추이적 모형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''추이적 모형'''(推移的模型, {{llang|en|transitive model}})은 내부적 포함 관계가 외부적 포함 관계와 같은, [[추이적 집합]] 위에 정의된 [[집합론]] [[구조 (논리학)|모형]]이다.

== 정의 ==
집합론의 언어 <math>\mathcal L_\in</math>은 하나의 [[이항 관계]] <math>\in</math>만을 갖는 언어이다. 이 언어의 [[구조 (논리학)|구조]] <math>(M,\tilde\in)</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>\tilde\in</math> (내적인 연산)이 <math>\in</math> (외적인 연산)과 일치한다면, <math>(M,\tilde\in)</math>이 '''표준 구조'''(標準構造, {{llang|en|standard structure}})라고 한다.

<math>\mathcal L_\in</math>의 표준 구조 <math>M</math>에 대하여, 만약 <math>M</math>이 [[추이적 집합]]이라면, <math>M</math>을 '''추이적 표준 구조'''(推移的標準構造, {{llang|en|transitive standard structure}})라고 한다.

<math>\mathcal L_\in</math>의 구조 <math>(M,\tilde\in)</math>에서, 만약 <math>\tilde\in</math>이 [[정초 관계]]라면, <math>(M,\tilde\in)</math>을 '''정초 구조'''(整礎-, {{llang|en|well founded structure}})라고 한다.

<math>\mathcal L_\in</math>의 구조 <math>(M,\tilde\in)</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''확장적 구조'''({{llang|en|extensional structure}})라고 한다.
:<math>M\models\forall x\forall y\left(\left(\forall z\colon z\in x\iff z\in y\right)\iff x=y\right)</math>
즉, <math>M</math>에서 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 확장 공리가 성립해야 한다.

== 성질 ==
[[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 추이적 모형의 존재는 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 무모순성을 함의하지만, 그 반대 함의는 성립하지 않는다.

[[그로텐디크 전체]]는 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 추이적 모형이다. 그러나 그로텐디크 전체는 모든 원소의 [[멱집합]]을 포함하여야 하므로, 이는 추이적 모형보다 더 강한 개념이다.

[[정초 관계|정초]] 구조의 개념은 [[절대 논리식|절대적]]이지 않으며, 외적인 개념이다. 구체적으로, 다음과 같은 <math>\mathcal L_\in</math>-문장 <math>\mathsf{AF}</math>를 생각하자. (이는 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 [[정칙성 공리]]이다.)
:<math>\forall y\exists x\in y\colon x\cap y=\varnothing</math>
즉, 풀어 쓰면 다음과 같다.
:<math>\forall y\exists x\left(x\in y\land\forall z\colon \lnot (z\in x\land z\in y)\right)</math>
<math>\mathcal L_\in</math>의 구조 <math>M</math>에 대하여, 만약 <math>M</math>이 정초 구조라면 <math>M\models\mathsf{AF}</math>이지만, 반대 방향의 함의는 성립하지 않는다.

=== 모스토프스키 붕괴 ===
<math>\mathcal L_\in</math>의 구조 <math>(M,\tilde\in)</math>가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* [[정초 관계|정초]] 구조이다.
* 확장적 구조이다.
그렇다면, '''모스토프스키 붕괴 정리'''(Mostowski崩壞定理, {{llang|en|Mostowski collapse theorem}})에 따르면, <math>(M,\tilde\in)</math>은 추이적 표준 구조 <math>\tilde M</math>과 동형이다. 또한, 이러한 동형은 유일하다. 구체적으로, 이 동형 <math>\pi\colon M\to\tilde M</math>은 다음과 같다.
:<math>\tilde M=\left\{\{\pi(y)\colon y\in M,\;y\,\tilde\in\,x\}\colon x\in M\right\}</math>
:<math>\pi\colon x\in M\mapsto\{\pi(y)\colon y\in M,\;y\,\tilde\in\,x\}\in\tilde M</math>
재귀적인 정의이지만, [[정초 관계]] 조건에 따라서 이는 잘 정의된 대상이다.

따라서, 정초 확장적 구조들의 각 동형류는 [[추이적 집합]]을 표준적인 대표원으로 갖는다.

== 예==
[[도달 불가능한 기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, [[폰 노이만 전체]]의 단계 <math>V_\kappa</math>는 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 추이적 표준 모형이다.

홀수의 [[전순서 집합]] <math>(\{1,3,5,\dots\},\le)</math>를 생각해 보자. 이는 모스토프스키 붕괴 정리에 의하여, 이는
:<math>\left\{0=\varnothing,1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\dots\right\}</math>
로 대응된다. 이는 [[순서수]]의 폰 노이만 정의이므로, 홀수의 [[전순서 집합]]이 모든 자연수의 완전 순서 집합으로 "붕괴"한 것을 알 수 있다.

== 역사 ==
모스토프스키 붕괴 정리는 [[폴란드]]의 수학자 [[안드제이 모스토프스키]](Andrzej Mostowski)가 증명하였다.<ref>{{저널 인용|성=Mostowski|이름=Andrzej|제목=An undecidable arithmetical statement|저널=Fundamenta Mathematicae|권=36|날짜=1949|zbl=0039.00802|url=http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv36i1p20|issn=0016-2736|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Mostowski's collapsing lemma}}
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Transitive_ZFC_model|제목=Transitive ZFC model|웹사이트=Cantor’s Attic|언어=en|확인날짜=2015-01-02|보존url=https://web.archive.org/web/20150323053128/http://cantorsattic.info/Transitive_ZFC_model|보존날짜=2015-03-23|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Standard_Transitive_Model|제목=Definition: standard transitive model|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/102829/is-the-mostowski-collapse-natural|제목=Is the Mostowski collapse natural?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{집합론}}

[[분류:집합론]]
[[분류:모형 이론]]