축소 호몰로지 문서 원본 보기

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'''축소 호몰로지'''({{lang|en|reduced homology}})와 '''축소 코호몰로지'''({{lang|en|reduced cohomology}})는 [[호몰로지 군]]에 약간 수정을 가한 것이다.

== 배경 ==

비어 있지 않은 위상 공간의 0차 [[호몰로지 군]]은 자명하지 않기 때문에 많은 경우에서 예외가 생길 수 있다. 예를 들어 가장 간단한 공간인 [[한원소 공간]]의 호몰로지는 0차에서만 <math>\mathbb Z</math>가 된다. [[초구]] <math>\mathbb S^n</math>의 호몰로지도 n차와 별도로 0차에서 <math>\mathbb Z</math>이 된다.

: <math>\operatorname H_k(\{\bullet\}) = \begin{cases}\mathbb Z & k=0 \\ 0 & \text{otherwise.}\end{cases}</math>
: <math>\operatorname H_k(\mathbb S^n) = \begin{cases}\mathbb Z & k=0,n \\ 0 & \text{otherwise.}\end{cases}</math>

만약 0차 호몰로지 · 코호몰로지 군의 <math>\mathbb Z</math>이 하나 줄어들 수 있다면, 편의상 이점이 생길 것이다.

== 정의 ==

보통의 호몰로지는 다음과 같은 [[사슬 복합체]]에서 <math>\operatorname H_n(X) = \ker(\partial_n) / \operatorname{im}(\partial_{n+1})</math>를 취해 만들어진다.
:<math>\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n
\overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1}
\overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,}
\dotsb
\overset{\partial_2}{\longrightarrow\,}
C_1
\overset{\partial_1}{\longrightarrow\,}
C_0\overset{\partial_0}{\longrightarrow\,} 0</math>

위 사슬 복합체에 <math>\mathbb Z</math>와 사상 <math>\epsilon \colon \sum_i n_i \sigma_i \mapsto \sum_i n_i</math>을 추가해 다음과 같은 복합체를 얻는다.

: <math>\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n
\overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1}
\overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,}
\dotsb
\overset{\partial_2}{\longrightarrow\,}
C_1
\overset{\partial_1}{\longrightarrow\,}
C_0\overset{\partial_0 = \epsilon}{\longrightarrow\,} \mathbb{Z} \to 0
</math>

위 복합체로 정의된 호몰로지 <math>\operatorname{\tilde H}_n(X) = \ker(\partial_n) / \operatorname{im}(\partial_{n+1})</math>를 축소 호몰로지로 정의한다.

축소 코호몰로지도 마찬가지로 정의할 수 있다.

== 성질 ==

축소 호몰로지는 원래 호몰로지에 비해 0차에서만 한 차원 낮고 나머지 차수에서는 동일하다.
: <math>\begin{align}
H_k(X) & \cong \operatorname{\tilde H}_k(X), \quad k > 0 \\
H_0(X) & \cong \operatorname{\tilde H}_0(X) \oplus \mathbb Z
\end{align}</math>

따라서 [[경로 연결 공간]]의 경우 <math>\operatorname{\tilde H}_0(X) \cong 0</math>이 된다.

== 사용 ==

* [[무어 공간 (대수적 위상수학)|무어 공간]]은 축소 호몰로지가 한 차수를 제외하고 모두 0일 것을 요구한다.
* [[알렉산더 쌍대성]]은 축소 (코)호몰로지를 쓰기 때문에 보다 간단하게 표현할 수 있다.
*: <math>\operatorname{\tilde H}_k(\mathbb S^n\setminus X) \cong \operatorname{\tilde H}^{n-k-1}(X)</math>

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 이론]]