최소 상계 성질 문서 원본 보기

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[[파일:Illustration_of_supremum.svg|섬네일|300x300픽셀|유계이고 공집합이 아닌 실수의 부분집합은 최소 상계를 갖는다.]]
[[수학]]에서 '''최소 상계 성질''' (때때로 '''완비성''' 또는 '''상한 성질''')<ref>Bartle and Sherbert (2011) define the "completeness property" and say that it is also called the "supremum property". (p. 39)</ref> 은 [[실수]] 혹은 특정한 다른 순서집합의 기본적인 성질이다. 집합 X가 최소 상계 성질을 만족한다는 것은 X의 공집합이 아니고 상계를 갖는 모든 부분집합이 X에서 최소상계 (상한)을 갖는다는 것을 의미한다.

최소 상계 성질은 실수에 대한 완비성 공리의 한 형태이고, 때때로 '''데데킨트 완비성'''이라고 불리기도 한다.<ref>{{저널 인용|제목=The upper bound on the complexity of branch-and-bound with cardinality bound for subset sum problem|성=Sin|이름=Si Thu Thant|성2=Posypkin|이름2=Mikhail|url=http://dx.doi.org/10.1063/1.4965330|날짜=2016|출판사=Author(s)|doi=10.1063/1.4965330|성3=Kolpakov|이름3=Roman}}</ref> 이는 실해석학의 많은 기본적인 정리 (예를 들면 [[중간값 정리]], [[볼차노-바이어슈트라스 정리]], [[최대·최소 정리]], [[하이네-보렐 정리]]) 들을 증명하는데 사용된다.이는 때때로 [[실수의 구성]]에서 공리로 사용되고 ([[실수의 완비성|최소 상계 공리]]), 데데킨트 절단을 사용하여 실수를 구성하는데 사용된다.

[[순서론]]에서, 이 성질은 [[부분 순서 집합]]에 대한 완비성의 개념으로 일반화 될 수 있다. [[조밀 순서|조밀]]하고 최소 상계 성질을 갖는 [[전순서 집합|선형 순서 집합]]을 [[선형 연속체]]라 한다.

== 성질에 대한 명제 ==

=== 실수에서의 명제 ===
S를 공집합이 아닌 [[실수]]들의 집합이라 하자.

* 모든 s ∈ S에 대해 x ≥ s 일 때, 실수 x를 S에 대한 '''[[상계]]'''라고 한다.
* 실수 x가 S의 상계이고 S의 임의의 상계 y에 대해 x ≤ y 이면, x를 '''최소 상계''' (또는 '''[[상한]]''')이라고 한다.

'''최소 상계 성질'''은 임의의 공집합이 아니고 상계를 갖는 실수들의 집합이 반드시 실수 집합에서 최소 상계를 갖는다는 것을 의미한다.

=== 순서 집합으로의 일반화 ===
더 일반적으로, "실수"를 "X의 원소"로 바꿈으로써 부분 순서 집합 X의 임의의 부분집합에 대한 상계와 최소 상계를 정의할 수 있다. 이 때는, 공집합이 아니고 상계를 갖는 X의 모든 부분집합이 상계를 가질 때 X가 최소 상계 성질을 갖는다고 말한다.

예를 들어, [[유리수]]의 집합 '''Q'''는 통상적인 순서에서는 최소 상계 성질을 만족하지 않는다. 예를 들어, 집합

: <math> \left\{ x \in \mathbf{Q} : x^2 \le 2 \right\} = \mathbf{Q} \cap \left(-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right) </math>

는 '''Q'''에서 상계를 가지지만, √2는 무리수이기 때문에 '''Q'''에서 최소 상계를 갖지 않는다. 데데킨트 절단을 이용하여 [[실수의 구성|실수를 구성]]할 때 유리수의 특정 집합들을 최소 상계로 정의하는 데에 이를 이용한다.

== 증명 ==

=== 논리적 상태 ===
최소 상계 성질은 [[코시 수열]]의 수렴이나 [[축소 구간 정리]]와 같은 완비성 공리의 다른 형태와 동치이다. 이 성질의 논리적 상태는 사용된 [[실수의 구성]]에 의존한다 : 공리를 이용하여 정의하면 이 성질은 대개 실수에 대한 공리로 이용된다 ([[실수의 완비성|최소 상계 공리]]) ; 구성적으로 정의하면 이 성질은 증명되어야 할 [[정리]]로, 구성으로부터 직접 얻어지거나 완비성의 다른 어떤 형태의 결과로 얻어진다.

