측지선 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|일반 상대성 이론의 지름길}}
{{다른 뜻|지름길}}

[[기하학]]에서 '''측지선'''(測地線, {{lang|en|geodesic}}) 또는 '''지름길'''이란 [[직선]]의 개념을 굽은 공간으로 일반화한 것이다. 많은 경우, 측지선은 [[표면]]의 두 지점 사이의 가장 짧은 경로를 나타내는 [[곡선]]이다. ([[준 리만 다양체]], 예를 들어 [[로렌츠 다양체]]의 경우 정의는 더 복잡하다.) [[아핀 접속]]을 갖는 [[매끄러운 다양체]]에서도 정의될 수 있다.

== 정의 ==
[[로비어 공간]] <Math>(X,d)</math>과 [[닫힌구간]] <math>[a,b]\subseteq\mathbb R</math>가 주어졌다고 하자.

만약 [[함수]]
:<math>\gamma\colon[a,b]\to X</math>
에 대하여, 다음 조건이 성립하게 하는 상수 <math>v\in[0,\infty)</math>가 존재한다면, <math>\gamma</math>를 '''(대역적) 측지선'''((大域的)測地線, {{llang|en|(global) geodesic}})이라고 한다.<ref name="BH">{{서적 인용|제목=Metric spaces of non-positive curvature|이름=Martin R.|성1=Bridson|이름2=André|성2=Häfliger|doi=10.1007/978-3-662-12494-9|isbn=978-3-540-64324-1|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|권=319|issn=0072-7830|출판사=Springer-Verlag|언어=en}}</ref>{{rp|4, Definition 1.3}}<ref name="Mennucci">{{저널 인용|제목=Geodesics in Asymmetric Metric Spaces|저널=Analysis and Geometry in Metric Spaces|이름=Andrea C. G.|성=Mennucci|url=http://cvgmt.sns.it/media/doc/paper/2264/asym_met_geo.pdf|언어=en}}</ref>{{rp|Definition 7.1(2)}}
:<math>\forall s,t\in[a,b]\colon s\le t\implies d(\gamma(s),\gamma(t))=v(t-s)</math>
이는 항상 [[길이를 갖는 곡선]]이며, 그 [[길이를 갖는 곡선|길이]]는 물론 <math>v(b-a)</math>이다. <math>v</math>를 측지선 <math>\gamma</math>의 '''속력'''(速力, {{llang|en|speed}})이라고 한다.

만약 [[닫힌구간]] <math>[a,b]\subseteq\mathbb R</math> 위에 정의된 [[함수]]
:<math>\gamma\colon[a,b]\to X</math>
가 다음 조건을 만족시킨다면, '''국소 측지선'''(局所測地線, {{llang|en|local geodesic}})이라고 한다.<ref name="BH"/>{{rp|4, Definition 1.3}}<ref name="Mennucci"/>{{rp|Definition 7.1(2)}}
:임의의 <math>t\in [a,b]</math>에 대하여, 제한 <math>\gamma\restriction[c,d]</math>가 대역적 측지선이 되는 [[닫힌집합|닫힌]] [[근방]] <math>[a,b]\supseteq[c,d]\ni t</math>가 존재한다.
사실 <math>[a,b]</math>가 [[콤팩트 공간]]이므로, 위 조건은 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수 <math>v\in[0,\infty)</math> 및 양의 실수 <math>\epsilon\in\mathbb R^+</math>의 존재와 [[동치]]이다.
:<math>\forall s,t\in[a,b]\colon 0\le t-s<\epsilon \implies d(\gamma(s),\gamma(t))=v(t-s)</math>
이 역시 [[길이를 갖는 곡선]]이며, 그 [[길이를 갖는 곡선|길이]]는 역시 <math>v(b-a)</math>이다.

