축소환 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''축소환'''(縮小環, {{llang|en|reduced ring}})은 0이 아닌 [[멱영원]]을 갖지 않는 환이다. 즉, 0이 아닌 원소의 제곱이 항상 0이 아닌 환이다.

== 정의 ==
(곱셈 단위원을 갖는) [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[환 (수학)|환]]을 '''축소환'''이라고 한다.
* 0이 아닌 모든 원소는 [[멱영원]]이 아니다. 즉, 임의의 0이 아닌 원소 <math>r\in R\setminus\{0\}</math> 및 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>r^n\ne0</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|4}}
* 임의의 0이 아닌 원소 <math>r\in R\setminus\{0\}</math> 및 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>r^2\ne0</math>이다.
* (유한 개 또는 무한 개의) [[영역 (환론)|영역]]들의 [[직접곱]]의 [[부분환]]이다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈 | 출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|207, Theorem (12.7)}} (0개의 환의 [[직접곱]]은 [[자명환]]이다.)

=== 축소 스킴 ===
축소환의 개념은 [[대수기하학]]에서 중요한 역할을 한다. 대수기하학에서, 멱영원은 무한소 함수로 해석된다. 즉, 거듭제곱을 하면 0이 되는 (즉, 무시할 수 있는) 무한소의 값을 갖는 함수이다.

'''축소 아핀 스킴'''({{llang|en|reduced affine scheme}})은 축소환의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]과 동형인 [[아핀 스킴]]이다. '''축소 스킴'''({{llang|en|reduced scheme}})은 축소 아핀 스킴으로 덮을 수 있는 스킴이다.

모든 [[대수다양체]]는 (정의에 따라) 축소 스킴을 이룬다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
다음 함의 관계가 성립한다.<ref name="Lam"/>{{rp|153}}
{| style="text-align:center"
| [[체 (수학)|체]] || ⇒ || [[정역]]
|-
| ⇓ || || ⇓ || ⇘
|-
|[[나눗셈환]] || ⇒ || [[영역 (환론)|영역]] || ⇒ || 축소환
|-
| ⇓ || || ⇓ || || ⇓
|-
| 左·右 [[원시환]] || ⇒ || [[소환 (환론)|소환]] || ⇒ || [[반소환]]
|}

[[가환환]]의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.
{| style="text-align:center"
| [[체 (수학)|체]] ||  || [[정역]]
|-
| ⇕ || || ⇕
|-
|[[나눗셈환]] || ⇒ || [[영역 (환론)|영역]] || ⇒ || 축소환
|-
| ⇕ || || ⇕ || || ⇕
|-
| 左·右 [[원시환]] ||  || [[소환 (환론)|소환]] ||  || [[반소환]]
|}

=== 닫힘 성질 ===
축소환들은 부분환·[[직접곱]]·[[국소화 (환론)|국소화]]에 대하여 닫혀 있다. 즉, 축소환의 부분환·[[국소화 (환론)|국소화]] 및 축소환들의 곱 역시 축소환이다.

=== 영근기 ===
{{본문|영근기}}
가환환에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 축소환이다.
* [[영근기]]가 [[영 아이디얼]]이다.
가환환 <math>R</math>에 대하여, [[영근기]]에 대한 [[몫환]]은 가환 축소환을 이룬다.

== 예 ==
[[자명환]]은 (자명하게) 축소환이다.

모든 [[정역]]은 축소환이다. 즉, [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>이나 모든 [[체 (수학)|체]]는 축소환이다. 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, <math>\mathbb Z\times\mathbb Z</math>는 정역이 아니지만 축소환이다.

축소환이 아닌 환으로는 예를 들어 체 <math>K</math>에 대하여 <math>K[x]/(x^n)</math> (<math>n>0</math>)가 있다. 이 경우, <math>(x^{n-1})^2=0</math>이므로 <math>x^{n-1}</math>은 멱영원을 이룬다.

<math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math>가 축소환일 필요충분조건은 <math>n</math>이 제곱인자를 갖지 않는 것이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Reduced scheme}}
* {{nlab|id=reduced scheme|title=Reduced scheme}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Reduced_Ring|제목=Definition: reduced rings|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Radical_Ideal_iff_Quotient_Ring_is_Reduced|제목=Radical ideal iff quotient ring is reduced|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://ysharifi.wordpress.com/2010/06/04/about-reduced-rings-1/|날짜=2010-06-04|제목=About reduced rings (1)|이름=Yaghoub|성=Sharifi|웹사이트=Abstract Algebra|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://ysharifi.wordpress.com/2010/06/04/about-reduced-rings-2/|날짜=2010-06-04|제목=About reduced rings (2)|이름=Yaghoub|성=Sharifi|웹사이트=Abstract Algebra|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://leroy.perso.math.cnrs.fr/Talks/Krempa.pdf|제목=Some generalizations of reduced rings|이름=Jan|성=Krempa|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]