=== 코시 수열을 이용한 증명 ===
최소 상계 성질을 증명하기 위해 모든 코시 수열이 수렴한다는 가정을 이용할 수 있다. ''S''를 공집합이 아닌 실수의 부분집합이라 하고, ''S''가 상계 ''B''<sub>1</sub>를 갖는다고 하자.  ''S''가 공집합이 아니므로, ''S''의 상계가 아닌 실수 ''A''<sub>1</sub>이 존재한다. 수열 ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ''A''<sub>3</sub>, ... and ''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>, ''B''<sub>3</sub>, ...를 다음과 같이 귀납적으로 정의하자.

# (''A<sub>n</sub>'' + ''B<sub>n</sub>'') ⁄ 2 이 ''S''의 상계인지 확인한다.
# 상계라면, ''A''<sub>''n''+1</sub> = ''A<sub>n</sub>'' , ''B''<sub>''n''+1</sub> = (''A<sub>n</sub>'' + ''B<sub>n</sub>'') ⁄ 2라 하자.
# 상계가 아니라면 ''s''>(''A<sub>n</sub>'' + ''B<sub>n</sub>'') ⁄ 2 를 만족하는 S의 원소 s가 존재한다. ''A''<sub>''n''+1</sub> = ''s'' , ''B''<sub>''n''+1</sub> = ''B<sub>n</sub>''라 하자.

그러면 ''A''<sub>1</sub> ≤ ''A''<sub>2</sub> ≤ ''A''<sub>3</sub> ≤ ⋯ ≤ ''B''<sub>3</sub> ≤ ''B''<sub>2</sub> ≤ ''B''<sub>1</sub> 이고 |''A<sub>n</sub>'' − ''B<sub>n</sub>''| → 0 (''n'' → ∞ 일 때) 이는 곧 두 수열이 코시수열이고 같은 극한 ''L''을 가짐을 의미하는데, 이것이 곧 ''S''의 최소 상계이다.

== 응용 ==
'''R'''의 최소 상계 성질은 [[실해석학]]의 많은 기본 정리들을 증명하는데 사용된다.

=== 중간값 정리 ===
''f'' : [''a'', ''b''] → '''R''' 가 [[연속 함수|연속]]이고 ''f'' (''a'') < 0 , ''f'' (''b'') > 0라 가정하자. 이 경우에 [[중간값 정리]]는 ''f'' 가 구간 [''a'', ''b'']에서 [[근 (수학)|근]]을 가진다는 것을 말한다. 이는 다음 집합을 생각함으로써 증명할 수 있다.

: {{math|''S''  {{=}}  {''s'' ∈ [''a'', ''b'']  : 모든 ''x'' ≤ ''s''에 대해 ''f'' (''x'') < 0}}}.

즉, ''S'' 는 [''a'', ''b''] 에서  ''f''가 음의 값을 갖는 첫 부분이다. 그러면 ''b'' 는 ''S''의 상계이므로 최소 상계 성질에 의해 ''f''는 근을 갖는다.

=== 볼차노-바이어슈트라스 정리 ===
'''R'''에서 [[볼차노-바이어슈트라스 정리]]는 닫힌 구간 [a,b]에서 정의된 모든 [[수열|실수열]] ''x<sub>n</sub>'' 이 수렴하는 [[부분수열]]을 갖는다는 것을 말한다. 이는 다음 집합을 생각함으로써 증명할 수 있다.

: ''S''  =  {''s'' ∈ [''a'', ''b'']  :  무수히 많은 n에 대해 ''s'' ≤ ''x<sub>n</sub>'' }.

분명히 ''b''는 ''S''에 대한 상계이므로 ''S''는 최소 상계 ''c''를 갖는다. 그러면 ''c''는 분명 ''x<sub>n</sub>''의 [[집적점]]이므로 ''x<sub>n</sub>''은 ''c''로 수렴하는 부분수열을 갖는다.