[[로비어 공간]] <math>(X,d)</math>에 대하여, 다음 조건들을 정의하자.
* 만약 임의의 두 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>\gamma(a)=x</math>이자 <math>\gamma(b)=y</math>인 대역적 측지선 <Math>\gamma\colon[a,b]\to X</math>가 존재한다면, <Math>(X,d)</math>를 '''측지선 로비어 공간'''(測地線Lawvere空間, {{llang|en|geodesic Lawvere space}})이라고 한다.<ref name="BH"/>{{rp|4, Definition 1.3}}
* 만약 임의의 두 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>\gamma(0)=x</math>이자 <math>\gamma(1)=y</math>인 대역적 측지선 <math>\gamma\colon[0,1]\to X</math>가 유일하게 존재한다면, <math>(X,d)</math>를 '''유일 측지선 로비어 공간'''(唯一測地線Lawvere空間, {{llang|en|uniquely geodesic Lawvere space}})이라고 한다.<ref name="BH"/>{{rp|4, Definition 1.3}}

모든 측지선 로비어 공간은 [[길이 로비어 공간]]이다.

=== 다양체의 측지선 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>M</math> 위의 [[아핀 접속]] <math>\nabla</math>
* 실수 [[닫힌구간]] <math>[a,b]\subseteq\mathbb R,\qquad(a\le b)</math>

이 경우, <math>M</math> 위의 '''에너지 측지선'''은 다음 조건을 만족시키는, [[매끄러운 함수|매끄러운]] 곡선
:<math>\gamma\colon[a,b]\to M</math>
이다. 우선, <math>\gamma</math>의 [[상 (수학)|상]]을 포함하는 임의의 [[열린집합]] <math>U\supseteq\gamma([a,b])</math> 위에, 다음 조건을 만족시키는 임의의 [[벡터장]]을 고르자.
:<math>X\in\Gamma^\infty(U,\mathrm TU)</math>
:<math>\forall t\in[a,b]\colon \dot\gamma(t)=X_{\gamma(t)}</math>
그렇다면, <math>X</math>는 다음 조건을 만족시켜야 하며, 이를 '''측지선 방정식'''(測地線方程式, {{lang|en|geodesic equation}})이라고 한다.
:<math>\forall t\in[a,b]\colon(\nabla_XX)_{\gamma(t)}=0\in{\mathrm T}_{\gamma(t)}M</math>
측지선 방정식은 대략 접벡터가 측지선을 따라 이동할 때 평행을 유지한다는 것을 의미한다.

이 조건이 성립하는지 여부는 사실 <math>X</math>의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 사실, 위 조건은 국소 좌표계로 적으면 다음과 같다.
:<math>\ddot\gamma^k+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k\dot\gamma^i\dot\gamma^j=0</math>
여기서 <math>\Gamma_{ij}^k</math>는 <math>\nabla</math>의 [[크리스토펠 기호]]이다.

== 성질 ==
=== 기초적 성질 ===
임의의 [[로비어 공간]] <math>(X,d)</math> 및 임의의 양의 실수 <math>C\in\mathbb R^+</math>가 주어졌을 때, <Math>(X,Cd)</math> 역시 로비어 공간을 이룬다. 이 경우, <math>(X,Cd)</math>의 (국소) 측지선은 다음과 같다.
* 임의의 함수 <math>\gamma\colon[a,b]\to X</math>에 대하여, <math>\gamma</math>가 측지선인 것은 <math>\gamma'\colon[Ca,Cb]\to(X,Cd)</math>, <math>t\mapsto \gamma(t/c)</math>가 측지선인 것과 [[동치]]이다.
* 임의의 함수 <math>\gamma\colon[a,b]\to X</math>에 대하여, <math>\gamma</math>가 국소 측지선인 것은 <math>\gamma'\colon[Ca,Cb]\to(X,Cd)</math>, <math>t\mapsto \gamma(t/c)</math>가 국소 측지선인 것과 [[동치]]이다.

마찬가지로, 반대 로비어 공간 <Math>X^{\operatorname{op}}=(X,d^{\operatorname{op}})</math> 위의 측지선은 다음과 같다.
* 임의의 함수 <math>\gamma\colon[a,b]\to X</math>에 대하여, <math>b>a</math>일 때, <math>\gamma</math>가 측지선인 것은 <math>\gamma'\colon[a,b]\to X^{\operatorname{op}}</math>, <math>t\mapsto \gamma(b-(t-a)/(a-b))</math>가 측지선인 것과 [[동치]]이다.
* 임의의 함수 <math>\gamma\colon[a,b]\to X</math>에 대하여, <math>b>a</math>일 때, <math>\gamma</math>가 국소 측지선인 것은 <math>\gamma'\colon[a,b]\to X^{\operatorname{op}}</math>, <math>t\mapsto \gamma(b-(t-a)/(a-b))</math>가 국소 측지선인 것과 [[동치]]이다.

