최대 원소와 최소 원소 문서 원본 보기

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[[순서론]]에서, [[부분 순서 집합]]의 '''최대 원소'''(最大元素, {{llang|en|greatest element}})는 모든 다른 원소들보다 큰 원소이다. 이와 비슷하게 '''최소 원소'''(最小元素, {{llang|en|least element}})는 모든 다른 원소들보다 작은 원소이다. 이들을 줄여서 '''최대원''', '''최소원'''이라고도 한다.

== 정의 ==
[[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>의 '''최대 원소'''는 모든 <math>a\in P</math>에 대하여 <math>a \le g</math>을 만족시키는 원소 <math>g\in P</math>이다.

<math>(P,\le)</math>의 '''최소 원소'''는 반대 순서 집합 <math>P^{\operatorname{op}}=(P,\ge)</math>의 최대 원소이다. 즉, 모든 <math>a\in P</math>에 대하여 <math>a \ge l</math>을 만족시키는 원소 <math>l\in P</math>이다.

만약 최대 원소가 존재한다면, 보통 <math>\top</math> 또는 1로 표기한다. 마찬가지로, 최소 원소는 보통 <math>\bot</math> 또는 0으로 표기한다. 1과 0의 표기는 혼동의 여지가 없을 경우에만 사용한다. 이러한 표기는 최대, 최소 원소가 각각 유일하므로 문제가 되지 않는다.

== 성질 ==
정수 집합 <math>\Z</math>는 최대 원소가 존재하지 않을 수 있음을 보여준다. [[상계와 하계|상계]]가 존재하여도 최대 원소가 존재하지 않을 수 있다. 음의 실수 집합 <math>\R^{-}</math>가 그 예이다. 최소 원소도 마찬가지다.

모든 최대 원소는 [[극대 원소]]이며, 모든 최소 원소는 [[극소 원소]]이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않으나, [[전순서 집합]]에서는 모든 극대 원소는 최대 원소이며, 모든 극소 원소는 최소 원소이다.

만약 어떤 [[부분 순서 집합]]이 최대 원소를 갖는다면, 이는 유일하며, 또한 최대 원소가 아닌 극대 원소는 존재하지 않는다. 이는 여러 개가 존재할 수 있는 극대 원소와 다른 점이다. 최소 원소에 대해서도 마찬가지다.

== 예 ==
모든 유한 [[사슬 (순서론)|사슬]]은 최대 원소와 최소 원소를 갖는다. 예를 들어 <math>\{1,3,5,7\}</math>은 7을 최대 원소로 한다.

집합 <math>\{a,b,c,d\}</math>에 <math>a\le c,d,\ b\le c,d</math>와 같은 부분 순서를 정의하였을 때, 이는 상계 <math>c,d</math>를 갖지만, [[최소 상계]]나 최대 원소를 갖지 않는다. [[제곱]]이 2보다 작은 [[유리수]]의 집합은 상계를 갖지만, 이를 유리수 집합의 부분집합으로 봤을 때, [[최소 상계]]나 최대 원소를 갖지 않는다.

닫힌 단위 구간 <math>([0,1],\le)</math>은 최대·최소 원소를 가지지만, 열린 단위 구간 <math>((0,1),\le)</math>은 최대 원소나 최소 원소를 갖지 않는다.

[[완비 격자]]의 임의의 부분집합 <math>S</math>의 [[상계와 하계|상계]]의 집합은 최소 원소가 존재하며, [[상계와 하계|하계]]의 집합은 최대 원소가 존재한다. 물론 각각 유일하다. 둘을 각각 <math>S</math>의 [[이음 (수학)|이음]]과 [[만남 (수학)|만남]]이라고 한다.

모든 [[불 대수]]나 [[헤이팅 대수]]는 최대 원소 및 최소 원소를 갖는다. 이들은 각각 고전 [[명제 논리]] 및 [[직관 논리]]의 참값과 대응하는데, 이 경우 최대 원소는 참인 명제, 최소 원소는 거짓인 명제에 대응한다.

어떤 집합 <math>S</math>의 [[부분 집합]]들의 [[격자 (순서론)|격자]] <math>(\mathcal P(S),\subseteq)</math>는 최소 원소 <math>\varnothing</math> 및 최대 원소 <math>S</math>를 갖는다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[아이디얼]]들의 부분 순서 집합은 최대 원소 <math>R=(1)</math> 및 최소 원소 <math>\{0\}=(0)</math>을 갖는다.

== 같이 보기 ==
* [[시작 대상과 끝 대상]]
* [[극대 원소와 극소 원소]]
* [[상계와 하계]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Davey | first=B.A. | 이름2=H. A.|성2=Priestley |title=Introduction to lattices and order | 판=2 | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-78451-1 | 날짜=2002|doi=10.1017/CBO9780511809088|zbl=1002.06001|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Maximum and minimum points}}
* {{eom|title=Maximum and minimum of a function}}
* {{매스월드|id=Maximum|title=Maximum}}
* {{매스월드|id=Minimum|title=Minimum}}

{{전거 통제}}

[[분류:순서론]]