축소화 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{끈 이론}}
{{for|수학에서 컴팩트화는 |컴팩트 공간}}
[[수리물리학]]에서 '''축소화'''(縮小化, {{llang|en|compactification}})는 어떤 물리 이론을 [[유클리드 공간]] 대신 [[기본군]]이 자명하지 않은 (즉 일부 차원이 "말려" 있는) [[시공]]에 정의하는 것을 일컫는다. 이론을 축소화하면 [[칼루차-클라인 이론]]과 같은 효과에 의하여, 축소화되지 않은 차원의 [[유효 이론]]에 무한한 수의 새 장이 나타나게 되며, 축소된 차원의 대칭에 따라 새 [[게이지 이론|게이지 대칭]]이 나타날 수도 있다. 또한, [[끈 이론]] 따위에서는 축소화한 차원의 [[위상수학|위상학적]] 성질에 따라서 나타나는 장의 성질이 달라진다.

== 끈 이론과 칼라비-야우 다양체 ==
[[초끈 이론]]은 10차원에서, [[M이론]]은 11차원에서 존재하므로, 우리가 관측하는 4차원의 물리를 얻으려면 10(11)차원을 4차원으로 축소하여야 한다. 대개 이는 <math>\mathbb R^4\times K</math>와 같은 꼴의 [[곱위상|곱공간]]이라는 [[가설 풀이]]를 쓴다. 여기에, 4차원에 [[초대칭]]이 하나 남아 있다고 가정하자. (이를 가정하지 않으면 [[운동 방정식]]을 손으로 풀어야 하는데, 이는 몹시 어렵다.) 또한, [[비틀림 (미분기하학)|비틀림]]이 없다고 가정하자. (여기서 "비틀림"이란 2차 [[미분 형식]] [[캘브-라몽 장]] <math>B_2</math>의 3차 [[미분 형식 전기역학|미분 형식 장세기]] <math>H_3</math>을 일컫는다.) 이 경우, 초대칭을 나타내는 평행({{lang|en|parallel}}, {{lang|en|covariantly constant}}) 바일 [[스피너]]장(킬링 스피너, {{lang|en|Killing spinor}})이 존재하여야 하는데, 이는 축소하는 내부공간 <math>K</math>가 (복소 3차원) [[칼라비-야우 다양체]]일 때에만 가능하다. 즉 내부공간은 초대칭에 의하여 자연스럽게 [[복소다양체|복소 구조]] 및 [[켈러 다양체|켈러 구조]]를 지니고, 또한 그 [[계량 텐서]]는 [[리치 곡률]]이 0이다.

이 경우, [[칼루차-클라인 이론]]에 의하여 나타나는 추가 공간은 내부공간에서 [[복소 미분 형식]]을 이룬다. 복소 형식의 무질량 모드는 [[라플라스 방정식]]을 만족하므로, [[호지 이론|조화 형식]]을 이룬다. <math>(p,q)</math>-조화 형식은 [[호지 이론]]에 의하여 그 [[돌보 코호몰로지]] <math>H^{p,q}</math>에 대응하며, 따라서 특정 형식의 무질량 모드의 수는 돌보 코호몰로지의 차원, 즉 호지 수 <math>h^{p,q}</math>와 같다. 호지 수는 위상적으로 결정되므로, 내부공간의 호지 수를 알면 (계량형식 등을 몰라도) 4차원에서 등장하는 무질량 입자의 스펙트럼을 알 수 있다. 이렇게 하여 얻는 해는 대개 실제 관측되지 않는 무질량 스칼라([[모듈러스 (물리학)|모듈러스]])를 포함한다. 이를 '''모듈러스 안정화'''({{llang|en|stabilization of moduli}}) 문제라고 부른다.

