측도 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|선재도|수학에서 집합의 크기를 측정하는 함수 측도(測度)|인천광역시의 섬 측도(測島)}}
[[수학]]에서 '''측도'''(測度, {{llang|en|measure}})는 특정 [[부분 집합]]에 대해 일종의 ‘크기’를 부여하며, 그 크기를 [[가산 집합|가산개]]로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다.<ref name="Tao">{{서적 인용
|url=https://terrytao.files.wordpress.com/2012/12/gsm-126-tao5-measure-book.pdf
|형식=PDF
|성=Tao
|이름=Terence
|저자링크=테런스 타오
|제목=An introduction to measure theory
|언어=en
|총서=Graduate Studies in Mathematics
|권=126
|출판사=American Mathematical Society
|날짜=2011
|isbn=978-0-8218-6919-2
|zbl=1231.28001
}}</ref> 측도의 개념은 [[유한 집합]]의 원소의 수 · 실수 [[구간]]의 [[길이]] · 평면 도형의 [[넓이]] · 3차원 입체의 [[부피]]의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 '''측도 공간'''(測度空間, {{llang|en|measure space}})이라고 한다. 이와 같이 측도와 측도 공간을 연구하는 수학 분야를 '''측도론'''(測度論, {{llang|en|measure theory}})이라고 한다.

== 정의 ==
=== 측도 ===
[[불 대수]]의 두 원소 <math>x,y\in B</math>에 대하여, <math>x\land y=\bot</math>라면 두 원소가 '''서로소'''(-素, {{llang|en|disjoint}})라고 한다.

임의의 음이 아닌 [[확장된 실수]]들의 ([[비가산]]일 수 있는) 집합 <math>S\subseteq[0,\infty]</math>의 합을 다음과 같이 정의하자.<ref name="Jech">{{서적 인용 | last=Jech | first=Thomas | title=Set theory | url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4 | publisher= Springer-Verlag | series=Springer Monographs in Mathematics | 날짜=2003 | doi=10.1007/3-540-44761-X | issn= 1439-7382 | 판 = 3 | isbn= 978-3-540-44085-7 | zbl = 1007.03002 | 언어=en | id={{iaid|settheory0000jech_f7i4}}}}</ref>{{rp|129, (10.10)}}
:<math>\sum S=\sup_{{\scriptstyle S'\subseteq S\atop\scriptstyle|S'|<\aleph_0}}\sum S'\in[0,\infty]</math>

임의의 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>가 주어졌다고 하자. <math>\kappa</math>-[[완비 불 대수]] <math>\Sigma</math> 위의 [[함수]] <math>\mu\colon\Sigma\to[0,\infty]</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>\mu</math>가 '''<math>\kappa</math>-가법 측도'''(-加法測度, {{llang|en|<math>\kappa</math>-additive measure}})라고 한다.
* 임의의 서로소 원소들로 구성된 부분 집합 <math>\mathcal S\subseteq\Sigma</math>에 대하여, 만약 <math>|\mathcal S|<\kappa</math>라면, <math>\textstyle\mu(\bigvee\mathcal S)=\sum \mu[\mathcal S]</math>.
** (특히, <math>\kappa\ge1</math>일 때, <math>\mathcal S=\varnothing</math>일 경우 <math>\textstyle\mu(\bot_\Sigma)=0</math>이다.)
** (특히, <math>\kappa\ge2</math>일 때, 임의의 <math>A\le B</math>에 대하여 <math>\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\land\lnot A)\ge\mu(A)</math>이므로, <math>\mu</math>는 [[증가 함수]]이다.)
여기서 <math>[0,\infty]</math>는 음이 아닌 [[확장된 실수]]의 [[전순서 집합]]이며, <math>\textstyle\bigvee</math>는 [[상한]]을 뜻하며, <math>\bot_\Sigma</math>은 시그마 대수의 [[최소 원소]]이다.

만약 <math>2<\kappa\le\aleph_0</math>일 경우, <math>\mu</math>를 '''유한 가법 측도'''(有限加法測度, {{llang|en|finitely additive measure}})라고 한다. 만약 <math>\kappa=\aleph_1</math>인 경우, <math>\aleph_1</math>-[[완비 불 대수]]를 [[시그마 대수]]라고 하며, <math>\mu</math>를 '''가산 가법 측도'''(加算加法測度, {{llang|en|countably additive measure}}) 또는 '''시그마 가법 측도'''(σ加法測度, {{llang|en|sigma-additive measure}}) 또는 단순히 '''측도'''라고 한다.

