층 (수학) 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|층}}
[[수학]]에서 '''층'''(層, {{llang|en|sheaf|시프}}, {{llang|fr|faisceau|페소}})은 어떤 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에서, 각 점에 국소적 구조를 붙인 것이다. 국소성에 따라, 일련의 호환 조건들을 만족시키는 국소적인 데이터를 이어붙여서 대역적인 데이터를 정의할 수 있다.

층의 개념은 [[위상수학]]·[[대수기하학]]·[[미분기하학]]에서 널리 쓰인다.

== 정의 ==
층의 정의는 보통 다음과 같은 세 단계로 이루어진다.
# '''준층'''은 위상 공간의 열린 부분집합에 정보를 대응시키는 구조다. 즉, 어떤 위상 공간 위에 주어진 국소적인 데이터를 나타낸다. 일반적인 준층에서는 대역적인 데이터가 국소적인 데이터로부터 결정되지 않을 수 있다.
# '''분리 준층'''에서는 준층 가운데, 대역적인 데이터가 국소적인 데이터로부터 결정되지만, 국소적인 데이터를 이어붙이는 충분 조건이 존재하지 않을 수 있다.
# '''층'''의 경우, 대역적인 데이터가 국소적인 데이터로부터 결정되며, 또한 국소적인 데이터를 이어붙이는 충분 조건이 존재한다.

=== 준층 ===
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal X</math> 위의, [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 값을 갖는 '''준층'''(準層, {{llang|en|presheaf|프리시프}}, {{llang|fr|préfaisceau|프레페소}})은 [[함자 (수학)|함자]] <math>\mathcal F\colon\mathcal X^{\operatorname{op}}\to\mathcal C</math>이다. 여기서 <math>^{\operatorname{op}}</math>은 [[반대 범주]]를 뜻하므로, <math>\mathcal F</math>는 다시 말해 <math>\mathcal X</math>에서 <math>\mathcal C</math>로 가는 [[반변함자]]로 정의된다. 이러한 준층을 대상으로 하고, 준층 사이의 [[자연 변환]]을 사상으로 가지는 범주를 <math>\operatorname{PSh}(\mathcal X,\mathcal C)</math>라고 표기한다.

대상 <math>U\in \mathcal X</math> 위에서의 준층 <math>\mathcal F\in\operatorname{PSh}(\mathcal X,\mathcal C)</math>의 '''단면'''(斷面, {{llang|en|section}})들로 구성된 대상 <math>\Gamma(U,\mathcal F)\in\mathcal C</math>을 다음과 같이 정의한다.
:<math>\Gamma(U,\mathcal F)=\mathcal F(U)\in \mathcal C</math>

고전적인 예로 <math>\mathcal X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[열린집합]]들의 범주 <math>\mathcal X=\operatorname{Open}(X)</math>인 경우를 들 수 있다. 이 경우,
* <math>\mathcal X</math>의 대상은 <math>X</math>의 [[열린집합]]이다.
* 만약 두 [[열린집합]] <math>U,V \in \operatorname{Open}(X)</math>에 대하여 <math>\hom(U,V)</math>은 <math>U\subseteq V</math>일 경우에는 [[한원소 집합]] <math>\{\iota_{UV}\}</math>이며, 나머지 경우에는 <math>\hom(U,V)=\varnothing</math>이다. 여기서 <math>\iota_{UV}\colon U\to V</math>는 포함 함수이다.
이 경우, <math>\mathcal X</math> 위의 <math>\mathcal C</math> 값을 갖는 준층 <math>\mathcal F</math>는 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 모든 [[열린집합]] <math>U\subset X</math>에 대하여, <math>\mathcal F(U)\in\mathcal C</math>
* 모든 열린집합들 <math>V\subset U\subset X</math>에 대하여, <math>\mathcal F(\iota_{VU})\colon \mathcal F(U)\to \mathcal F(V)</math>
이들은 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]의 공리들을 만족시켜야 한다. 임의의 [[열린집합]]들 <math>U\subset V\subset W\subset X</math>에 대하여,
* <math>\mathcal F(\iota_{UU})=\operatorname{id}_{\mathcal F(U)}</math>
* <math>\mathcal F(\iota_{UV})\circ\mathcal F(\iota_{VW})=\mathcal F(\iota_{UW})</math>

=== 분리 준층과 층 ===
아래 정의에서, <math>\mathcal C=\operatorname{Set}</math>인 경우를 생각하자. (만약 <math>\mathcal C</math>가 [[구체적 범주]]라면, 이를 집합의 범주의 부분 범주로 여겨 아래 정의를 자명하게 일반화할 수 있다.)

범주 <math>\mathcal X</math> 속에 대상 <math>U\in\mathcal X</math>가 주어졌다고 하자.
<math>\mathcal X</math> 위에는 [[요네다 매장]]으로 인한 준층
:<math>\hom_{\mathcal X}(-,U)\colon\mathcal X^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>
이 항상 존재한다. <math>\mathcal X</math> 위의 다른 준층
:<math>\mathcal F\colon\mathcal X^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>
이 주어졌을 때, 요네다 준층에서 <math>\mathcal F</math>로 가는 준층 사상([[자연 변환]])들의 집합
:<math>\hom_{\operatorname{PSh}(\mathcal X)}(\hom_{\mathcal X}(-,U),\mathcal F)</math>
를 정의할 수 있다. 각 준층 사상 <math>f\colon\hom_{\mathcal X}(-,U)\to\mathcal F</math>은 <math>U</math>의 각 "열린 [[부분집합|부분 집합]]"에 <math>\mathcal F</math>의 단면을 대응시킨다.

