층류 문서 원본 보기

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{{출처 필요 문단|날짜=2017-09-12}}
'''층류'''(laminar flow)란 ''유체가 평행한 층을 이루어 흐르며, 이 층 사이가 붕괴되지 않음''을 의미한다. [[유체 동역학]]에서는, 유체가 [[모멘텀]] [[확산]]이 높고, 모멘텀 [[대류]]가 낮으며, [[압력]] 및 [[속도]]가 시간에 무관한 유동을 층류라고 한다. 이 용어는 '''[[난류 (역학)|난류]]'''와 반대되는 용어이다.

예를 들어, [[항공기]]의 날개 주위를 흐르는 공기 유동을 생각해 보자. 날개의 표면에는 '''[[경계층]]'''(boundary layer)이라고 부르는 아주 얇은 공기의 층이 형성된다. 공기는 [[점성]]이 있기 때문에, 이 경계층은 날개에 부착되어 있게 된다. 날개가 공기 중에서 앞으로 전진할 때, 경계층은 최초에는 날개의 [[유선 (유체)|유선]](stream line) 형상을 따라 흐르게 된다. 바로 이러한 유동을 층류라고 하며, 이러한 경우의 경계층을 층류 경계층(laminar layer)이라고 한다.

일상에서 층류와 [[난류 (역학)|난류]]를 목격할 수 있는 예는 바람이 전혀 없는 조건에서 공중으로 올라가는 담배 연기의 예이다. 이런 조건에서 담배 연기는 처음 어느 정도의 높이까지는 수직으로, 흐트러짐이 전혀 없이 올라가다가(층류) 어느 순간 그 흐름이 흐트러지게 된다([[난류 (역학)|난류]]).

== 구분 기준 ==
어떤 유동이 층류인지 [[난류 (역학)|난류]]인지를 기술하는 데에 중요한 인자가 되는 것이 [[무차원 수]](dimensionless number)인 '''[[레이놀즈 수]]'''이다.

[[관수로]] 흐름의 경우 레이놀즈 수가 2100 이하이면 층류, 2900에서 4000 사이이면 천이 영역, 4000 이상이면 난류라고 한다. 명확한 구분은 없어서 어떤 경우는 2000에서 4000 사이를 천이 영역으로 보기도 한다.{{Sfn|송재우|2012|p=118}} [[개수로]]의 경우 <math>Re = \frac{VD}{\nu} =500</math> 이하이면 [[층류]]라고 한다. 이때 D는 관 직경이 아니라 개수로이므로 동수반경 R을 사용한다.{{Sfn|송재우|2012|p=209}}

{{출처|레이놀즈 수가 1보다 훨씬 작은 경우는 [[스토크스 유동]](Stokes flow)이 된다. 이는 층류의 극단적인 경우로서, 유동에서 [[관성]]에 의한 힘(inertial force)보다 [[점성]]에 의한 힘(viscous force)의 효과가 훨씬 큰 경우이다.|날짜=2017-09-12}}

== 관수로의 층류 흐름 ==
{{본문|관수로#관수로의 층류 흐름}}

=== 유속 분포 ===
[[파일:관수로 내 검사체적.jpg|섬네일|관수로 내 검사체적]]
관수로 내 완전 발달한 비압축성 [[층류]] 흐름에 대한 유속 분포를 구하기 위해 그림과 같은 미소 요소를 도입한다. 미소 요소에 x 방향으로 [[운동량 방정식]]을 적용하면 x 방향으로 가속도가 없으므로 알짜힘도 0이다.
:<math>\Sigma F_x=0</math>
:<math>pA-\tau 2\pi rdx-(p+dp)A=0</math>
전단 응력에 대해 정리하면 <math>\tau =-\frac{dp\cdot r}{dx\cdot 2}</math>이고, 층류의 점성 법칙에 의해 <math>\tau =\mu \frac{du}{dy}</math>이다. y=R-r이고 dy=-dr이므로 [[뉴턴 유체|뉴턴의 점성 법칙]] 즉, <math>\tau =-\mu \frac{du}{dr}</math>이다.