[[불 대수]] <math>B</math> 위의 [[함수]] <math>\mu\colon B\to[0,\infty]</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 유한 가법 측도이다.
* 다음 세 조건이 성립한다.
** <math>\mu(\bot_B)=0</math>
** (증가성) 임의의 <math>x,y\in B</math>에 대하여, 만약 <math>x\le y</math>라면, <math>\mu(x)\le\mu(y)</math>
** (모듈러성) 임의의 <math>x,y\in B</math>에 대하여, <math>\mu(x\land y)+\mu(x\lor y)=\mu(x)+\mu(y)</math>

=== 유한 측도 ===
<math>\kappa</math>-[[완비 불 대수]] <math>\Sigma</math> 위의 <math>\kappa</math>-가법 측도 <math>\mu</math>에 대하여, 만약 <math>\mu(\top_\Sigma)<\infty</math>라면 <math>\mu</math>를 '''유한 측도'''(有限測度, {{llang|en|finite measure}})라고 한다. 만약 <math>\mu(\top_\Sigma)=1</math>이라면 <math>\mu</math>를 '''[[확률 측도]]'''라고 한다. 사실, 임의의 <math>\kappa>\aleph_1</math>에 대하여, <math>\kappa</math>-가법 유한 측도는 가산 가법 유한 측도와 동치이다. 이는 유한 가법 유한 측도를 갖는 [[불 대수]]는 [[가산 사슬 조건]](즉, 서로소 원소들의 [[비가산 집합]]을 갖지 않음)을 만족시키기 때문이다.<ref name="Vladimirov">{{서적 인용
|url=http://www.math.nsc.ru/LBRT/g2/english/ssk/vladimirov.pdf
|성=Vladimirov
|이름=D. A. 
|제목=Boolean Algebras in Analysis
|언어=en
|총서=Mathematics and Its Applications
|권=540
|출판사=Springer Science+Business Media B.V.
|위치=Dordrecht
|날짜=2002
|isbn=978-90-481-5961-1
|doi=10.1007/978-94-017-0936-1
}}</ref>{{rp|24, §3.3, Theorem 5}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[불 대수]] <math>B</math>가 유한 가법 유한 측도 <math>\mu\colon B\to[0,\infty]</math>를 갖는다고 하자. [[귀류법]]을 사용하여, <math>B</math>가 서로소 원소들의 [[비가산 집합]] <math>S\subseteq B</math>를 갖는다고 하자.
:<math>S_i=\left\{s\in S\colon \mu(s)\ge\frac 1i\right\}\qquad(i\in\mathbb Z^+)</math>
라고 하자. 그렇다면 <math>\textstyle S\setminus\{\bot_B\}=\bigcup_{i=1}^\infty S_i</math>이므로 <math>|S_{i_0}|\ge\aleph_0</math>인 <math>i_0\in\mathbb Z^+</math>가 존재한다. 따라서,
:<math>
\mu(\top_B)
\ge\sup_{\scriptstyle{S'\subseteq S_{i_0}\atop|S'|<\aleph_0}}\mu\left(\bigvee S'\right)
=\sup_{\scriptstyle{S'\subseteq S_{i_0}\atop|S'|<\aleph_0}}\sum\mu[S']
\ge\sup_{\scriptstyle{S'\subseteq S_{i_0}\atop|S'|<\aleph_0}}\frac{|S'|}{i_0}
=\infty
>\mu(\top_B)</math>
이며, 이는 모순이다.
</div></div>

[[시그마 대수]] <math>\Sigma</math> 위의 가산 가법 측도 <math>\mu</math>에 대하여, 만약
:<math>\bigvee \mathcal S=\top_\Sigma</math>
:<math>\forall S\in\mathcal S\colon\mu(S)<\infty</math>
:<math>|\mathcal S|\le\aleph_0</math>
를 만족시키는 부분 집합 <math>\mathcal S\subseteq\Sigma</math>가 존재한다면, <math>\mu</math>를 '''시그마 유한 측도'''(σ有限測度, {{llang|en|sigma-finite measure}})라고 한다.

