축소구간정리 문서 원본 보기

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[[파일:Illustration nested intervals.svg|섬네일|400픽셀|축소하는 [[닫힌구간]]들의 열]]

[[수학]]에서 '''축소구간열'''(縮小區間列, {{lang|en|sequence of nested intervals}})은 각 구간이 바로 앞 구간의 [[부분 집합]]인 구간들의 [[수열|열]]이다. '''축소구간정리'''(縮小區間定理, {{llang|en|nested intervals theorem}})에 따르면, [[닫힌구간]]으로 구성된 축소구간열은 적어도 하나의 공통 원소를 갖는다.

== 정의 ==
=== 축소구간열 ===
'''축소구간열'''은 임의의 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>I_n\supseteq I_{n+1}</math>을 만족시키는 구간열 <math>(I_n)_{n\in\mathbb N}</math>이다.

축소구간열 <math>(I_n)_{n\in\mathbb N}</math>의 각 항 <math>I_n</math>의 양쪽 끝점을 <math>a_n,b_n\in\mathbb R</math>이라고 하자. 그렇다면 자명하게, 임의의 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>|I_n|\ge|I_{n+1}|</math> (여기서 <math>|I_n|=b_n-a_n</math>은 [[구간의 길이]]이다.)
* <math>a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n</math>
* <math>\begin{cases}a_n\notin I_n\\a_{n+1}\in I_{n+1}\end{cases}\implies a_n<a_{n+1}</math>
* <math>\begin{cases}b_n\notin I_n\\b_{n+1}\in I_{n+1}\end{cases}\implies b_{n+1}<b_n</math>

=== 축소구간정리 ===
{{참고|실수의 완비성#축소 구간 정리}}

구간열 <math>(I_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 다음 조건들을 만족한다고 하자.
* 모두 [[닫힌구간]]이다. 즉, 임의의 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>I_n=\operatorname{cl}I_n</math>이다.
* 축소구간열이다. 즉, 임의의 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>I_n\supseteq I_{n+1}</math>이다.

'''축소구간정리'''에 따르면, 이 구간열의 [[교집합]]은 [[공집합]]이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다. 즉,
:<math>\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n=[a,b]</math>
이게 되는 두 실수 <math>a\le b</math>가 존재한다.

특히, <math>(I_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 다음과 같은 조건을 추가로 만족한다고 하자.
* <math>\lim_{n\to\infty}|I_n|=0</math> 즉, 구간의 길이가 0으로 [[수렴]]한다.

그렇다면, <math>a=b</math>이며, 교집합은 [[한원소 집합]]이다.
:<math>\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n=\{a=b\}</math>

축소구간정리는 [[완비 거리 공간|코시 성질]]과 동치이다. 즉, [[아르키메데스 성질]]을 덧붙이면 [[실수의 완비성]]을 나타내는 여러 공리들과 동치가 된다. 문헌에 따라서는 세 번째 조건이 빠진 서술을 뜻하기도 하는데, 이 또한 더 강한 조건의 축소구간정리와 동치이다.

== 예와 반례 ==
다음 구간열들은 축소구간정리의 전제 조건을 만족하며, 따라서 교집합이 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다.
* <math>\bigcap_{n\in\mathbb N}\left[1-\frac1n,2+\frac1n\right]=[1,2]</math>
* <math>\bigcap_{n\in\mathbb N}\left[1-\frac1n,1+\frac1n\right]=\{1\}</math>

일반적인 축소구간열의 교집합은 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간일 필요가 없다. 즉, [[열린구간]]이나 [[공집합]] 등일 수 있다.
* <math>\bigcap_{n\in\mathbb N}\left(0,\frac1n\right)=\bigcap_{n\in\mathbb N}\left(0,\frac1n\right]=\varnothing</math>
* <math>\bigcap_{n\in\mathbb N}(0,1)=(0,1)</math>

== 다른 전제 조건 ==
축소구간열의 "닫힌구간" 전제 조건은 다음과 같은 조건으로 바꿀 수 있다.

축소구간열 <math>(I_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 만약 조건
* 임의의 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>a_n<a_{n+1}<b_{n+1}<b_n</math>이다.
를 만족시킨다면, 교집합은 역시 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다. 이는
:<math>\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n=\bigcap_{n\in\mathbb N}\operatorname{cl}I_n</math>
이기 때문이다. 여기서 <math>\operatorname{cl}I_n</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]이며, 이들은 닫힌구간으로 구성된 축소 구간열을 이룬다. 예를 들어, 다음과 같다.
* <math>\bigcap_{n\in\mathbb N}\left(-\frac1n,\frac1n\right)=\bigcap_{n\in\mathbb N}\left[-\frac1n,\frac1n\right]=\{0\}</math>
* <math>\bigcap_{n\in\mathbb N}\left[0,\frac1n\right)=\bigcap_{n\in\mathbb N}\left[0,\frac1n\right]=\{0\}</math> (이는 오른쪽 끝점에만 위 결론을 적용한 경우이다.)

비슷하게, 축소구간열 <math>(I_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 만약 조건
* 임의의 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>a_n<\sup_{n\in\mathbb N}a_n\le\sup_{n\in\mathbb N}b_n<b_n</math>이다.
를 만족시킨다면, 교집합은 역시 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다.

== 일반화 ==
{{본문|칸토어의 교점 정리}}

=== 거리 공간 ===
축소구간정리는 [[유클리드 공간]]을 비롯한 [[거리 공간]]으로 일반화할 수 있다.

거리 공간 <math>X</math>의 [[부분 집합]]의 열 <math>(K_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>K_n</math>은 공집합이 아닌 [[콤팩트 집합]]이다.
* 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>K_n\supseteq K_{n+1}</math>이다.
그렇다면, 그들의 교집합은 공집합이 아니다. 또한, 추가적으로 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>\lim_{n\to\infty}\operatorname{diam}K_n=0</math> 즉, [[거리 공간의 지름]]이 0으로 수렴한다.
그렇다면, 그들의 교집합은 [[한원소 집합]]이다.

=== 위상 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 속, 공집합이 아닌 콤팩트 [[닫힌집합]]의 하강 열의 교집합은 공집합이 아니다.

== 응용 ==
[[이분법 (수학)]]

== 같이 보기 ==
* [[이등분]]
* [[칸토어 교점 정리]]

{{전거 통제}}

[[분류:실수 집합]]
[[분류:실해석학 정리]]