<math>\mathcal X</math> 위에 [[그로텐디크 위상]] <math>\mathfrak J</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 대상 <math>U\in\mathcal X</math>에 대하여, 덮개체들의 집합 <math>\mathfrak J(U)</math>이 존재하며, 각 덮개체 <math>\mathcal S\in\mathfrak J(U)</math>는 <math>\mathcal X</math> 위의 준층을 이룬다. 마찬가지로, 준층 사상들의 집합
:<math>\hom_{\operatorname{PSh}(\mathcal X)}(\mathcal S,\mathcal F)</math>
를 정의할 수 있다. 각 준층 사상 <math>f\colon\mathcal S\to\mathcal F</math>는 <math>U</math>의 덮개에 속하는 각 "열린 부분 집합"에 <math>\mathcal F</math>의 단면을 대응시킨다.

덮개체 <math>\mathcal S\in\mathfrak J(U)</math>는 정의에 따라 <math>\hom(-,U)</math>의 부분 함자이므로, 자연스러운 제약 함수
:<math>\operatorname{res}_{\hom_{\mathcal X}(-,U),\mathcal S}\colon\hom_{\operatorname{PSh}(\mathcal X)}(\hom_{\mathcal X}(-,U),\mathcal F)\to\hom_{\operatorname{PSh}(\mathcal X)}(\mathcal S,\mathcal F)</math>
가 존재한다. 이 경우, 다음과 같은 정의를 내릴 수 있다.
* 만약 <math>\mathcal X</math>의 모든 대상 <math>U</math> 및 그 모든 덮개체 <math>\mathcal S\in\mathfrak J(U)</math>에 대하여 <math>\operatorname{res}_{\hom_{\mathcal X}(-,U),\mathcal S}</math>가 [[단사 함수]]라면, <math>\mathcal F</math>의 <math>U</math>의 "부분 집합"에서의 단면들은 <math>U</math>의 덮개 <math>\mathcal S</math>에서의 값들로부터 완전히 결정된다. 즉, 대역적 데이터는 국소적 데이터로부터 완전히 결정된다. 이 조건을 만족시키는 준층을 '''분리 준층'''(分離準層, {{llang|en|separated presheaf}}, {{llang|fr|préfaisceau séparé}})이라고 한다.
* 만약 <math>\operatorname{res}_{\hom_{\mathcal X}(-,U),\mathcal S}</math>가 [[전단사 함수]]라면, <math>U</math>의 덮개 <math>\mathcal S</math>에 임의의 (적절한) 단면들을 부여하여도 이들을 <math>U</math> 전체로 이어붙일 수 있다. 즉, 호환 조건을 만족시키는 모든 국소적 데이터를 대역적 데이터로 이어붙일 수 있다. 이 조건을 만족시키는 준층을 '''층'''(層, {{llang|en|sheaf}}, {{llang|fr|faisceau}})이라고 한다.

<math>\mathcal X</math> 위의 층들 사이의 '''사상'''은 준층으로서의 사상이다. <math>X</math> 위의 층들의 범주는 <math>\operatorname{Sh}(X)</math>라고 쓰며, 이는 <math>\operatorname{PSh}(X)</math>의 [[충만한 부분 범주]]이다.

=== 그로텐디크 준위상 위의 분리 준층과 층 ===
만약 <math>\mathcal X</math>의 그로텐디크 위상이 [[그로텐디크 준위상]]으로 주어진다면, 분리 준층과 층의 정의를 더 구체적으로 서술할 수 있다. <math>\mathcal X</math>가 그로텐디크 준위상 <math>\mathfrak D</math>가 주어진 범주이며, <math>X</math>가 작은 [[곱 (범주론)|곱]] 및 [[올곱]]을 갖는다고 하자. <math>\mathcal X</math>의 임의의 대상 <math>U\in\mathcal X</math> 및 덮개
:<math>\{\iota_i\colon U_i\to U\}_{i\in I}\in\mathfrak D(u)</math>
가 주어졌을 때, 임의의 <math>i,j\in I</math>에 대하여, 다음과 같은 사상들이 존재한다.
:<math>
\begin{matrix}
&&&&U_i\times_UU_j\\
&&&{\scriptstyle\pi_1}\swarrow\\
U&\xleftarrow{\iota_i}&U_i\\
&&&{\scriptstyle\pi_2}\nwarrow\\
&&&&U_j\times_UU_i
\end{matrix}
</math>
위 도형에서 <math>\mathcal F</math>에 대한 상을 취하면 다음과 같다.
:<math>
\begin{matrix}
&&&&\mathcal F(U_i\times_UU_j)\\
&&&{\scriptstyle\mathcal F(\pi_1)}\nearrow\\
\mathcal F(U)&\xrightarrow{\mathcal F(\iota_i)}&\mathcal F(U_i)\\
&&&{\scriptstyle\mathcal F(\pi_2)}\searrow\\
&&&&\mathcal F(U_j\times_UU_i)
\end{matrix}
</math>
이들에 대한 [[올곱]]을 취하면 다음과 같은 사상들을 얻는다.
:<math>\mathcal F(U) \xrightarrow{\prod_{i\in I}^{F(U)}\mathcal F(\iota_i)}\prod_{i\in I}\mathcal F(U_i)</math>
:<math>\mathcal F(U_i)\xrightarrow{\prod_{j\in I}^{\mathcal F(U_i)}\mathcal F(\pi_1)}\prod_{j\in I}\mathcal F(U_i\times_UU_j)</math>
:<math>\mathcal F(U_i)\xrightarrow{\prod_{j\in I}^{\mathcal F(U_i)}\mathcal F(\pi_2)}\prod_{j\in I}\mathcal F(U_j\times_UU_i)</math>
이제, 사상들의 [[곱 (범주론)|곱]]을 취하면 다음과 같은 사상들을 얻는다.
:<math>\mathcal F(U) \xrightarrow{\prod_{i\in I}^{F(U)}\mathcal F(\iota_i)}\prod_{i\in I}\mathcal F(U_i) {\xrightarrow{\prod_{i\in I}\prod_{j\in I}^{\mathcal F(U_i)}\mathcal F(\pi_1)}\atop\xrightarrow[\prod_{i\in I}\prod_{j\in I}^{\mathcal F(U_i)}\mathcal F(\pi_2)]{}}\prod_{i,j\in I}\mathcal F(U_i\times_UU_j)</math>
왼쪽의 함수는 <math>U</math>의 단면 <math>\mathcal F(U)</math>를 <math>U_i</math>에 제한 한 것으로 해석 할 수 있으며, 오른쪽의 함수는 각 <math>U_i</math>의 단면 <math>\mathcal F(U_i)</math>를 <math>U_j</math>와 "겹치는 부분"에 대하여 제한 한 것으로 해석 할 수 있다. 만약 왼쪽의 함수가 [[단사 함수]]라면, <math>\mathcal F</math>는 '''분리 준층'''이다. 만약 왼쪽의 함수가 오른쪽의 두 함수의 [[동등자]]를 이룬다면, <math>\mathcal F</math>는 '''층'''이다.

