치른하우스 변형 문서 원본 보기

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'''치른하우스 변형'''({{llang|de|Tschirnhaus transformation}})은 독일의 수학자 [[에렌프리트 발터 폰 치른하우스]](Ehrenfried Walther von Tschirnhaus)에 의해 제안되고 증명된 방법이다. 2차 이상 다항식에서  [[포물선#포물선의 방정식|포물선]] 또는 보다 복잡한 곡선을 결과적으로 가정했을 때 그 [[이차 함수#축|축]]과의 관계를 정리한 것이다.<ref>Tschirnhaus. Acta Eruditorum. 1683</ref>

2차식 이상에서의 다항 방정식 변형을 위한 과정에 응용된다.

===2차방정식에서의 과정===
:<math>x^2+{b \over a}x+{c \over a}=0,\qquad x= y- {b \over \mathbf{2} a} </math>
:<math> \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2 + {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0 </math>
우선, <math> \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2= \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)=\left(y^2-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)</math>
:<math>=\left(y^2-2{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)=\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right) </math>
따라서,
:<math>\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0  </math>
:<math>\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ \left({b \over a}y- {b \over a}{b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0  </math>
:<math>\left(y^2-{b \over a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)+ \left({b \over a}y- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} \right)+{c \over a}=0  </math>
:<math>y^2 \cancel{-{b \over a}y}+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \cancel{+ {b \over a}y}- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} +{c \over a}=0  </math>
:<math>y^2 + \left( {1 \over 4}\left({b \over  a} \right)^2 - {1 \over 2}\left({b \over a} \right)^2 \right)+{c \over a}=0  </math>
:<math>y^2 - {1 \over 4}\left({b \over  a} \right)^2 +{c \over a}=0  </math>
:<math>y^2 - \left({b^2 \over  4a^2} \right) +{c \over a}=0  </math>
:<math>y^2 ={b^2 \over  4a^2}  -{c \over a}  </math>
:<math>y^2 ={{ab^2 -4a^2c}\over  4a^3}  </math>
:<math>y^2 ={{b^2 -4ac}\over  4a^2}    </math>
:<math>y^2 -{{b^2 -4ac}\over  4a^2}=0    </math>
:<math>y^2+p=0</math>의 형태로 정리된다.
이러한 압축정리(<math>zipping</math>)를 위한 값 <math> -{b \over \mathbf{n} a}</math>는 <math>n</math>차함수의 곡선 [[이차 함수#꼭짓점|꼭지점]] 및 [[이차 함수#축|축]]의 정보이다.

여기서 <math>p</math>는 <math>-{{b^2 -4ac}\over  4a^2} </math>이다.

결과적으로 이러한 절차로 정리하는 것은  차고차항이 압축되어 없어지게 함으로써 방정식을 보다 단순화시킬 수 있게 된다.
1786년에 브링(E.S. Bring)은 일반적인 5차 방정식이 이러한 형태로 축소 될 수 있음을 보여주었다.<ref>http://mathworld.wolfram.com/TschirnhausenTransformation.html</ref>

==응용==
다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의 최고차 항( <math>n</math>차항)의 <math>x</math>의 계수 <math>a</math>로 나눈 다음 <math>\textstyle x=y- {b \over \mathbf{n} a}</math>의 형태로 치환해서 차고차 항(최고차 항의 바로 아랫차항)의 정보를 변형된 다른 항들로 분산시키고 사라지게 할 수 있다.

예를 들어, [[3차 방정식]]

:<math>ax^3 + bx^2 + cx +d = 0</math>은
:<math>x= y -{{b}\over{3a}}</math>에서 다음의 꼴로 정리되고,
:<math>x^3+{b \over a}x^2+{c \over a}x+d=0</math>

:<math>y^3+py+q=0</math>의 형태로 정보가 압축된다.

그리고

:<math>p={{3ac-b^2}\over{3a^2}}</math>
:<math>q={{2b^3-9abc+27a^2d}\over{27a^3}}</math>

== 같이 보기 ==
* [[3차방정식]]
* [[포물선]]

== 참고 문헌==
*  C. B. Boyer,수학의 역사. New York : Wiley, pp. 472-473, 1968

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:다항식]]
[[분류:방정식]]