[[불 대수]] 위의 유한 가법 측도 <math>\mu\colon\Sigma\to[0,\infty]</math>에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, <math>\mu</math>를 '''준유한 측도'''(準有限測度, {{llang|en|semifinite measure}})라고 한다.<ref name="Bogachev1">{{서적 인용|제목=Measure theory. Volume 1|이름=Vladimir I.|성=Bogachev|출판사=Springer-Verlag|doi=10.1007/978-3-540-34514-5|isbn=978-3-540-34513-8|날짜=2007|언어=en}}</ref>{{rp|97, Exercise 1.12.132}}
* 임의의 <math>S\in\Sigma</math>에 대하여, 만약 <math>\mu(S)>0</math>이라면, <math>0<\mu(T)<\infty</math>인 <math>\Sigma\ni T\subseteq S</math>가 존재한다.
완비 불 대수 위의 준유한 가산 가법 측도를 '''마하람 측도'''({{llang|en|Maharam measure}}) 또는 '''국소화 가능 측도'''({{llang|en|localizable measure}})라고 한다.<ref name="Bogachev1"/>{{rp|97, Exercise 1.12.134}}

=== 영집합의 순서 아이디얼 ===
<math>\kappa</math>-[[완비 불 대수]] <math>\Sigma</math> 위의 측도 <math>\mu</math>가 주어졌을 때, 그 '''[[영집합|영원소]]'''(零元素, {{llang|en|null element}})는 측도가 0인 원소이다. 그 집합을 다음과 같이 표기하자.
:<math>\operatorname{Null}(\Sigma,\mu)=\{S\in\Sigma\colon\mu(S)=0\}</math>
이는 <math>\kappa</math>-완비 [[순서 아이디얼]]을 이루며, 따라서 몫 대수 <math>\tilde\Sigma=\Sigma/\operatorname{Null}(\Sigma,\mu)</math>를 정의할 수 있고, <math>\mu</math>는 그 위에 잘 정의된다. 이 경우, 추가로 다음 성질이 성립한다.
:<math>\forall\tilde S\in\tilde\Sigma\colon \mu(\tilde S)=0\iff\tilde S=\bot_{\tilde\Sigma}</math>
즉, 이 경우 자명하지 않은 영원소들을 없앨 수 있다.

=== 측도 공간 ===
'''측도 대수'''(測度代數, {{llang|en|measure algebra}})는 [[시그마 대수]] <math>\Sigma</math>와 그 위의 측도 <math>\mu</math>의 [[순서쌍]] <math>(\Sigma,\mu)</math>이다.<ref name="Bogachev2">{{서적 인용|제목=Measure theory. Volume 2|이름=Vladimir I.|성=Bogachev|출판사=Springer-Verlag|doi=10.1007/978-3-540-34514-5|isbn=978-3-540-34513-8|날짜=2007|언어=en}}</ref>{{rp|277, §9.3}}

[[가측 공간]] <math>(X,\Sigma)</math>에서, [[가측 집합]]들의 [[집합족]] <math>\Sigma\subseteq\mathcal P(X)</math>는 [[시그마 대수]]를 이룬다. '''측도 공간''' <math>(X,\Sigma,\mu)</math>은 [[가측 공간]] <math>(X,\Sigma)</math>과 <math>\Sigma</math> 위의 측도 <math>\mu</math>의 [[순서쌍]]이다. 만약 <math>\mu</math>가 확률 측도라면, <math>(X,\Sigma,\mu)</math>를 '''[[확률 공간]]'''이라고 한다.

== 연산 ==
=== 합측도 ===
임의의 측도 공간들의 족 <math>(X_i,\Sigma_i,\mu_i)_{i\in I}</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[분리합집합]]
:<math>X=\bigsqcup_{i\in I}X_i</math>
위에 시그마 대수
:<math>\Sigma=\sigma\left(\bigsqcup\Sigma_i\right)</math>
를 부여하고, 그 위에 측도
:<math>\mu\left(\bigsqcup_{i\in I}S_i\right)
=\sum_{i\in I}\mu_i(S_i)\qquad(\forall i\in I\colon S_i\in\Sigma_i)</math>
를 부여할 수 있다.