=== II종 끈 이론의 축소화 ===
II종 끈 이론을 3차원 [[칼라비-야우 다양체]]에 축소화한다고 하자. 이 칼라비-야우 다양체는 호지 수 <math>h^{1,1}</math>과 <math>h^{2,1}</math>에 의하여 나타내어진다. 이 경우, 물질을 포함하는 4차원 <math>\mathcal N=2</math> [[초중력]]을 얻는데, 이 이론에서 게이지 및 물질 [[초다중항]]은 다음과 같다.
* IIA종 이론의 경우, <math>h^{1,1}</math>개의 (아벨 게이지 군) 벡터 초다중항과 <math>h^{2,1}+1</math>개의 하이퍼 초다중항을 포함한다.
* IIB종 이론의 경우, <math>h^{2,1}</math>개의 벡터 초다중항과 <math>h^{1,1}+1</math>개의 하이퍼 초다중항을 포함한다.
즉, 이 두 이론은 호지 수가 서로 "반대"임을 알 수 있다. 이는 [[거울 대칭]]을 사용하여 설명할 수 있다.

== 다발 축소화 ==
만약 비틀림이 없다는 가정을 생략하면, '''다발 축소화'''({{llang|en|flux compactification}})이라고 불리는 4차원 진공을 얻는다.<ref>{{저널 인용|이름=Mariana|성=Graña|제목=Flux compactifications in string theory: A comprehensive review|저널=Physics Reports|권=423|호=3|쪽=91–158|날짜=2006-01|arxiv=hep-th/0509003|bibcode=2006PhR...423...91G|doi=10.1016/j.physrep.2005.10.008|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름1=Michael R.|성1=Douglas|이름2=Kachru|성2=Shamit|저자링크2=샤미트 카치루|제목=Flux compactification|저널=Reviews of Modern Physics|권=79|호=2|쪽=733–796|날짜=2007-05-25|arxiv=hep-th/0610102|bibcode=2007RvMP...79..733D|doi=10.1103/RevModPhys.79.733|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용
|doi=10.1002/prop.200410202|bibcode=2005ForPh..53..770L|저널={{Fortschritte der Physik}}|제목=Generalized Calabi–Yau compactifications with D-branes and fluxes|url=http://www.desy.de/~jlouis/talks/770_a.pdf|권=53|호=7–8|쪽=770–792|이름=Jan|성=Louis|날짜=2005|언어=en}}</ref> 이러한 경우에는 [[모듈러스 (물리학)|모듈러스]]를 안정화시키는 것이 더 용이할 때가 많다.

== F이론 ==
{{본문|F이론}}
[[F이론]]은 II종 [[초끈 이론]]의 축소화를 나타내는 이론이다. 이 경우, F이론은 12차원에 존재하므로, 8차원 (복소 4차원) [[칼라비-야우 다양체]]에 축소화하게 된다. 끈 이론의 진공들({{lang|en|string landscape}}, 끈 풍경)의 대부분은 F이론 축소화들로 이루어진다.

== 같이 보기 ==
* [[차원 축소 (물리학)]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|bibcode=2005LNP...668..101F|url=http://www.aei.mpg.de/~theisen/cy.html|이름1=Anamaría|성1=Font|이름2=Theisen|성2=Stefan|장=Introduction to string compactification|doi=10.1007/11374060_3|제목=Geometric and Topological Methods for Quantum Field Theory|기타=Lecture Notes in Physics 668|위치=Berlin|출판사=Springer|날짜=2005|쪽=101–181|isbn=978-3-540-24283-3|확인날짜=2013-02-19|보존url=https://web.archive.org/web/20110512150151/http://www.aei.mpg.de/~theisen/cy.html|보존날짜=2011-05-12|url-status=dead}}
* {{저널 인용|이름1=Ralph|성1=Blumenhagen|이름2=Körs|성2=Boris|이름3=Lüst|성3=Dieter|이름4=Stieberger|성4=Stephan|제목=Four-dimensional string compactifications with D-branes, orientifolds and fluxes|저널=Physics Reports|권=445|호=1–6|쪽=1–193|날짜=2007-07|arxiv=hep-th/0610327|bibcode=2007PhR...445....1B|doi=10.1016/j.physrep.2007.04.003}}

[[분류:끈 이론]]