치올콥스키 로켓 방정식 문서 원본 보기

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'''치올콥스키 로켓 방정식'''(Tsiolkovsky's rocket equation)은 러시아의 로켓 과학자인 [[콘스탄틴 치올콥스키]]가 처음으로 유도해낸 방정식으로, 중력이나 저항 같은 외력이 작용하지 않는 계에서의 [[로켓]]의 운동을 기술한다. 그 식은 다음과 같다.

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:<math>v_f = v_i + u \ln \frac{m_i}{m_f}</math>
:(여기서 <math>v_f</math>는 로켓의 최종 속력, <math>v_i</math>는 로켓의 초기 속력, <math>u</math>는 분출된 연료의 로켓에 대한 상대 속력, <math>m_f</math>는 로켓의 최종 질량, <math>m_i</math>는 로켓의 초기 질량.)

== 유도 과정 ==

=== 1. 서론 ===
치올콥스키의 방정식을 유도하는 과정은 질량이 변하는 계(variable-mass system)에 뉴턴 법칙을 적용하는 것과 상당히 비슷하다. 뉴턴 제 2 법칙에 의하면 <math>\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}</math>이다.

여기서 m을 상수로 취급하면 매우 유명한 공식인 <math>\vec{F}=m\vec{a}</math>가 되지만, m이 상수가 아닌 일반적인 경우를 고려하면 곱의 미분법으로 인해 <math>\vec{F}=\frac{dm}{dt} \vec{v} \ + \ m \frac{d\vec{v}}{dt}</math> 가 된다.

이 과정에서 <math>\vec{F}=0 \Leftarrow \Rightarrow  \frac{dm}{dt} \vec{v} \ + \ m \frac{d\vec{v}}{dt}=0</math> 라고 놓고 문제를 푸는 오류를 범하기도 하는데, 언뜻 보기에는 맞는 것 같지만 이처럼 알짜힘을 0이라고 놓으면 로켓이 가속되고 있다는 사실과 모순된다.

로켓 자체만을 생각하는 대신 로켓과 방출된 연료(fuel)를 모두 포함하는 계를 고려한다면 더 납득 가능한 결론에 도달할 수 있을 것이고 계산도 더 용이해질 것이다.

이 방정식의 전제 조건은 로켓과 연료를 포함한 이 계에 중력 같은 외력이 전혀 작용하지 않는다는 점이다. 그러므로 (<math>\vec{F}_{ext} = \frac{d\vec{p}}{dt}=0</math> 이기에) 뉴턴 제 2 법칙에 따라 계의 총 운동량은 변화하지 않을 것이다.

다시 말하면 초기 운동량과 최종 운동량을 같게 놓고 풀면 치올콥스키의 방정식을 얻을 수 있다.
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=== 2. 운동량 보존의 법칙 ===
계의 초기 운동량은 <math>m_{fuel} \vec{v}_{fuel} \ + \ m_{rocket} \vec{v}_{rocket} = 0 \times 0 \ + \ m \vec{v} = m \vec{v}</math>이다.


계의 현재 운동량을 계산하려면 단계적으로 생각해볼 필요가 있다.

1) 로켓의 질량은 <math>dt</math>의 시간 동안 <math>m \ + \ dm</math>이 되었다 (여기서 질량이 감소했으므로 <math>dm < 0</math>). 같은 방법으로 로켓의 속도는 <math>dt</math>의 시간 동안 <math>\vec{v} \ + \ d\vec{v}</math>가 되었다. 이 말은 로켓의 현재 운동량은 <math>(m \ + \ dm)(\vec{v} \ + \ d\vec{v})</math>이라는 뜻이다.

2) 방금 갓 방출된 연료의 질량은 (<math>dm < 0</math> 이므로) <math>-dm</math>이다. 연료의 속도를 <math>\vec{v}_{fuel}</math>라고 하면 연료의 현재 운동량은 <math>-dm \ \vec{v}_{fuel}</math>이다.

3) 이 둘을 더하면 <math>(m \ + \ dm)(\vec{v} \ + \ d\vec{v}) -dm \ \vec{v}_{fuel}</math> 이 된다. 이것이 계의 현재 운동량이다.


위의 정보를 종합해보면, 계의 초기 운동량과 현재 운동량은 같으므로 <math>m\vec{v}=(m \ + \ dm)(\vec{v} \ + \ d\vec{v}) -dm \ \vec{v}_{fuel}</math>이다. 이제 식을 정리해보자.

식을 전개하면 <math>m\vec{v}=m\vec{v}+md\vec{v}+\vec{v}dm+dmd\vec{v}-dm \ \vec{v}_{fuel} </math>가 된다. 여기서 양변에서 <math>m\vec{v}</math>를 소거한다. 그리고 <math>dm d\vec{v}</math>는 그 크기(magnitude)가 너무 작으니 무시하도록 하자.