=== 곱측도 ===
두 [[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math>, <math>(X',\Sigma',\mu')</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[곱집합]] <math>X\times X'</math> 위에 [[시그마 대수]]
:<math>\Sigma\times\Sigma'=\sigma(\{S\times S'\colon S\in\Sigma,\;S'\in\Sigma'\})</math>
를 부여하자. (여기서 <math>\sigma(-)</math>는 주어진 집합족으로 생성되는 최소의 [[시그마 대수]]를 뜻한다.) 이제, 추가로 <math>\mu</math>와 <math>\mu'</math>이 시그마 유한 측도라면, <math>\Sigma\times\Sigma'</math> 위에 다음과 같은 측도를 부여할 수 있다.
:<math>\mu\times\mu'\colon A\mapsto
\int_{X'}\mu(\{x\colon (x,y)\in A\})\,\mathrm{d}\mu'(y)
=\int_X\mu'(\{y\colon (x,y)\in A\})\,\mathrm{d}\mu(x)
\qquad(A\in\Sigma\times\Sigma')
</math>
시그마 유한 조건 아래, 이는 다음 항등식을 만족시키는, <math>\Sigma\times\Sigma'</math> 위의 유일한 측도이다.
:<math>(\mu\times\mu')(S\times S')=\mu(S)\mu(S')\qquad\forall S\in\Sigma,\;S'\in\Sigma'</math>
(우변에서 <math>0\cdot\infty=\infty\cdot0=0</math>으로 놓는다.)

그러나 만약 시그마 유한 조건이 성립하지 않는다면 위 등식이 성립하지 못할 수 있다.

== 성질 ==
임의의 측도 공간 <math>(X,\Sigma,\mu)</math>에서 다음 명제들이 성립한다.
* (단조성) [[부분 순서 집합]] <math>(\Sigma,\le)</math>에서 음이 아닌 확장 실수선의 [[전순서 집합]] <math>([0,\infty],\le)</math>으로 가는 함수 <math>\mu</math>는 [[단조함수]]이다. 즉, <math>S_1,S_2\in\Sigma</math>이며 <math>S_1\subset S_2</math>라면 <math>\mu(S_1)\le\mu(S_2)</math>이다.
* 만약 <math>S_1,S_2,\dots\in\Sigma</math>라면, 다음이 성립한다.
*:<math>\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty S_i\right)=\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{i=1}^nS_i\right)\le\sum_{i=1}^\infty\mu(S_i)</math>
*: 어떤 <math>n</math>에 대해 <math>\mu\left(\bigcap_{i=1}^n S_i\right)<\infty</math>라면, <math>\mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty S_i\right)=\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcap_{i=1}^nS_i\right)</math>

=== 거리 구조 ===
[[불 대수]] <math>\Sigma</math> 위의 유한 가법 측도 <math>\mu\colon\Sigma\to[0,\infty]</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\Sigma</math> 위에 다음과 같은 확장된 [[유사 거리 함수]]({{llang|en|extended pseudometric}}) <math>d\colon \Sigma\times\Sigma\to[0,\infty]</math>를 정의할 수 있다.
:<math>d(A,B)=\mu(A\triangle B)=\mu(A\setminus B\lor B\setminus A)\qquad(A,B\in\Sigma)</math>
여기서 <math>\triangle</math>은 [[대칭차]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[파일:ABC Venn Diagram.svg|섬네일|right]]
자명하지 않은 유일한 조건은 [[삼각 부등식]]이다. 임의의 <math>A,B,C\in\Sigma</math>에 대하여,
:<math>(A\triangle B)\lor (B\triangle C)=(A\lor B\lor C)\setminus(A\land B\land C)\ge A\triangle C</math>
이므로 ([[벤 다이어그램]] 참고)
:<math>d(A,B)+d(B,C)
\ge\mu\left((A\triangle B)\cup (B\triangle C)\right)
\ge d(A,C)</math>
이다.
</div></div>
만약 <math>\mu</math>가 유한 측도라면, 이는 [[유사 거리 공간]]을 이루며, 측도 대수 <math>\Sigma/\operatorname{Null}(\Sigma,\mu)</math>는 [[거리 공간]]을 이룬다.

=== 원자 ===
[[불 대수]] <math>\Sigma</math> 위의 유한 가법 측도 <math>\mu\colon\Sigma\to[0,\infty]</math>가 주어졌을 때, [[영집합|영원소]]들의 [[순서 아이디얼]]
:<math>\operatorname{Null}(\Sigma,\mu)=\{S\in\Sigma\colon \mu(S)=0\}</math>
을 생각하자. <math>\mu</math>의 '''원자'''(原子, {{llang|en|atom}})는 <math>\Sigma\setminus\operatorname{Null}(\Sigma,\mu)</math>의 [[극소 원소]]이다. (다시 말해, 몫대수 <math>\Sigma/\operatorname{Null}(\Sigma,\mu)</math>의 [[원자 (순서론)|순서론적 원자]]이다.) 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 원소 <math>S\in\Sigma</math>이다.
* <math>\mu(S)>0</math>
* 임의의 <math>S'<S</math>에 대하여, <math>\mu(S')=0</math>