=== 위상 공간 위의 분리 준층과 층 ===
만약 <math>\mathcal X</math>가 어떤 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[열린집합]]들의 범주 <math>\operatorname{Open}(X)</math>라고 하자. 이 경우, 분리 준층과 층의 정의는 다음과 같이 번역된다.

모든 [[열린집합]] <math>U</math> 및 그 열린 덮개 <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>에 대하여, 함수
:<math>\mathcal F(U) \to \prod_{i\in I}\mathcal F(U_i) {\to\atop\to}\prod_{i,j\in I}\mathcal F(U_i\cap U_j)</math>
를 정의하자. 이를 바탕으로, 다음과 같은 두 성질을 정의하자.
* (국소성) 임의의 <math>s,t\in\mathcal F(U)</math>에 대하여, 만약 모든 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>s|_{U_i}=t|_{U_i}</math>라면 <math>s=t</math>이다. (이는 위 도형에서 왼쪽 사상이 [[단사 함수]]임과 동치이다.)
* (결합성) 각 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>s_i\in\mathcal F(V)</math>가 주어졌다고 하고, 모든 <math>i,j\in I</math>에 대하여 <math>s_i|_{U_j}=s_j|_{U_i}</math>라고 하자. 그렇다면 모든 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>s|_{U_i}=s_i</math>인 <math>s\in\mathcal F(U)</math>가 존재한다. (국소성을 가정하면, 이는 위 동형에서 왼쪽 사상이 오른쪽의 두 사상의 [[동등자]]를 이룸과 동치이다.)
국소성 공리를 만족시키는 준층은 '''분리 준층'''이며, 결합성 공리를 만족시키는 분리 준층은 '''층'''이다.

=== 층의 사상 ===
두 층 <math>\mathcal F,\mathcal G\in\operatorname{Sh}(X)</math> 사이의 '''사상''' <math>\phi\colon\mathcal G\to\mathcal F</math>는 함자 사이의 [[자연 변환]]이다. 즉, 모든 열린 부분집합 ''U''에 대해서 <math>\mathcal C</math> 속의 사상들 <math>\phi(U)\colon\mathcal G(U)\to\mathcal F(U)</math>를 모은 것들 가운데, 제한 사상들 res와 호환되는 것들이다. 즉, 두 열린 부분집합 <math>U\subset V</math>에 대해서 다음의 그림이 가환하여야 한다.

:<math>\begin{array}{rcl}
\mathcal{G}(V) & \xrightarrow{\quad\varphi_V\quad} & \mathcal{F}(V)\\
r_{V,U}\Biggl\downarrow & & \Biggl\downarrow r_{V,U}\\
\mathcal{G}(U) & \xrightarrow[{\quad\varphi_U\quad}]{} & \mathcal{F}(U)
\end{array}</math>