임의의 [[매끄러운 다양체]] 및 [[아핀 접속]] <math>(M,\nabla)</math>에 대하여, 그 위의 에너지 측지선은 매개 변수의 아핀 변환에 의존하지 않는다.

=== 위상수학적 성질 ===
임의 [[확장 유사 거리 공간]](즉, 대칭 계량을 갖는 [[로비어 공간]])에서, (상수 <math>v</math>에 대하여 성립하는) 측지선은 항상 (같은 상수 <Math>v</math>에 대한) [[립시츠 연속 함수]]이며, 특히 [[균등 연속 함수]]이자 [[연속 함수]]이다.

일반적 [[로비어 공간]]의 경우 측지선이 (열린 공 위상에서) [[연속 함수]]일 필요는 없다. 그러나 [[닫힌구간]] <math>[a,b]</math> 위에 다음과 같은 [[기저 (위상수학)|기저]]를 갖는 [[조르겐프라이 위상]]
:<math>\{[c,d)\cap[a,b]\colon c,d\in\mathbb R\}\colon</math>
을 부여할 때, 측지선 <math>[a,b]\to X</math>는 <math>X</math>의 열린 공 위상에 대하여 [[연속 함수]]이다. (조르겐프라이 위상은 표준적 위상보다 더 [[섬세한 위상]]이다.)

=== 길이 공간 ===
[[길이 로비어 공간]] <math>(X,d)</math>의 경우, 함수 <math>\gamma\colon[a,b]\to X</math>가 속력 1의 측지선이 될 [[필요 충분 조건]]은 <math>\gamma</math>가 두 점 <Math>a</math>, <math>b</math>를 잇는 최단의 [[길이를 갖는 곡선]]인 것이다.

=== 리만 다양체 ===
[[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 [[매끄러운 함수]]
:<math>\gamma\colon[a,b]\to M</math>
에 대하여, 다음과 같은 두 범함수를 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname{length}(\gamma)=\int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}\;\mathrm dt</math>
:<math>\operatorname{energy}(\gamma)=\frac12\int_a^b g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\;\mathrm dt</math>
이 둘은 <math>\gamma</math>에 대한 [[작용 (물리학)|작용]]을 이루며, 이 둘에 대한 [[오일러-라그랑주 방정식]]을 정의할 수 있다. <math>\operatorname{length}(\gamma)</math>는 [[길이를 갖는 곡선|곡선의 길이]]이며, <math>\operatorname{energy}(\gamma)</math>는 단위 질량의 입자의 (비(非)상대론적) [[운동 에너지]]이다. 길이 범함수는 매개 변수의 변환에 대하여 불변이지만, 에너지 범함수의 경우 그렇지 않다.

임의의 [[준 리만 다양체]]에서, 에너지 범함수 <math>\operatorname{energy}</math>의 [[오일러-라그랑주 방정식]]은 측지선 방정식과 같다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''유도:'''
<div class="mw-collapsible-content">
편의상 [[아인슈타인 표기법]]을 사용하자.
에너지 범함수는 다음과 같은 [[라그랑지언]]의 적분이다.
:<math>\mathcal L(x,v)=\frac12g_{ij}v^iv^j</math>
[[일반화 운동량]]은 다음과 같다.
:<math>p_i(x,v)=\frac{\partial\mathcal L}{\partial v^i}=g^{ij}v_j</math>
:<math>\frac{\partial p_i}{\partial v^j}=g_{ij}</math>
:<math>\frac{\partial p_i}{\partial x^j}=v^k\partial_jg_{ik}</math>
마찬가지로, [[일반화 힘]]은 다음과 같다.
:<math>F_i=\frac{\partial L}{\partial x^i}=\frac12v^jv^k\partial_ig_{jk}</math>
따라서 [[오일러-라그랑주 방정식]]은 다음에 <math>\dot v_i\mapsto\ddot\gamma^i(t)</math>, <math>v^i\mapsto\dot\gamma^i(t)</math>, <math>x^i\mapsto \gamma(t)</math>를 대입하여 얻는다.
:<math>F_i=\frac{\partial p_i}{\partial v^j}\dot v^j+\frac{\partial p_i}{\partial x^j}v^j
=g_{ij}\dot v^j+v^jv^k\partial_jg_{ik}
</math>
즉, 다음과 같다.
:<math>\frac12\dot\gamma^j\dot\gamma^k\partial_ig_{jk}
=g_{ij}\ddot\gamma^j + \dot\gamma^j\dot\gamma^k\partial_jg_{ik}</math>
즉, 이를 재정리하면 다음과 같다.
:<math>\ddot\gamma^k = \frac12\dot\gamma^i\dot\gamma^j g^{kl} \left(
\partial_l g_{ij} - 2\partial_ig_{jl}\right)
=
\frac12\dot\gamma^i\dot\gamma^j g^{kl} \left(
\partial_l g_{ij} - \partial_ig_{jl}-\partial_jg_{il}\right)
=-\dot\gamma^i\dot\gamma^j\Gamma^k_{ij}</math>
</div></div>