원자를 갖지 않는 측도를 '''비원자적 측도'''(非原子的測度, {{llang|en|nonatomic measure}})라고 한다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>\Sigma</math>는 (추상적) [[시그마 대수]]이다.
* <math>\mu\colon\Sigma\to[0,\infty]</math>는 그 위의 비원자적 [[가산 집합|가산]] 가법 측도이다. 또한, <math>\mu(\top_\Sigma)>0</math>이다.
그렇다면, '''비원자적 측도에 대한 중간값 정리'''({{llang|en|intermediate-value theorem for nonatomic measures}})에 따르면, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 <math>f\colon[0,\mu(\top_\Sigma)]\to\Sigma</math>가 존재한다.
* <math>f</math>는 [[증가 함수]]이다. 즉, 임의의 <math>0\le a\le b\le\mu(\top_\Sigma)</math>에 대하여 <math>f(a)\le f(b)</math>이다.
* <math>f</math>는 <math>\mu</math>의 [[오른쪽 역사상|오른쪽 역함수]]이다. 즉, 임의의 <math>a\in[0,\mu(\top_\Sigma)]</math>에 대하여 <math>\mu(f(a))=a</math>이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
증명은 다음과 같다.
* ① 어떤 [[부분 정의 함수]]들의 [[부분 순서 집합]] <math>\Gamma</math>는 극대 원소 <math>f_\max</math>를 갖는다.
* ② 그 [[정의역]] <math>\operatorname{dom}f_\max</math>은 [[조밀 순서]] 집합이다.
* ③ <math>\operatorname{dom}f_\max=[0,\mu(\top_\Sigma)]</math>이다.

① [[부분 정의 함수]]들의 집합
:<math>\Gamma\subseteq\bigsqcup_{D\subseteq[0,\mu(\top_\Sigma)]}\Sigma^D</math>
이 정의에 등장하는 두 조건을 만족시키는 (즉, [[증가 함수]]이며 <math>\mu</math>의 [[오른쪽 역사상|오른쪽 역함수]]인) [[부분 정의 함수]]들로 구성되었다고 하자. 이 위에 통상적인 [[부분 순서]]
:<math>f\le f'\iff(D\subseteq D')\land(f=f'\restriction D)\qquad(f\in \Sigma^D,\;f'\in\Sigma^{D'})</math>
를 주자. 그렇다면, <math>\Gamma</math>는 [[닫힌 원순서 집합|닫힌 부분 순서 집합]]임을 쉽게 확인할 수 있으며, [[초른 보조정리]]에 의하여 [[극대 원소]] <math>f_\max\in\Gamma</math>를 갖는다.

② [[귀류법]]을 사용하여, 임의의 <math>a,b\in\operatorname{dom}f_\max</math>에 대하여, <math>a<b</math>이며 <math>(a,b)\subseteq[0,\mu(\top_\Sigma)]\setminus\operatorname{dom}f_\max</math>라고 하자. 그렇다면, <math>f(b)\land\lnot f(a)\in\Sigma</math>는 <math>\mu</math>의 원자가 되어 가정에 모순된다.

③ [[귀류법]]을 사용하여, <math>C=[0,\mu(\top_\Sigma)]\setminus\operatorname{dom}f_\max\ne\varnothing</math>이라고 하자. <math>C</math> 속에 포함되는 [[열린구간]]들의 족은 [[초른의 보조 정리]]에 의하여 [[극대 원소]] <math>(a,b)\subseteq C</math>를 갖는다. [[극대 원소]]의 정의에 따라, <math>a</math>로 수렴하는 증가 수열
:<math>a_0,a_1,\dots\in[0,a]\cap \operatorname{dom}f_\max</math>
과 <math>b</math>로 수렴하는 감소 수열
:<math>b_0,b_1,\dots\in[b,\mu(\top_\Sigma)]\cap \operatorname{dom}f_\max</math>
가 존재한다. 이제,
:<math>S_-=\bigvee_{i=0}^\infty f(a_i)\in\Sigma</math>
:<math>S_+=\bigwedge_{i=0}^\infty f(b_i)\in\Sigma</math>
를 정의하면,
:<math>a\le\mu(S_-)\le\mu(S_+)\le b</math>
가 되므로, <math>\{\mu(S_-),\mu(S_+)\}\subseteq\operatorname{dom}f_\max</math>이며, ②에 따라 <math>c\in(\mu(S_-),\mu(S_+))\cap \operatorname{dom}f_\max\subseteq C\cap\operatorname{dom}f_\max=\varnothing</math>가 존재하는데, 이는 모순이다.
</div></div>
따라서, 이러한 <math>\Sigma</math>의 [[집합의 크기|크기]]는 <math>2^{\aleph_0}</math> 이상이며, 만약 어떤 [[집합]] <math>X</math>에 대하여 <math>\Sigma\subseteq\operatorname{Pow}(X)</math>라면 <math>X</math>의 크기 역시 <math>2^{\aleph_0}</math> 이상이다.