이 정의를 조금 더 일반화하여, 서로 다른 위상 공간 위에 정의된 층 사이에도 사상을 정의할 수 있다. 두 위상 공간 <math>X,Y\in\operatorname{Top}</math> 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 층 <math>\mathcal F\in\operatorname{Sh}(X)</math>, <math>\mathcal G\in\operatorname{Sh}(Y,\mathcal C)</math>에 대하여,
두 위상 공간에 대한 층 사이의 사상은 다음과 같이 [[범주론]]적으로 정의할 수 있다. 위상 공간의 범주 <math>\operatorname{Top}</math> 및 범주의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math>를 생각하자. (엄밀하게 말하면, 주어진 [[그로텐디크 전체]]에 속하는 위상 공간·범주의 범주를 생각한다.) 이 경우, 자연스러운 함자
:<math>\operatorname{Open}\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Cat}^{\operatorname{op}}</math>
:<math>\operatorname{Open}\colon X\mapsto\operatorname{Open}(X)</math>
:<math>\operatorname{Open}\colon(f\colon X\to Y)\mapsto(\operatorname{Open}f\colon U\subset Y\mapsto f^{-1}(U)\subset X)</math>
가 존재한다. 즉, <math>\operatorname{Open}(f)</math>는 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]이다.
:<math>\operatorname{Open}(f)\colon\operatorname{Open}(Y)\to\operatorname{Open}(X)</math>
그렇다면
:<math>\mathcal F\colon\operatorname{Open}(X)\to\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>
:<math>\mathcal G\colon\operatorname{Open}(Y)\to\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>
이므로, <math>f</math>에 대한 '''층 사상''' <math>\mathcal G\to\mathcal F</math>는 [[자연 변환]] <math>\mathcal G\implies \mathcal F\circ\operatorname{Open}(f)</math>이다. 구체적으로, <math>f</math>에 대한 '''층 사상''' <math>\phi\colon\mathcal G\to\mathcal F</math>는 모든 열린 <math>U\subset Y</math>에 대해서 <math>\mathcal C</math>의 사상들 <math>\phi_U\colon\mathcal G(U)\to\mathcal F(f^{-1}(U))</math>를 모은 것들 가운데, 모든 ''Y''의 열린집합들 <math>U\subset V\subset Y</math>에 대해서 다음의 그림이 가환하는 경우이다.

:<math>\begin{array}{rcl}
\mathcal{G}(V) & \xrightarrow{\quad\varphi_V\quad} & \mathcal{F}(f^{-1} (V))\\
r_{V,U}\Biggl\downarrow & & \Biggl\downarrow r_{f^{-1} (V),f^{-1} (U)}\\
\mathcal{G}(U) & \xrightarrow[{\quad\varphi_U\quad}]{} & \mathcal{F}(f^{-1} (U))
\end{array}</math>

만약 <math>f=\operatorname{id}_X</math>인 경우, 이는 이전의 정의와 일치한다.

준층 사이의 사상도 마찬가지로 정의한다.

== 종류 ==
층은 매우 일반적인 개념이며, 응용 분야에 따라 다양한 "괜찮은 층"의 개념들이 존재한다.
* [[아벨 군]] 값을 갖는 [[층 코호몰로지]]를 다룰 때는 '''[[단사층]]'''의 개념을 사용한다. 이보다 약한 개념으로 '''[[섬세층]]'''이나 '''[[비순환층]]''' 등이 있다.
* '''[[연접층]]'''은 유한 차원 [[벡터 다발]]의 단면층을 포함하는 가장 작은 [[아벨 범주]]의 원소이다. 만약 유한 차원 조건을 생략한다면, '''[[준연접층]]'''의 개념을 얻는다.

보통, 함수층의 경우 어떤 환의 층에 대한 가군을 이룬다. 이러한 층을 '''[[가군층]]'''이라고 한다. 마찬가지로, 어떤 다른 환의 층에 대한 [[아이디얼]]을 이루는 층을 '''[[아이디얼 층]]'''이라고 한다.

기하학적으로, [[선다발]]이나 [[인자 (대수기하학)|인자]]에 대응하는 층을 '''[[가역층]]'''이라고 한다.

가장 자명한, 모든 [[줄기 (수학)|줄기]]가 같은 층을 '''[[상수층]]'''이라고 한다.

== 층 위의 구조 ==
=== 줄기와 에탈레 공간 ===
{{본문|줄기 (수학)}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 위의 층은 범주론적 접근 대신, 기하학적으로도 정의할 수 있다. 어떤 주어진 점 <math>x</math> 근처에서 층 <math>\mathcal F</math>가 가질 수 있는 값들의 집합을 <math>\mathcal F</math>의 '''[[줄기 (수학)|줄기]]'''라고 하고, 이러한 줄기들의 집합을 '''[[에탈레 공간]]'''이라고 한다. 그렇다면 층은 에탈레 공간의 단면들의 모임으로 정의할 수 있다.

=== 층화 ===
(작은) [[위치 (수학)|위치]] <math>(\mathcal X,\mathfrak J)</math> 위의 층의 범주와 준층의 범주 사이에 자연스러운 포함 관계가 존재한다.
:<math>I\colon\operatorname{Sh}(\mathcal X,\mathfrak J)\hookrightarrow\operatorname{PSh}(\mathcal X)</math>
이 함자는 [[왼쪽 수반 함자]] <math>S</math>를 가지는데, 이를 준층의 '''층화'''(層化, {{llang|en|sheafification}})라고 한다.
:<math>I\colon\operatorname{Sh}(\mathcal X,\mathfrak J)\hookrightarrow\operatorname{PSh}(\mathcal X)\colon S</math>

=== 층의 함자 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 사이의 [[연속 함수]]가 주어지면, 이로부터 그 위에 존재하는 층들의 사상을 유도할 수 있다. 이는 [[함자 (수학)|함자]]를 이룬다. 구체적으로, 위상 공간 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하고, 위상 공간 <math>X</math> 위의, [[아벨 군]] 값을 가진 층과 층 사상들의 범주를 <math>\operatorname{Sh}(X)</math>라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]들이 존재한다.
* '''직상'''(直像, {{llang|en|direct image}}) <math>f_*\colon\operatorname{Sh}(X)\to\operatorname{Sh}(Y)</math>
* '''역상'''(逆像, {{llang|en|inverse image}}) <math>f^*\colon\operatorname{Sh}(Y)\to\operatorname{Sh}(X)</math>
* '''[[콤팩트 지지]] 직상'''({{llang|en|direct image with compact support}}) <math>f_!\colon\operatorname{Sh}(X)\to\operatorname{Sh}(Y)</math>
* '''예외 역상'''({{llang|en|exceptional inverse image}}) <math>Rf^!\colon D\operatorname{Sh}(X)\to D\operatorname{Sh}(Y)</math>
이들은 서로 [[수반 함자]]이다. 여기서 <math>D</math>는 [[유도 범주]], <math>R</math>은 [[오른쪽 유도 함자]]를 나타낸다.
* <math>f^*\leftrightarrows f_*</math>는 각각 왼쪽·오른쪽 [[수반 함자]]이다.
* <math>\operatorname Rf_!\leftrightarrows\operatorname  Rf^!</math>는 각각 왼쪽·오른쪽 [[수반 함자]]이다.