[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>는 [[매끄러운 다양체]]이며, 또한 항상 [[길이 로비어 공간]]을 이룬다. 이에 따라, 측지선의 개념과 다양체 측지선의 개념을 동시에 적용할 수 있다. [[리만 다양체]] 위의 에너지 측지선
:<math>\gamma\colon[a,b]\to M</math>
의 경우, <math>\gamma\circ f</math>가 국소 측지선을 이루는 증가 [[전단사 함수|전단사]] [[연속 함수]] <math>[a',b']\to [a,b]</math>가 존재한다. 반대로, 매끄러운 국소 측지선 <math>\gamma\colon[a,b]\to M</math>의 경우, <math>\gamma\colon g</math>가 에너지 측지선을 이루는 증가 [[전단사 함수|전단사]] [[연속 함수]] <math>[a',b']\to M</math>이 존재한다.

== 예 ==
임의의 [[로비어 공간]] 또는 [[매끄러운 다양체]] <math>X</math> 위의 [[상수 함수|상수 곡선]]
:<math>\gamma\colon[a,b]\to X</math>
:<math>\gamma\colon t\mapsto x\qquad\forall t\in[a,b]</math>
는 자명하게 측지선을 이룬다.

=== 이산 공간과 비이산 공간 ===
임의의 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, 크기 <math>\kappa</math>의 집합 <math>X</math> 위에 [[유사 거리 함수]]
:<math>d(x,y)=\begin{cases}
0&x=y\\
\infty&x\ne y
\end{cases}\qquad\forall x,y\in X</math>
를 부여하자. (이는 [[이산 공간]]에 해당한다.) 이 경우, 측지선은 [[상수 함수|상수 곡선]] 밖에 없다.

크기 <math>\kappa</math>의 집합 <math>X</math> 위에 [[로비어 공간]] 구조
:<math>d(x,y)=0\qquad\forall x,y\in X</math>
를 주자. (이는 [[비이산 공간]]에 해당한다.) 이 경우, 임의의 곡선
:<math>\gamma\colon[a,b]\to X</math>
은 측지선이다.

=== 노름 공간 ===
[[노름 공간]] <math>(V,\|\|)</math>가 주어졌다고 하자. 만약 [[거리 함수]]
:<math>d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|</math>
를 부여하였을 때, 이는 유일 측지선 공간이며, 임의의 서로 다른 두 벡터 <math>u,v\in V</math> 사이의 측지선은 다음과 같은 꼴의 선분이다.
:<math>\gamma\colon[0,\|u-v\|]\to V</math>
:<math>\gamma\colon t\mapsto u+\frac t{\|v-u\|}(v-u)\qquad(u\ne v)
</math>


특히, [[유클리드 공간]]의 거리는 위와 같이 [[노름]]으로 주어지므로, [[유클리드 공간]]의 측지선은 선분이다.
[[유클리드 공간]]을 [[리만 다양체]]로 여겼을 때, ([[직교좌표계]]에서) [[크리스토펠 기호]]가 0이다.
:<math>\Gamma^k_{ij}=0</math>
따라서 측지선 방정식은 단순히 [[가속도]]가 0인 것이 된다.
:<math>\ddot\gamma=0</math>

=== 초구 ===
{{본문|대원}}
[[파일:Spherical_triangle.svg|섬네일|오른쪽|구면 위의, 세 개의 측지선을 ‘변’으로 하는 ‘삼각형’]]
[[초구]] 위의 측지선은 '''[[대원]]'''이라고 한다.

