최소 전 퍼텐셜 에너지의 원리 문서 원본 보기

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'''최소 전 퍼텐셜 에너지의 원리'''(Minimum total potential energy principle)는 [[구조역학]] 에너지 원리 가운데 하나로, 탄성 구조물 또는 물체는 전(全) 퍼텐셜 에너지를 최소화하는 쪽으로 변형 또는 변위를 발생한다는 것이다. 예를 들어, 사발 속에 들어있는 구슬은 사발의 맨 아랫쪽으로 이동해 멈출 것이며, 눈이 쌓여 있는 나뭇가지는 아랫쪽으로 쳐지게 된다. 가장 아랫쪽은 최소의 에너지를 갖는 위치이며, 평형을 만족하는 안정된 형태이다. 이 원리는 [[구조해석]]과 [[고체역학]]에서 많이 사용된다.

전 퍼텐셜 에너지 <math> \boldsymbol{\Pi} </math>는 변형된 물체에 저장되는 탄성 변형 에너지(elastic strain energy) '''U'''와 가해진 힘의 퍼텐셜 에너지 '''V'''의 합이다.
:<math> \boldsymbol{\Pi} = \mathbf{U} + \mathbf{V} \qquad \mathrm{(1)} </math>
이 에너지는 [[극미량]]의 변이는 에너지에 변화를 끼치지 않는 [[정류점]] 상태에 있다:

:<math> \delta\boldsymbol{\Pi} = \delta(\mathbf{U} + \mathbf{V}) = 0 \qquad \mathrm{(2)}</math>

최소 전 퍼텐셜 에너지의 원리는 [[보존힘]]이 작용하는 [[선형]] 시스템에 대한 [[가상일]]의 원리의 특별한 경우로도 유도될 수 있다.

가상의 변위로 인한 외적 가상일과 내적 가상일은 같다:

:<math> \int_{S_t} \delta\ \mathbf{u}^T \mathbf{T} dS + \int_{V} \delta\ \mathbf{u}^T \mathbf{f} dV = \int_{V}\delta\boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\sigma} dV \qquad \mathrm{(3)} </math>
여기서
: <math> \mathbf{u} </math> = 변위
: <math> \mathbf{T} </math> = 표면의 <math> S_t </math> 영역에 작용하는 힘
: <math> \mathbf{f} </math> = 물체의 내력(body force)
이다.

탄성체의 경우, (3)의 우변은 실제 변이의 극미량의 변화로 인한 탄성 변형 에너지('''U''')의 변화 <math> \delta \mathbf{U} </math>라고 생각할 수 있다.
또, 외력이 [[보존힘]]이라면, (3)의 좌변은 작용하는 힘들의 [[퍼텐셜 에너지]] 함수 '''V'''의 변화로 생각할 수 있다. 이 함수 '''V'''는 다음과 같이 정의된다. 
: <math> \mathbf{V} = -\int_{S_t} \mathbf{u}^T \mathbf{T} dS - \int_{V} \mathbf{u}^T \mathbf{f} dV  </math>

여기서 음의 부호는 작용하는 방향으로의 힘의 변위에 따른 퍼텐셜 에너지의 감소를 의미한다. 이러한 두 보조 조건을 사용하면, (3)은

: <math> -\delta\ \mathbf{V} = \delta\ \mathbf{U} </math>

로 표현되는데, 이는 (2)와 같다. (2)의 변형식은 [[유한요소법 (구조역학)|유한요소법]]의 기본이 된다.

== 같이 보기 ==
* [[가상일의 원리]]

[[분류:열역학]]
[[분류:고체역학]]
[[분류:구조역학]]