==== 직상과 역상 ====
'''직상 함자''' <math>f_*</math>는 다음과 같다. <math>F\in\operatorname{Sh}(X)</math>이라면, 열린집합 <math>V\subset Y</math>에 대하여
:<math>f_*F(V)=F(f^{-1}(V))</math>
이다. '''역상 함자''' <math>f^*</math>는 다음과 같다. <math>G\in\operatorname{Sh}(Y)</math>라면, <math>X</math> 위에 다음과 같은 준층을 정의할 수 있다. <math>U\subset X</math>에 대하여,
:<math>U\mapsto\varinjlim_{V\supseteq f(U)}G(V)</math>
여기서 <math>\varinjlim</math>은 [[귀납적 극한]]이다. 이 준층에 '''층화'''({{llang|en|sheafification}})를 가한 층을 '''역상 함자''' <math>f^*</math>라고 한다.

==== 콤팩트 지지 직상과 예외 역상 ====
'''콤팩트 지지 직상''' <math>f_!\mathcal F</math>은 다음과 같이 정의된다. 모든 열린집합 <math>U\subseteq Y</math>에 대하여,
:<math>f_!\mathcal F(U)=\{s\in\mathcal F(f^{-1}(U))\colon f|_{\operatorname{supp}s}\text{ is proper}\}</math>
여기서 <math> f|_{\operatorname{supp}s}\text{ is proper}</math>라는 것은
:<math>f\colon\colon\operatorname{supp}s\to U</math>
가 [[고유 함수]]임을 뜻한다. 콤팩트 지지 직상은 직상의 [[부분 함자]]이며, 만약 <math>f</math>가 [[고유 함수]]라면 콤팩트 지지 직상과 직상은 일치한다.

콤팩트 지지 직상 함자 <math>f_!\colon\operatorname{Sh}(X)\to\operatorname{Sh}(Y)</math>는 [[왼쪽 완전 함자]]이며, 그 오른쪽 전유도 함자({{llang|en|right total derived functor}})
:<math>\operatorname Rf_!\colon\operatorname D(\operatorname{Sh}(X))\to\operatorname D(\operatorname{Sh}(Y))</math>
를 취할 수 있다. 여기서 <math>\operatorname D(-)</math>는 [[유도 범주]]를 뜻한다.

이 함자는 [[오른쪽 수반 함자]]를 가지며, 이를 '''예외 역상'''({{llang|en|exceptional inverse image}})
:<math>\operatorname Rf^!\colon\operatorname D(\operatorname{Sh}(Y))\to\operatorname D(\operatorname{Sh}(X))</math>
이라고 한다. 표기와 달리, 예외 역상 함자를 오른쪽 전유도 함자로 하는 함자 <math>f^!\colon\operatorname{Sh}(Y)\to\operatorname{Sh}(X)</math>는 일반적으로 존재하지 않는다.

=== 층 코호몰로지 ===
{{본문|층 코호몰로지}}
임의의 <math>U\in\mathcal X</math>에 대하여, 단면 함자
:<math>\Gamma(U,-)\colon\operatorname{Sh}(\mathcal X)\to\operatorname{Set}</math>
는 [[동형 사상]]과 [[단사 사상]]을 보존하지만, [[전사 사상]]은 일반적으로 보존하지 않는다. 만약 어떤 [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>에 값을 가진 층의 경우,
:<math>\Gamma(U,-)\colon\operatorname{Sh}(\mathcal X;\mathcal A)\to\mathcal A</math>
는 [[왼쪽 완전 함자]]이며, 따라서 이 함자의 [[오른쪽 유도 함자]]를 정의할 수 있다. 이 함자들을 '''[[층 코호몰로지]]'''라고 한다. 층들의 [[완전열]]에 대응하여 층 코호몰로지 군들의 [[긴 완전열]]이 존재한다.

== 예 ==
아주 많은 예들이 있다.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] ''X''위에서의 실수 [[연속 함수]]의 층
* [[매끄러운 다양체]] ''M''위에서의 [[매끄러운 함수]]들의 층
* [[매끄러운 다양체]] ''M''위에서의 [[벡터장]]들의 층

=== 연속 함수의 층 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 각 [[열린집합]] <math>U\subset X</math>에 대하여 <math>\mathcal C(U)</math>를 실수 [[연속 함수]]의 집합이라고 하자. 그렇다면 <math>\mathcal C</math>는 <math>\operatorname{Open}(X)</math> 위에 층을 이룬다. 이 경우, 값을 가지는 범주는 [[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>, [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>, 또는 실수 [[벡터 공간]]의 범주 <math>\operatorname{\mathbb R-Vect}</math>일 수 있다.