=== 직선 위의 리만 계량 ===
실수선 <math>\mathbb R</math> 위에 다음과 같은 [[리만 계량]]을 주자.
:<math>d(x,x')=\int_x^{x'}\sqrt{g(y)}\,\mathrm dy\qquad(x\le x')</math>
:<math>g\colon\mathbb R\to\mathbb R^+</math>
그렇다면, 이 경우 [[크리스토펠 기호]]는 다음과 같다.
:<math>\Gamma(x)=\frac1{2g(x)}\dot g(x)=\frac12\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(g(x))</math>
측지선 방정식은 다음과 같다.
:<math>\ddot\gamma(t)+\Gamma(\gamma(t))\dot\gamma(t)^2=0</math>
이는 2차 [[상미분 방정식]]이다. 이는 위치 및 속도 의존 [[힘 (물리학)|힘]]
:<math>F=-\Gamma(\gamma(t))\dot\gamma^2</math>
의 영향을 받는 입자의 운동이다.

예를 들어, 크리스토펠 기호가 상수인 경우, 즉
:<math>g(x)=g_0\exp(2\Gamma x)</math>
인 경우, 이 방정식은
:<math>\ddot\gamma(t)+\Gamma \dot\gamma(t)^2=0</math>
이며, 그 해는
:<math>\dot\gamma(t)=\left(v_0+\Gamma t\right)^{-1}</math>
:<math>\gamma(t)=\Gamma^{-1}\ln|v_0+\Gamma t|+x_0</math>
이다.

== 역사와 어원 ==
‘측지선’이라는 용어는 지구상의 두 점 사이의 최단 경로([[대원]]의 일부)<ref>{{서적 인용|저자1=최용기|저자2=박기용 |제목=토목기사 과년도 시리즈 - 측량학 |날짜=2015 |출판사=성안당 |isbn=9788931568080|쪽='''1'''-11}}</ref> 따위를 연구하는 [[측지학]]에서 온 것이다. 한국어의 경우, [[대한수학회]] 용어집에서는 "측지선",<ref>대한수학회 수학용어 https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=geodesic</ref> [[한국물리학회]] 용어집에서는 "지름길"을 쓴다.<ref>한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.kr/content/voca/search.php?et=en&find_kw=geodesic</ref> 측지선은 헤아릴 측(測), 땅 지(地), 줄 선(線) 자를 쓴다.<ref>https://hanja.dict.naver.com/#/entry/ccko/83282c49222c435c9e1b9edc2802fe48</ref>

== 응용 ==
[[일반 상대성 이론]]에서, [[시공간]]은 [[준 리만 다양체]]를 이룬다. 이 경우, 시험 입자([[에너지]]와 [[운동량]]이 매우 작아, 시공간에 거의 영향을 끼치지 않는 입자)는 [[시공간]]의 측지선을 따라 움직인다.

== 같이 보기 ==
* [[지름길]]
* [[일반 상대성 이론의 지름길]]
* [[굽은 시공간]]
* [[타원면에 대한 측지선]]
* [[지오데식]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Geodesic line }}
* {{eom|title=Geodesic distance }}
* {{eom|title=Geodesic flow }}
* {{eom|title=Geodesic triangle }}
* {{eom|title=Geodesic hypothesis }}
* {{eom|title=Geodesic geometry }}
* {{매스월드|id=Geodesic|title=Geodesic}}
* {{매스월드|id=GeodesicCurvature|title=Geodesic curvature}}
* {{매스월드|id=GeodesicTriangle|title=Geodesic triangle}}
* {{매스월드|id=GeodesicEquation|title=Geodesic equation}}
* {{nlab|id=geodesic|title=Geodesic}}
* {{저널 인용|url=http://www.boma.mpim-bonn.mpg.de/data/49print.pdf|제목=Totally geodesic submanifold - definition|이름=Hans-Bert|성=Rademacher|저널=Bulletin of the Manifold Atlas|날짜=2013|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:물리학 개념]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:계량기하학]]
[[분류:측지선 (수학)]]