== 분류 ==
가산 가법 측도 대수 <math>\mu\colon\Sigma\to[0,\infty]</math>가 다음 조건을 만족시킨다면 '''동질 측도 대수'''(同質測度代數, {{llang|en|homogeneous measure algebra}})라고 한다.
* 임의의 두 <math>S,T\in\Sigma</math>에 대하여, 만약 <math>\mu(S),\mu(T)>0</math>일 경우, <math>\operatorname{wt}(\mu\restriction\downarrow\{S\})=\operatorname{wt}(\mu\restriction\downarrow\{T\})</math>이다.
여기서 <math>\operatorname{wt}</math>는 ([[유사 거리 공간]]으로서의) [[위상 공간의 무게|무게]]이며, <math>\downarrow</math>는 [[하집합]]을 뜻하며, <math>\restriction</math>은 [[하집합]]에 제한하여 얻는 측도 대수를 뜻한다.

'''마하람 정리'''({{llang|en|Maharam’s theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.
* 모든 가산 가법 측도 대수는 가산 개의 동질 측도 대수들의 직합이다.<ref name="Bogachev2"/>{{rp|280, Theorem 9.3.5(i)}}<ref name="Maharam">{{저널 인용|제목=On homogeneous measure algebras|이름=Dorothy|성=Maharam|저자링크=도로시 마하람 스톤|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|권=28|호=3|쪽=108–111|pmc=1078424|날짜=1942-03-15|pmid=16578030|jstor=87851|issn=0027-8424|언어=en}}</ref>{{rp|109, Theorem 1}}
* 모든 동질 측도 대수에 대하여, 만약 확률 측도 대수라면, 어떤 기수 <math>\kappa</math>에 대하여 <math>P(\kappa)</math>와 동형이다.<ref name="Bogachev2"/>{{rp|280, Theorem 9.3.5(ii)}}<ref name="Maharam"/>{{rp|111, Theorem 2}}

여기서, <math>P(\kappa)</math>는 곱공간 <math>[0,1]^\kappa</math>의 측도 대수이다. 즉, [[닫힌구간]] <math>[0,1]</math> 위에 [[르베그 측도]]를 부여한 뒤, <math>\kappa</math>개의 곱측도를 취하고, 영집합 [[시그마 아이디얼]]에 대한 몫을 취하여 얻는 측도 대수이다.

== 예 ==
=== 집합 위의 측도 ===
임의의 [[불 대수]] <math>B</math> 위에서, 값 0을 갖는 [[상수 함수]]는 항상 유한 가법 측도를 이루며, 만약 <math>B</math>가 <math>\kappa</math>-[[완비 불 대수]]라면 이는 <Math>\kappa</math>-가법 측도이다.

'''[[셈측도]]'''는 집합의 원소 개수를 의미하는 측도이다. 이는 [[유한 집합]] 위에 사용되는 통상적인 측도이다.

'''디랙 측도'''({{llang|en|Dirac measure}})는 집합에 특정 원소가 포함되는지에만 값이 결정된다. 어떠한 원소 <math>a \in X</math>에 대해, 디랙 측도 <math>\delta_a(E)</math>는 <math>E</math>에 <math>a</math>가 포함되면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 가진다. 즉, [[지시 함수]] <math>\mathbf{1}_E(a)</math>로 표현할 수 있다. 디랙 측도는 [[디랙 델타 함수]]를 측도로 표현한 것으로 볼 수 있다.

[[집합론]]에서는 측정 측도가 존재할 수 있는 [[기수 (수학)|기수]]를 '''[[가측 기수]]'''라고 한다.