=== 매끄러운 함수의 층 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 층 <math>\mathcal C^\infty</math>를 다음과 같의 정의하자. 열린 부분집합 <math>U\in\operatorname{Open}(M)</math>에 대해 <math>\mathcal C^\infty(U)</math>는 모든 실수값 [[매끄러운 함수]]들의 집합이다. 이는 [[아벨 군]] 또는 실수 [[벡터 공간]] 값을 갖는 층을 이룬다.
:<math>\mathcal C^\infty\in\operatorname{Sh}(M,\operatorname{Ab})</math>
:<math>\mathcal C^\infty\in\operatorname{Sh}(M,\mathbb R\text{-Vect})</math>

=== 올다발의 단면들의 층 ===
위상 공간 <math>E,X</math> 사이의 [[연속 함수]] <math>\pi\colon E\to X</math>가 주어졌다고 하자. (예를 들어, <math>E</math>는 <math>X</math> 위의 [[올다발]]일 수 있다.) 그렇다면 층 <math>\mathcal F</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\mathcal F(U)=\{f\in\mathcal C(U,E)|\pi\circ f=\operatorname{id}_U\}</math>
이러한 <math>f</math>를 <math>\pi</math>의 '''단면'''이라고 한다. <math>\mathcal F</math>는 ([[아벨 군]] 또는 실수 [[벡터 공간]] 값을 갖는) 층이며, <math>\mathcal F</math>의 [[에탈레 공간]]은 <math>E</math>이다.

=== 유계 연속 함수의 준층 ===
[[국소 콤팩트]]하지만 [[콤팩트 공간|콤팩트]]하지 않은 공간 <math>X</math> 위에, [[유계 함수|유계]] [[연속 함수]]들의 준층 <math>\mathcal C_\text{bounded}</math>을 생각하자. 이는 준층을 이루지만, 일반적으로 층을 이루지 못한다. 예를 들어, <math>X</math> 위의 비유계 연속 함수 <math>f\colon X\to\mathbb R</math>를 생각하자. <math>X</math>에, 폐포가 모두 콤팩트한 [[열린 덮개]] <math>\{U_\alpha\}</math>를 잡으면, <math>f|_{U_\alpha}</math>는 (콤팩트 공간 <math>\bar U_\alpha</math> 위의 [[연속 함수]]이므로) [[유계 함수]]이지만, 이들을 이어붙인 함수 <math>f</math>는 유계함수가 아니다.

== 역사 ==
층 이론이 정확히 언제, 누구에 의하여 제창되었는지는 말하기 쉽지 않지만, [[해석적 연속]]의 개념의 발달과 더불어서 같이 발달된 것으로 생각된다. 아무튼, [[코호몰로지]] 이론의 기초로부터 독자적인 이론으로 발달되는 데에는 대략 15년 가량의 시간이 걸렸다.

=== 코호몰로지의 추상적 정의 ===
층 이론은 [[대수적 위상수학]]에서, [[코호몰로지]]의 개념을 일반화하기 위하여 정의되었다. 고전적으로 이는 [[베티 수]]로서 여겨졌으나, 대수적 위상수학의 여러 정의를 하기 위해서는 이를 [[아벨 군]]으로 대체하여야 한다는 것이 밝혀졌다.

1932년에 [[에두아르트 체흐]]는 [[체흐 코호몰로지]]의 개념을 정의하였고, 1936년에는 [[열린 덮개]]의 [[신경 (수학)|신경]](nerve)을 정의하였다. 이것은 [[열린 덮개]]에 어떤 [[단체 복합체]]를 대응시킨 것이다. 체흐의 정의는 이전의 정의들보다 더 추상적이다.

체흐와 [[제임스 워델 알렉산더]], [[안드레이 콜모고로프]]의 업적을 바탕으로, 1938년에 [[해슬러 휘트니]]는 [[공사슬 복합체]]를 사용하여 [[코호몰로지]]를 최초로 현대적으로 정의하였다.

이 코호몰로지 이론들은 (현대적인 용어로는) [[상수층]]을 계수로 하고 있었다. 1943년에 [[노먼 스틴로드]]는 이를 일반화하여, 위치마다 계수가 바뀔 수 있는, 즉 국소 계수를 가지는 [[호몰로지]]에 대한 이론을 발표하였다.

=== 층 이론의 시초 ===
1945년에 [[장 르레]]는 [[제2차 세계 대전]]에서 [[포로]] 상태에 최초로 훗날 층 이론과 [[스펙트럼 열]]의 최초의 등장으로 여겨지게 되는 논문을 출판하였다. 이후 프랑스의 수학자들은 층 이론의 유용함을 곧 알아차렸다. 1947년 [[앙리 카르탕]]이 [[앙드레 베유]]에게 보낸 편지에서, 층 이론을 이용한 새로운 [[드람 정리]]의 증명 방법을 공개하였다.

르레는 열린집합 대신에 닫힌 집합들을 이용하여 층을 정의하였는데, 이는 차후 '''카라파스'''({{llang|fr|carapace}})로 불리게 된다. 이 정의는 1948년 [[카르탕 세미나]](Cartan seminar)에서 최초로 체계화되었다.

1950년 카르탕 세미나에서는 층 이론이 카라파스 대신 [[에탈레 공간]]을 사용하여 재정의되었다. 이 세미나에서는 [[줄기 (수학)|줄기]] 및 [[지지집합]]을 가진 코호몰로지가 최초로 등장하였다. 또한, [[연속 함수]]의 [[스펙트럼 열]]이 정의되었다.