그러면 다음과 같은 식이 된다. <math>m \ d\vec{v} + \vec{v} \ dm - \vec{v}_{fuel} \ dm = 0</math>. 여기서 마지막 두 항을 <math>dm</math>으로 묶으면 <math>m \ d\vec{v} + dm \ (\vec{v} - \vec{v}_{fuel}) = 0</math>이 되고, 이것은 <math>m \ d\vec{v} = dm \ (\vec{v}_{fuel} \ - \ \vec{v})</math>와 같다.

상대 속도의 정의에 따라 <math>\vec{u} = \vec{v}_{fuel} \ - \ \vec{v}_{rocket}</math>이므로 <math>m \ d\vec{v} = \vec{u} \ dm</math>이 된다.

이제 <math>d\vec{v}</math>와 <math>\vec{u}</math> 모두 일직선 상에 있다고 가정하고, '''벡터의 크기(magnitude)만 고려'''하자. <math>|d\vec{v}|=dv, \ |\vec{u}|=u</math>라고 정의하자. 로켓이 나아가는 방향을 +라고 한다면, <math>d\vec{v}</math>는 <math>dv</math>가 될 것이고, 로켓에 대해 연료는 항상 상대적으로 뒤로 가고 있으므로 <math>\vec{u}</math>는 <math>-u</math>로 쓸 수 있을 것이다. 그렇다면 식은 <math>m \ dv = -u \ dm</math>이라고 쓸 수 있다?
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=== 3. 미분방정식 풀기 ===
<math>m \ dv = -u \ dm</math>의 양변을 <math>dt</math>로 나누면 <math>m \frac{dv}{dt} = -u \frac{dm}{dt}</math>가 된다. 이는 <math>ma = -u \frac{dm}{dt}</math>와 같다.

이렇듯 로켓과 연료를 포함한 계의 운동 상태를 로켓의 질량과 가속도의 크기, 그리고 연료의 로켓에 대한 상대 속력으로만 표현하는 데 성공했다. 이제 이 공식을 이용해 미분방정식을 세우고 풀어보자.

<math>ma = -u \frac{dm}{dt}</math>의 양변에 <math>dt</math>를 곱하고 양변을 <math>m</math>으로 나누면 <math>a \ dt = -u \ \frac{dm}{m}</math>이 된다. (여기서 <math>u</math>는 상수라고 가정하자.)

양변을 적분하면 <math>\int_{t_i}^{t_f} a \ dt = \int_{m_i}^{m_f} -u \ \frac{dm}{m}</math>이 된다. 좌변은 <math>\Delta v = v_f \ - \ v_i</math>가 되고, 우변은 <math>-u \ \Big[\ln \ |m| \Big]_{m_i}^{m_f} = -u \ (\ln \ m_f \ - \ \ln \ m_i) = -u \ \ln \frac{m_f}{m_i}
= u \ \ln \frac{m_i}{m_f}</math>가 된다.

최종 속력에 대해 정리하면 <math>v_f = v_i + u \ln \frac{m_i}{m_f}</math>이라는 식이 나온다.

== 의미 ==

비록 실제 상황보다 극히 간단한 가정을 하지만, 로켓 방정식은 로켓 비행에 있어서의 핵심적인 물리학적 원리를 간명하게 보여준다. 로켓 궤도 역학에 있어서 <math>\Delta v</math>는 궤도의 이동이 얼마나 쉬운지, 혹은 어려운지를 나타내주는 양이 된다.

식에서 알 수 있듯이 큰 <math>\Delta v</math>를 얻기 위해서는 <math>m_i</math>가 크거나 (<math>\Delta v</math>에 비해 지수함수 적으로 커져야 함), <math>m_f</math>이 작거나, 아니면 분사 속도 <math>v</math>가 매우 높아야 한다. 또는 이 세 조건이 적절히 조합되어야 한다.

공학적으로는 거대한 로켓을 만들고 (<math>m_i</math>을 키움) 다단계 로켓을 만들어 (<math>m_f</math>를 줄임) 분사 속도를 높게 할 수 있다. 아폴로 우주 계획에서 사용되었던 [[새턴 5호]] 로켓이 이런 조건을 만족하는 좋은 예가 된다.
== 같이 보기 ==
* [[질량비]]
* [[로버트 고다드]]
* [[우주선 추진]]

{{궤도}}

[[분류:물리학 방정식]]
[[분류:우주선 추진]]
[[분류:콘스탄틴 치올콥스키]]
[[분류:로켓 추진]]