치역 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Codomain2.SVG|right|섬네일|350px|함수 <math>f</math>는 [[정의역]]이 '''''X''''', [[공역]]이 '''''Y'''''인 함수다. '''''Y''''' 안에 있는 노란색 집합은 <math>f</math>의 [[상 (수학)|상]] 또는 치역이다. 이 함수는 공역과 치역이 다르므로 전사 함수가 아니다.]]
[[수학]]에서 어떤 함수의 '''치역'''(値域, {{llang|en|range}})은 그 함수의 모든 "[[출력]]"값의 집합이다. 다시 말해, [[정의역]]의 [[상 (수학)|상]]이다.

== 정의 ==
[[정의역]]이 <math>X</math>, [[공역]]이 <math>Y</math>인 함수 <math>f\colon X\to Y</math>의 '''치역''' <math>\operatorname{ran}f</math>은 다음과 같은 [[공역]]의 [[부분집합]]이다.
:<math>\operatorname{ran}f=f(X)=\{f(x)\colon x\in X\}\subset Y</math>

치역과 [[공역]]이 같은 함수를 '''[[전사 함수]]'''라고 한다. 일반적으로 치역은 공역과 다르다. 치역은 공역의 부분집합이지만 공역의 모든 원소들이 치역의 원소일 필요는 없다.

== 예 ==
실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수 <math>f</math>가 다음과 같이 정의된다고 하자.
:<math>f\colon \mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>f\colon x\mapsto x^2</math>
이 경우, <math>f</math>의 공역은 <math>\mathbb R</math>이고, <math>f</math>의 치역은 [[구간]] <math>[0,\infty)</math>이다. 따라서 <math>f</math>는 전사 함수가 아니다.

실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수 <math>g</math>가 다음과 같이 정의된다고 하자.
: <math>g\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>
:<math>g\colon x\mapsto 2x</math>
이 경우, <math>g</math>의 공역과 치역 둘 다 <math>\mathbb R</math>이다. 따라서 <math>g</math>는 전사 함수이다.

== 같이 보기 ==
* [[전단사 함수]]
* [[단사 함수]]

{{집합론}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:집합론의 기본 개념]]