=== 다변수 복소해석학과 대수기하학에서의 층 ===
층 이론은 대수적 위상수학과 독립적으로, [[다변수 복소해석학]]에서 또한 시초를 찾을 수 있다. 1950년에 [[오카 기요시]]는 [[다변수 복소해석학]]에서 [[아이디얼]]들의 층을 정의하였다. 이후 1951년에는 오카의 업적을 바탕으로, 카르탕 세미나에서 다변수 복소해석학의 [[카르탕 정리]]가 증명되었다.

곧 [[1953년]] [[앙리 카르탕]]과 [[장피에르 세르]]는 [[벡터 다발]]을 일반화한 [[연접층]]을 도입하였고, 해석적 [[연접층]]의 [[층 코호몰로지]]의 유한성 정리를 증명하였다. 또한 세르는 [[세르 쌍대성]]을 증명하였다. 1954년에 세르는 유명한 논문 〈대수적 [[연접층]]〉<ref>{{저널 인용|이름=Jean-Pierre|성=Serre|저자링크=장피에르 세르|제목={{lang|fr|Faisceaux algébriques cohérents}}|연도=1955|월=3|저널={{lang|en|Annals of Mathematics (Second Series)}}|권=61|호=2|쪽=197–278|doi=10.2307/1969915|언어=fr}}</ref>에서 대수기하학에서 쓸 수 있는 층 이론을 처음으로 소개하였다. 이 논문에서의 아이디어는 [[프리드리히 히르체브루흐]]에 의해서 사용되어 더욱 발달된 후 차후 1956년에 〈대수기하학에서의 위상수학적 방법〉이라는 제목으로 출판되었고, 또한 [[1956년]] [[오스카 자리스키]]가 대수적 층 이론에 대한 논문을 발표하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Oscar|성=Zariski|저자링크=오스카 자리스키|제목=Scientific report on the second summer institute, several complex variables. Part III. Algebraic sheaf theory|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=62|호=2|issn= 0273-0979|날짜=1956|쪽=117-141|mr=0077995|zbl=0074.15703|doi=10.1090/S0002-9904-1956-10018-9|언어=en}}</ref>

또한, 1958년 경 도입된 [[사토 미키오]]의 [[초함수]](hyperfunction) 또한 자연스럽게 층 이론을 통해 정의할 수 있다는 것이 밝혀졌다.

=== 그로텐디크의 유도 함자를 통한 정의 ===
[[알렉산더 그로텐디크]]는 [[범주론]] 및 [[호몰로지 대수학]]적인 기법으로, 층의 개념을 매우 일반적이고 추상적인 방법으로 재정의하였다. 1955년 [[캔자스 대학교]]에서의 강의에서 그로텐디크는 [[아벨 범주]]와 준층의 개념을 정의하였고, [[단사 분해]](injective resolution)의 개념을 도입하였다. 이로서, 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 위에서 [[층 코호몰로지]] 군은 [[유도 함자]] 및 [[단사층]]의 개념을 통해 자연스럽게 정의할 수 있게 되었다.

1957년에 그로텐디크는 유명한 [[도호쿠 대학]] 수학 저널 논문에서 [[호몰로지 대수학]]의 기초를 새롭게 썼다. 그로텐디크는 또한 [[그로텐디크 쌍대성]]({{lang|en|Grothendieck duality}}, [[특이점]]을 가진 [[대수다양체]]에도 적용될 수 있는 [[세르 쌍대성]]의 일반화)를 증명하였다.

=== 층 이론의 응용 ===
1958년에 [[로제 고드망]]의 표준적인 층 이론 교재<ref>{{서적 인용|제목=Topologie algébrique et théorie des faisceaux|이름=Roger|성=Godement | 저자링크=로제 고드망 | publisher=Hermann | 위치=[[파리 (프랑스)|파리]] | mr=0345092  | zbl = 0275.55010 | 판=3 | year=1973 |총서=Actualités scientifiques et industrielles | 권=1252 | 언어=fr}}</ref> 가 출판되면서, 층 이론은 현대 수학의 주류 언어의 일부가 되었고, 더 이상 [[대수적 위상수학]]에서뿐만이 아니라 대부분의 수학 분야에서 쓰이게 되었다.

층들의 범주를 '''[[토포스]]'''라고 한다. 모든 토포스는 내부적 논리학을 가지며, 이 논리는 [[고차 논리|고차]] [[직관 논리]]의 일종이다. 토포스 이론을 사용하여, 이 논리에 '''[[크립키-주아얄 의미론]]'''이라는 의미론을 부여할 수 있음이 알려졌다. 이는 [[솔 크립키]]의 크립키 의미론을 토포스에 대하여 일반화한 것과 같다.

== 어원 ==

[[프랑스어]] 단어 {{lang|fr|faisceau}}는 ‘다발’·‘묶음’을 뜻하는 말이다. [[장 르레]]는 1946년 프랑스어 단어 {{lang|fr|faisceau}}를 자신의 논문에 썼다.<ref>{{저널 인용|이름=Leray|성=Jean|저자링크=장 르레|제목=L'anneau d'homologie d'une representation|날짜=1946-05-27|저널={{lang|en|Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences}}|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31740/f1366.item|권=222|쪽=1366 |언어=fr}}</ref> 이 단어가 영어 {{lang|en|sheaf}}로 번역되었다. {{lang|en|sheaf}}가 이미 있는 용어라서 {{lang|en|stack}}으로 번역한 수학자도 있었지만<ref>{{저널 인용|이름1=W. V. D. |성1=Hodge |이름2=M. F. |성2=Atiyah |제목=Integrals of the Second Kind on an Algebraic Variety |날짜=1955-07 |저널=Annals of Mathematics |url=https://www.jstor.org/stable/2007100 |권=62 |호=1 |쪽=56 |언어=en}}</ref> 결과적으로 널리 쓰이게 되지는 않았다.

