추적선 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Tractrixtry.gif|섬네일|500px|점을 수평선의 왼쪽에서부터 오른쪽으로 이동시키면 점과 선분으로 연결된 물체의 자취는 추적선이 된다.]]
[[기하학]]에서, '''추적선'''(追跡線, {{llang|en|tractrix}})이란 마찰이 있는 상황에서 어떤 점을 수평선을 따라 이동시킬 때 점과 선분으로 연결된 물체가 남기는 경로이다.

추적선은 1670년에 [[클로드 페로]]가 처음 언급했으며 이후 [[아이작 뉴턴]](1676)과 [[크리스티안 하위헌스]](1693)가 연구하였다.<ref>{{서적 인용|title=Mathematics and Its History |edition=revised, 3rd |first1=John |last1=Stillwell |publisher=Springer Science & Business Media |year=2010 |isbn=978-1-4419-6052-8 |page=345 |url=https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC}}, [https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA345 extract of page 345]</ref>

== 정의 ==
[[파일:Tractrix.png|섬네일|180px|y축 위에서 이동하는 점과 길이가 4인 선분으로 연결된 물체가 그리는 추적선]]
물체의 처음 위치가 {{math|(''a'', 0)}}이고(그림에서는 {{math|(4, 0)}}), 물체와 선분으로 연결된 점이 원점에서 출발해 y축 방향으로 움직인다고 하자. 이때 물체가 이동하는 경로인 추적선은 다음의 식으로 표현된다.<math>y = \pm\! \left( a\ln{\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}}-\sqrt{a^2-x^2} \right)=\pm\! \left(a \operatorname{arsech}\frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2})\right.</math>마지막 식에서 맨 앞의 부호는 점이 y축의 +방향으로 이동하는지, 아니면 -방향으로 이동하는지에 따라 결정된다.

식은 다음과 같은 방법으로 유도된다. 매 순간마다, 점과 물체를 잇는 선분의 [[기울기]]는 물체의 해당 위치에서 추적선 {{math|1=''y'' = ''y''(''x'')}}의 기울기와 같다. 즉 물체가 좌표평면 상에서 {{math|(''x'', ''y'')}}에 위치할 때, [[피타고라스의 정리]]에 의해 y좌표에서 이동하는 점의 좌표는 <math>y + \operatorname{sign}(y)\sqrt{a^2 - x^2}</math>이다. 추적선은 {{math|''y''(''x'')}}는 다음의 [[미분방정식]]을 만족한다.
:<math>\frac{dy}{dx} = \pm\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}</math>
이때 곡선은 초기 조건인 {{math|1=''y''(''a'') = 0}}을 만족해야 한다. 따라서 주어진 미분방정식을 풀면 추적선의 해는

<math>y = \int_x^a \frac{\sqrt{a^2-t^2}}{t}\,dt</math>

가 되고, 이를 풀면 위의 식이 도출된다.

== 성질 ==
[[파일:Evolute2.gif|섬네일|500px|right|[[현수선]]은 추적선의 [[축폐선]]이다. 즉 현수선의 [[신개선]]은 추적선이다.]]
* 추적선은 <math>x = t - \tanh(t), y= 1/{\cosh(t)}</math>으로 매개화된다.<ref>{{MacTutor|class=Curves|id=Tractrix|title=Tractrix}}</ref>
* 추적선의 정의에 따라, 추적선 위의 점과 그 점에서의 [[접선]]이 [[점근선]]과 만나는 점까지의 거리는 일정하다.
* 추적선의 꺾이지 않는 연속적인 구간 내에서, {{math|1=''x'' = ''x''<sub>1</sub>}}과 {{math|1=''x'' = ''x''<sub>2</sub>}} 사이의 [[곡선의 길이]]는 {{math|''a''&thinsp;ln&thinsp;{{sfrac|''x''<sub>1</sub>|''x''<sub>2</sub>}}}}이다.
* 추적선과 점근선 사이 영역의 넓이는 {{math|{{sfrac|π&hairsp;''a''<sup>2</sup>|2}}}}이다.
* 추적선의 [[축폐선]]은 [[현수선]]이다. 즉 추적선은 [[현수선]]의 [[신개선]]이다. 이때 현수선의 식은 {{math|1=''y'' = ''a'' cosh&thinsp;{{sfrac|''x''|''a''}}}}이다.
* 추적선은 [[초월함수]]의 곡선이다. 즉 곡선은 [[다항함수]]로는 표현 불가능하다.
* 추적선을 점근선에 대해 회전하면 [[유사구]]가 된다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|first1=Edward|last1=Kasner|first2=James|last2=Newman|date=1940|title=Mathematics and the Imagination|page=[https://archive.org/details/mathematicsimagi00kasnrich/page/141 141–143]|publisher=Simon & Schuster}}
* {{서적 인용| first=J. Dennis | last=Lawrence | title=A Catalog of Special Plane Curves | publisher=Dover Publications | year=1972 | isbn=0-486-60288-5 | pages=[https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/5 5, 199] | url-access=registration | url=https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/5 }}

== 같이 보기 ==
* [[현수선]]
* [[신개선]]
* [[쌍곡선 함수]]
* [[유사구]]

== 외부 링크 ==
{{위키공용|Tractrix}}
* {{MacTutor|class=Curves|id=Tractrix|title=Tractrix}}
* {{planetmath reference|id=7109|title=Tractrix}}
* {{planetmath reference|id=7073|title=Famous curves on the plane.}}

{{전거 통제}}

[[분류:평면 곡선]]