[[불 대수]] <math>B</math> 위의 [[극대 필터]] <math>U\subseteq B</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 유한 가법 [[확률 측도]]를 정의할 수 있다.
:<math>\mu(b)=\begin{cases}
1&b\in B\\
0&b\not\in B
\end{cases}</math>

=== 위상 공간 ===
임의의 [[거리 공간]] 위에는 '''[[하우스도르프 측도]]'''라는 측도가 존재한다.

[[유클리드 공간]] 위에는 통상적으로 '''[[르베그 측도]]'''가 사용된다.

[[위상군]] 위에는 '''[[하르 측도]]'''라는 측도가 존재한다.

== 역사 ==
1898년 저서<ref>{{서적 인용|이름=Émile|성=Borel|저자링크=에밀 보렐|날짜=1898|제목=Leçons sur la théorie des fonctions|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|출판사=Gauthier-Villars et fils, imprimateurs-libraires|url=https://archive.org/details/leconstheoriefon00borerich|jfm=29.0336.01|언어=fr}}</ref>에서 [[에밀 보렐]]은 [[구간]]의 길이의 개념을 가산 가법성을 사용하여 실수선의 [[보렐 집합]]에 대하여 일반화하였다. 즉, 현대적인 용어로 보렐은 실수선의 [[보렐 집합]]의 [[르베그 측도]]를 정의하였다.

이후 1902년 박사 학위 논문<ref>{{저널 인용|성=Lebesgue|이름=Henri|저자링크=앙리 르베그|제목=Intégrale, longueur, aire|저널=Annali di Matematica Pura ed Applicata Serie 3|날짜=1902-06|권=7|호=4|쪽=231–359|jfm=33.0307.02|url=https://archive.org/stream/annalidimatemat01unkngoog#page/n253/|언어=fr}}</ref>에서 [[앙리 르베그]]는 보렐의 이론을 간략화·일반화하였으며, 고차원 [[유클리드 공간]]의 [[르베그 측도]]를 정의하였고, 이를 통하여 함수의 [[적분]] 이론을 전개하였다.