‘층(層)’이라는 번역어를 쓰기 시작한 사람은 {{임시링크|아키즈키 야스오|ja|秋月康夫}}이다. 그는 ‘다발(束)’이란 용어는 이미 일본 수학계에서 쓰이고 있으며 ‘층’의 일본어 발음 {{lang|ja|ソー}}가 프랑스어 {{lang|fr|faisceau}}의 마지막 음절과 비슷하기 때문에 ‘층’이라는 단어를 택했다.<ref>{{서적 인용 |저자=秋月康夫 |저자링크=아키즈키 야스오 |제목=輓近代数学の展望 |날짜=1970 |쪽=176 |언어=ja}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[올다발]]
* [[제르브]]
* [[토포스]]
* [[층 코호몰로지]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=The theory of sheaves|url=https://archive.org/details/theoryofsheaves0000swan|출판사=University of Chicago Press|날짜=1964|이름=R. G.|성=Swan|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Sheaf theory|총서=London Mathematical Society Lecture Note|권=20|출판사=Cambridge University Press|날짜=1975|이름=B. R.|성=Tennison|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Sheaf theory|판=2|날짜=1997|이름=Glen E.|성=Bredon| 출판사=Springer | 총서=Graduate Texts in Mathematics | issn= 0072-5285 | isbn=978-0-387-94905-5 | mr=1481706 | 날짜=1997 | 권=170 |doi=10.1007/978-1-4612-0647-7 | zbl=0874.55001 | 언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Saunders|성=Mac Lane|저자링크=손더스 매클레인|공저자=Ieke Moerdijk|날짜=1992|제목=Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory|출판사=Springer|zbl=0822.18001|doi=10.1007/978-1-4612-0927-0|isbn=978-0-387-97710-2|총서=Universitext|issn=0172-5939|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Topological methods in algebraic geometry|출판사=Springer|날짜=1995|이름=F.|성=Hirzebruch|저자링크=프리드리히 히르체브루흐|series=Classics in Mathematics | isbn=978-3-540-58663-0 | mr=1335917  | 언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Sheaves on Manifolds|날짜=1990|이름=M.|성=Kashiwara|이름2= P.|성2=Schapira|출판사=Springer | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften | isbn=978-3-540-51861-7 | mr=1299726  | year=1994 | volume=292 | 언어=en}}
* {{저널 인용|제목=What is a sheaf?|이름=J. Arthur Jr.|성=Seebach|이름2=Linda A.|성2=Seebach|이름3=Lynn A.|성3=Steen|저널=The American Mathematical Monthly|권=77|호=7|쪽=681-703|날짜=1970-08|jstor=2316199|doi=10.2307/2316199|url=http://www.stolaf.edu/people/steen/Papers/70sheaf.pdf|언어=en|확인날짜=2015-08-12|보존url=https://web.archive.org/web/20150924110725/http://www.stolaf.edu/people/steen/Papers/70sheaf.pdf|보존날짜=2015-09-24|url-status=dead}}
* {{서적 인용|url=http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr06.pdf|제목=Lectures on sheaf theory | 이름=Clifford Hugh|성=Dowker | 출판사=Tata Institute of Fundamental Research | 위치=[[뭄바이]] | 날짜=1957 | 총서=Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics | 권=6| 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Sheaf theory}}
* {{eom|title=Sheaf}}
* {{eom|title=Pre-sheaf}}
* {{매스월드|id=Sheaf|title=Sheaf}}
* {{매스월드|id=Presheaf|title=Presheaf}}
* {{매스월드|id=PresheafofCategories|title=Presheaf of categories}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2008/01/29/sheaves/|제목=Sheaves|웹사이트=Rigorous Trivialities|날짜=2008-01-29|이름=Charles|성=Siegel|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2008/01/30/morphisms-of-sheaves/|제목=Morphisms of sheaves|웹사이트=Rigorous Trivialities|날짜=2008-01-30|이름=Charles|성=Siegel|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://golem.ph.utexas.edu/category/2010/02/sheaves_do_not_belong_to_algeb.html|제목=Sheaves do not belong to algebraic geometry|이름=Tom|성=Leinster|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/09/07/sheaves-in-grothendieck-topologies/|제목=Sheaves in Grothendieck topologies|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|날짜=2010-09-07|이름=Akhil|성=Mathew|언어=en}}
* {{nlab|id=sheaf|title=Sheaf}}
** {{nlab|id=motivation for sheaves, cohomology and higher stacks|title=Motivation for sheaves, cohomology and higher stacks}}
** {{nlab|id=presheaf|title=Presheaf}}
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** {{nlab|id=category of presheaves|title=Category of presheaves}}
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** {{nlab|id=functoriality of categories of presheaves|title=Functoriality of categories of presheaves}}
** {{nlab|id=sheafification|title=Sheafification}}
* {{nlab|id=abelian sheaf|title=Abelian sheaf}}
** {{nlab|id=sheaf of abelian groups|title=Sheaf of abelian groups}}
* {{nlab|id=six operations|title=Six operations}}
** {{nlab|id=direct image|title=Direct image}}
** {{nlab|id=inverse image|title=Inverse image}}
** {{nlab|id=direct image with compact support|title=Direct image with compact support}}
** {{nlab|id=exceptional inverse image|title=Exceptional inverse image}}
** {{nlab|id=Verdier duality}}

{{전거 통제}}

[[분류:층론| ]]
[[분류:대수적 위상수학]]