=== 최대-최소 정리 ===
''f'' : [''a'', ''b''] → '''R'''를 연속, ''M'' = sup ''f'' ([''a'', ''b''])라 하자. 이 때 f([a,b])가 상계를 갖지 않으면 ''M'' = ∞를 의미한다. [[최대 최소 정리|최대-최소 정리]]는 ''M''이 실숫값을 갖고 ''f'' (''c'') = ''M''인 ''c'' ∈ [''a'', ''b'']가 존재한다는 것을 말한다. 이는 다음 집합을 생각함으로써 증명할 수 있다.

: ''S''  =  {''s'' ∈ [''a'', ''b'']  :  sup ''f'' ([''s'', ''b'']) = ''M''}.

만일 ''c''가 이 집합의 최소 상계이면, 연속성으로부터 ''f'' (''c'') = ''M''을 얻을 수 있다.

=== 하이네-보렐 정리 ===
[''a'', ''b'']를 '''R'''에서의 닫힌 구간이라 하고, {''U<sub>α</sub>''}를 [''a'', ''b'']의 [[열린 덮개]]라 하자. 그러면 [[하이네-보렐 정리]]는 [a,b]를 덮는 {''U<sub>α</sub>''}의 유한 부분 덮개가 존재한다는 것을 말한다. 이는 다음 집합을 생각함으로써 증명할 수 있다.

: ''S''  =  {''s'' ∈ [''a'', ''b'']  :  [''a'', ''s'']는 유한히 많은 ''U<sub>α</sub>''에 의해 덮힘}

이 집합은 분명히 최소 상계 ''c''를 갖는다. 하지만 ''c'' 자신은 어떤 ''U<sub>α</sub>''의 원소이므로 충분히 작은 δ>0에 대해 [''a'', ''c'' + ''δ'']는 유한히 많은 ''U<sub>α</sub>''로 덮힌다. 이는 곧 ''c'' + ''δ'' ∈ ''S''임을 의미하는데 이는 ''c'' = ''b''가 아니면 모순이다.

== 역사 ==
최소상계 성질의 중요성은 [[베르나르트 볼차노]]의 1817년 논문에서 처음으로 인식되었다.<ref name="Sundström">{{저널 인용|제목=A Pedagogical History of Compactness|저널=[[American Mathematical Monthly]]|성=Raman-Sundström|이름=Manya|날짜=August–September 2015|권=122|호=7|쪽=619–635|doi=10.4169/amer.math.monthly.122.7.619|jstor=10.4169/amer.math.monthly.122.7.619}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==

* {{서적 인용|제목=Understanding Analysis|url=https://archive.org/details/understandingana0000abbo_j8f6|성=Abbott, Stephen|날짜=2001|총서=Undergraduate Texts in Mathematics|출판사=Springer-Verlag|위치=New York|isbn=0-387-95060-5}}
* {{서적 인용|제목=Principles of real analysis|url=https://archive.org/details/principlesofreal0000alip_u9t1|성=Aliprantis|이름=Charalambos D|저자링크=Charalambos D. Aliprantis|성2=Burkinshaw,  Owen|날짜=1998|판=Third|출판사=Academic|isbn=0-12-050257-7}}

* {{서적 인용|제목=Introduction to Real Analysis|성=Bartle, Robert G.|성2=Sherbert, Donald R.|날짜=2011|판=4|출판사=John Wiley and Sons|위치=New York|isbn=978-0-471-43331-6|ref=Bartle}}
* {{서적 인용|제목=A Radical Approach to Real Analysis|성=Bressoud, David|날짜=2007|출판사=MAA|isbn=0-88385-747-2}}
* {{서적 인용|제목=Mathematical Analysis: An Introduction|성=Browder, Andrew|날짜=1996|총서=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|출판사=Springer-Verlag|위치=New York|isbn=0-387-94614-4}}
* {{서적 인용|제목=Introductory Real Analysis|성=Dangello, Frank|성2=Seyfried, Michael|날짜=1999|출판사=Brooks Cole|isbn=978-0-395-95933-6}}
* {{서적 인용|제목=Principles of Mathematical Analysis|성=Rudin, Walter|판=3|총서=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics|출판사=McGraw–Hill|isbn=978-0-07-054235-8}}
* {{서적 인용|제목=General Topology|url=https://archive.org/details/generaltopology0000will|성=Willard|이름=Stephen|연도=2004|출판사=Dover Publications|위치=Mineola, N.Y.|원본연도=1970|isbn=9780486434797}}

[[분류:순서론]]
[[분류:실해석학]]