== 같이 보기 ==
* [[거의 어디서나]]
* [[카라테오도리 확장 정리]]
* [[푸비니 정리]]
* [[파투 보조정리]]
* [[하우스도르프 측도]]
* [[르베그 적분]]
* [[르베그 측도]]
* [[가측 기수]]
* [[가측 함수]]
* [[외측도]]
* [[부피 형식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=측도론|저자=이외숙|저자2=최병선|출판사=세경사|isbn=978-89-7127087-5|날짜=2003|총서=IM&F시리즈|권=5|언어=ko}}
* {{서적 인용|제목=Essentials of measure theory|이름=Carlos S.|성=Kubrusly|출판사=Springer-Verlag|doi=10.1007/978-3-319-22506-7|날짜=2015|isbn=978-3-319-22505-0|zbl=06482035|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Measure theory|url=https://archive.org/details/measuretheorysec0000dona|이름=Donald L.|성=Cohn|출판사=Birkhäuser|판=2|doi=10.1007/978-1-4614-6956-8|총서=Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher|issn=1019-6242|날짜=2013|isbn=978-1-4614-6955-1|zbl=1292.28002|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Jürgen|성=Elstrodt|제목=Maß- und Integrationstheorie|doi=10.1007/978-3-642-17905-1|총서=Springer-Lehrbuch|issn=0937-7433|날짜=2011|isbn=978-3-540-15307-8|판=7|출판사=Springer-Verlag|zbl=1259.28001|언어=de}}
* {{서적 인용|제목=Measure theory and probability theory|성=Athreya|이름=Krishna B.|성2=Lahiri|이름2=Soumendra N.|날짜=2006|출판사=Springer-Verlag|doi=10.1007/978-0-387-35434-7|isbn=978-0-387-32903-1|총서=Springer Texts in Statistics|issn=1431-875X|zbl=1125.60001|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Measure & probability|성=Athreya|이름=Siva R.|성2=Sunder|이름2=V. S.|날짜=2008|출판사=CRC Press|isbn=978-143980126-0|zbl=1180.60001|url=https://www.crcpress.com/Measure-and-Probability/Athreya-Sunder/p/book/9781439801260|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=実解析と測度論の基礎|저자=<!--{{ruby-ja|盛田 健彦|もりた たけひこ}}-->盛田 健彦(もりた たけひこ)|출판사=培風館|총서=数学レクチャーノート 基礎編|권=4|날짜=2004-05-31|url=http://www.baifukan.co.jp/sinkan/shokai/006483.html|isbn=4-563-00648-3|언어=ja|확인날짜=2016-09-13|보존url=https://web.archive.org/web/20160919001418/http://www.baifukan.co.jp/sinkan/shokai/006483.html|보존날짜=2016-09-19|url-status=dead}}
* {{서적 인용|제목=An introduction to measure and integration|이름=Inder K.|성=Rana|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=45|isbn=978-0-8218-2974-5|날짜=2002|판=2|출판사=American Mathematical Society|url=http://bookstore.ams.org/gsm-45/|언어=en}}
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* {{서적 인용|제목=Intégration et analyse de Fourier: probabilités et analyse gaussienne|이름=Paul|성=Malliavin|이름2=Hélène|성2=Airault|날짜=1994|출판사=Masson|판=2|총서=Collection maîtrise de mathématiques pures|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|언어=fr}}
* {{서적 인용|이름=Heinz|성=Bauer|제목=Maß- und Integrationstheorie|총서=De Gruyter Lehrbuch|issn=0937-7433|날짜=1992|isbn=978-3-11-087173-9|판=2|url=http://www.degruyter.com/view/product/12746|출판사=De Gruyter|zbl=0748.28001|언어=de|access-date=2016-09-12|archive-date=2016-09-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20160920165619/http://www.degruyter.com/view/product/12746|url-status=dead}}
* {{서적 인용|제목=Measure and integral. Volume 1|성=Kelley|이름=John Leroy|저자링크=존 리로이 켈리|성2=Srinivasan|이름2=T. P.|doi=10.1007/978-1-4612-4570-4|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=116|날짜=1988|issn=0072-5285|isbn=978-0-387-96633-5|출판사=Springer-Verlag|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Measure and category: a survey of the analogies between topological and measure spaces|판=2|이름=John C.|성=Oxtoby|날짜=1980|doi=10.1007/978-1-4684-9339-9|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-90508-2|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=2|mr=584443|zbl=0435.28011|언어=en}}
* {{서적 인용|저자=<!--{{ruby-ja|吉田 耕作|よしだ こうさく}}-->吉田 耕作(よしだ こうさく)|총서=岩波講座基礎数学|제목=測度と積分|출판사=岩波書店|날짜=1976|언어=ja}}
* {{서적 인용|url=http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr12.pdf|제목=Lectures on measure theory and probability|이름=H. R.|성=Pitt|출판사=Tata institute of Fundamental Research|위치=[[뭄바이]]|날짜=1957|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Measure theory|이름=Paul R.|성=Halmos|저자링크=헐모시 팔|총서=Graduate Texts in Mathematics|doi=10.1007/978-1-4684-9440-2|isbn=978-0-387-90088-9|날짜=1950|출판사=Springer-Verlag|issn=0072-5285|권=18|zbl=0040.16802|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
{{위키낱말사전|측도}}
* {{eom|title=Measure}}
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* {{웹 인용|제목=A quick review of measure and probability theory|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/01/01/245b-notes-0-a-quick-review-of-measure-and-integration-theory/|이름=Terry|성=Tao|저자링크=테렌스 타오|웹사이트=What’s New|날짜=2009-01-01|언어=en}}
* {{웹 인용|제목=측도와 적분 강의 노트|저자=신수지|url=http://soojishin.com/807|날짜=2011-11-06|언어=ko|확인날짜=2014-10-22|보존url=https://web.archive.org/web/20141022213311/http://soojishin.com/807|보존날짜=2014-10-22|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/80026/the-metric-space-associated-to-a-measure-space|제목=The metric space associated to a measure space|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/222583/a-result-of-sierpi%C5%84ski-on-non-atomic-measures|제목=A result of Sierpiński on non-atomic measures|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/187975/reference-for-a-strong-intermediate-value-theorem-for-measures|제목=Reference for a strong intermediate value theorem for measures|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.arsmathematica.net/2005/06/27/maharams-theorem-2/|제목=Maharam’s Theorem|날짜=2005-06-27|웹사이트=Ars Mathematica|이름=Walt|성=Pohl|언어=en}}
* YAN Kun(2007). [http://www.nature.ac.cn/papers/paper-pdf/celestialandmaths-pdf.pdf Introduction on background medium theory about celestial body motion orbit and foundation of fractional-dimension calculus about self-similar fractal measure calculation](Equations of self-similar fractal measure based on the non-integral order calculus), DOI:10.3969/j.issn.1004-2903.2007.02.018.

{{수학 분야}}
{{전거 통제}}

[[분류:측도| ]]
[[분류:측도론]]