축폐선 문서 원본 보기

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'''축폐선'''(evolute, 縮閉線) 또는 '''에볼류트''', '''에볼류트곡선'''(-曲線)은 어떤 [[곡선]]의 각 점에 대한 [[곡률 중심]]의 [[궤적]]이 이루는 또 하나의 곡선이다. 모든 점에 대한 곡률 중심을 찾을 수 있다면 곡선의 종류는 관계없이 한 곡선에서 다른 곡선을 유도해내는 것이므로 곡선의 [[미분변환]]의 일종이다.<ref name="a">호리에 노부오 외, 《미분적분학 연습》, 도서출판 고섶, 2006, 408쪽.</ref> 정의상, 모든 [[점 (기하학)|점]]은 그 점을 중심으로 하는 임의의 [[원 (기하학)|원]]의 축폐선이다.

[[신개선]]과는 쌍대적인 관계에 있다. 즉, 곡선 A가 B의 신개선이라면, 정의상 곡선 B는 A의 축폐선이다.<ref name="a"/>

== 구하는 방법 ==
일반적으로, [[평면곡선]] <math>\gamma(s)</math> 상의 위치 s에 대해 [[벡터]] 방정식으로 곡률 중심 E를 표현하면 다음과 같다.<ref>Martin Lipschutz, 전재복 역, 《미분기하학 개론》, 경문사, 2008, 151쪽.</ref>

* <math>E(s) = \gamma(s) + \frac{1}{k(s)}\mathbf{N}(s)</math>

따라서 이 방정식을 원하는 [[좌표]]로 변환한 방정식이 일반적인 축폐선의 방정식이 된다. 그러나 이는 일반적으로 매우 복잡하다. 한 예로, [[유클리드 평면]] 상의 좌표변수를 y, z로 하는 일반적인 [[직교좌표계]]에서 [[매개변수]] x로 표현되는 곡선 (y(x), z(x))의 축폐선은 다음과 같다.<ref>앞의 책, 409쪽.</ref>

* <math>([y - \frac{(y^{'2} + z^{'2})z^{'}}{y^{'}z^{''} - y^{''}z^{'}}], [z + \frac{(y^{'2} + z^{'2})y^{'}}{y^{'}z^{''} - y^{''}z^{'}}])</math>

== 같이 보기 ==
* [[신개선]]

== 각주 ==
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== 참고 문헌 ==
* 호리에 노부오 외, 《미분적분학 연습》, 도서출판 고섶, 2006
* Martin Lipschutz, 전재복 역, 《미분기하학 개론》, 경문사, 2008

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:곡선]]
[[분류:크리스티안 하위헌스]]