약 <math>f</math>가 모든 <math>x\in M</math>에서 침몰이라면, <math>f</math>를 단순히 '''침몰'''이라고 한다.

(반대로, 만약 <math>\mathrm T_xf</math>가 [[단사 함수]]라면 <math>f</math>를 '''[[몰입 (수학)|몰입]]'''이라고 한다.)

== 성질 ==
=== 존재 ===
<math>m</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>과 <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>N</math> 사이에서, 정칙점을 하나 이상 갖는 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon M\to N</math>가 존재할 [[필요 조건]]은 <math>m \ge n</math>인 것이다.

=== 점의 원상의 매끄러운 다양체 구조 ===
두 [[매끄러운 다양체]] 사이의 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon M\to N</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>y\in N</math>에 대하여, 모든 <math>f^{-1}\{y\}\subseteq M</math>의 원소가 정칙점이라면, <math>y\in N</math>를 <math>f</math>의 '''정칙치'''(正則値, {{llang|en|regular value}})라고 한다.

두 [[매끄러운 다양체]] 사이의 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon M\to N</math>의 정칙치 <math>y\in N</math>에 대하여, <math>f^{-1}\{y\}\subseteq M</math>은 [[매끄러운 다양체]]를 이룬다.

=== 국소 정규 형식 ===
<math>m</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>과 <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>N</math> 사이의 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon M\to N</math>의 정칙점 <math>x\in M</math>이 주어졌다고 하자. '''침몰 정리'''({{llang|en|submersion theorem}})에 따르면, 다음 조건을 만족시키는
* [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>
* [[열린 근방]] <math>V\ni f(x)</math>
* 국소 좌표계([[정의역]]과 [[상 (수학)|상]] 사이의 [[미분 동형]]을 정의하는 [[단사 함수|단사]] [[매끄러운 함수]]) <math>\phi\colon U\to \mathbb R^m</math>
* 국소 좌표계([[정의역]]과 [[상 (수학)|상]] 사이의 [[미분 동형]]을 정의하는 [[단사 함수|단사]] [[매끄러운 함수]]) <math>\chi\colon V\to \mathbb R^n</math>
가 항상 존재한다.
:<math>\chi\circ f\circ\phi^{-1} = \pi_{m,n}\restriction \phi(U)</math>
여기서
* <math>\pi_{m,n} \colon\mathbb R^{m-n}\times\mathbb R^n\twoheadrightarrow\mathbb R^n</math>은 사영 함수이다.

== 예 ==
임의의 두 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>, <math>N</math>이 주어졌을 때, 사영 함수
:<math>\pi \colon M\times N\twoheadrightarrow N</math>
은 침몰이다.

보다 일반적으로, 임의의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>은 침몰이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|ref=harv|first1=V. I.|last1=Arnold|authorlink1=블라디미르 아르놀트|first2=S. M.|last2=Gusein-Zade|first3=A. N.|last3=Varchenko|title=Singularities of Differentiable Maps: Volume 1|url=https://archive.org/details/singularitiesofd0002arno|publisher=Birkhäuser|year=1985|ISBN=0-8176-3187-9}}
* {{인용|first=J. W.|last=Bruce|first2=P. J.|last2=Giblin|title=Curves and Singularities|publisher=Cambridge University Press|year=1984|ISBN=0-521-42999-4}}
* {{서적 인용|ref=harv|last1=Crampin|first1=Michael|last2=Pirani|first2=Felix Arnold Edward|title=Applicable differential geometry|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge, England|year=1994|isbn=978-0-521-23190-9}}
* {{서적 인용|ref=harv|title = Riemannian Geometry|first=Manfredo Perdigao | last = do Carmo | year = 1994|isbn=978-0-8176-3490-2}}
* {{서적 인용|ref=harv|last=Frankel|first=Theodore|title=The Geometry of Physics|url=https://archive.org/details/geometryofphysic0000fran|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|year=1997|isbn=0-521-38753-1}}
* {{서적 인용|ref=harv | last1=Gallot | first1=Sylvestre | last2=Hulin | first2=Dominique | last3=Lafontaine | first3=Jacques | title=Riemannian Geometry | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-3-540-20493-0 | year=2004}}
* {{서적 인용|ref=harv|last=Kosinski|first=Antoni Albert|year=2007|origyear=1993|title=Differential manifolds|url=https://archive.org/details/differentialmani0000kosi_k1k6|location=Mineola, New York|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-46244-8}}
* {{서적 인용|ref=harv | isbn = 978-0-387-98593-0 | title = Fundamentals of Differential Geometry | last1 = Lang | first1 = Serge |authorlink1=서지 랭|publisher=Springer|location=New York| year = 1999 | series = Graduate Texts in Mathematics}}
* {{서적 인용|ref=harv|last1=Sternberg|first1=Shlomo Zvi|year=2012|title=Curvature in Mathematics and Physics|publisher=Dover Publications|location=Mineola, New York|isbn=978-0-486-47855-5}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Submersion|title=Submersion|이름=Todd|성=Rowland}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]