전단 응력에 대해 정리한 식과 점성 법칙을 결합하면
<math>\frac{du}{dr}=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}r</math>이고, 압력 경사 dp/dx는 r과 무관하므로 상수로 취급하고 식을 적분한다.
:<math>u=\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}r^2+C</math>
상수 C를 구하기 위해 관과 접하는 부분(r=R)에서의 유속을 생각해보면 u=0이다. 대입 후 식을 정리하면 포물선의 유속 분포는 다음과 같다.
:<math>u=-\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}R^2\left( 1-\frac{r^2}{R^2}\right)\qquad \cdots (4)</math>
수평관의 경우 <math>\frac{dp}{dx}=\frac{p_2-p_1}{l}=-\frac{\gamma h_L}{l}</math>이므로
:<math>u=\frac{\gamma h_L}{4\mu l}R^2\left( 1-\frac{r^2}{R^2}\right)\qquad \cdots (5)</math>이고, 이 식으로 표현되는 층류를 [[푸아죄유의 법칙|하겐-푸아죄유]](Hagen-Poiseuille) 흐름이라고 한다.{{Sfn|김경호|2010|p=395-397}}

=== 최대 유속 ===
관수로에서는 관 중심에서 유속이 최대이다. 즉 r=0일 때, u=u<sub>max</sub>이다. (4), (5)식에 대입하면
:<math>u_{max}=-\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}R^2</math>
:<math>u_{max}=\frac{\gamma h_L}{4\mu l}R^2</math>
따라서 관수로에서 층류 유속 분포 식 (5)를 u<sub>max</sub>로도 나타낼 수 있다.<ref name="kimkyeongho-2010-p397-398">{{Harvnb|김경호|2010|p=397-398}}</ref>
:<math>u=u_{max}\left( 1-\frac{r^2}{R^2}\right)</math>

=== 평균 유속 ===
평균 유속을 구하기 위해 유량을 먼저 구한다.
:<math>
\begin{matrix}
Q &=& \int_AudA=\int_0^Ru_{max}\left( 1-\frac{r^2}{R^2}\right)2\pi rdr \\
       &=& \frac{1}{2}u_{max}\pi R^2
\end{matrix}
</math>
:<math>V=\frac{Q}{A}=\frac{1}{2}u_{max}</math>
식으로부터 관수로의 평균 유속은 관 중심에서 최대 유속의 절반이 됨을 알 수 있다.<ref name="kimkyeongho-2010-p397-398" />

=== 마찰손실계수 ===
u<sub>max</sub>=2V이므로 <math>u_{max}=\frac{\gamma h_L}{4\mu l}R^2</math>에 대입하면 <math>V=\frac{\gamma h_L}{8\mu l}R^2</math>이다. R=d/2를 식에 대입하고 손실 수두 h<sub>L</sub>에 대해 정리하면 다음과 같다.
:<math>h_L=\frac{64\mu}{\rho Vd}\frac{l}{d}\frac{V^2}{2g}</math>
이를 Darcy-Weisbach 식과 비교하면 마찰손실계수 <math>f=\frac{64\mu}{\rho Vd}=\frac{64}{Re}</math>이다. 앞서 마찰손실계수 실험에서 층류의 경우 마찰손실계수는 관의 조도와 상관 없이 레이놀즈 수에만 영향을 받는다고 하였는데, 유도된 식에서도 같은 결론을 얻을 수 있다.{{Sfn|김경호|2010|p=398-399}}

== 같이 보기 ==
* [[푸아죄유의 법칙]]
* [[난류 (역학)]]
* [[천이 유동]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==

* {{서적 인용 | 저자=송재우 | 날짜= 2012 | 판=3 | 제목= 수리학 | 출판사=구미서관 | 쪽= | ISBN= 978-89-8225-857-2 | ref=harv}}
* {{서적 인용 | 저자=김경호 | 날짜= 2010 | 판=1 | 제목= 수리학 | 출판사=한티미디어 | 쪽= | ISBN= 978-89-6421-019-2 | ref=harv}}

{{전거 통제}}

{{토막글|공학|물리학}}

[[분류:유체역학]]