최대 원리 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서, '''최대 원리'''(最大原理, {{llang|en|maximum principle}})는 [[조화 함수]]가 극대점을 갖지 않는다는 정리다. 조화함수 말고도, 특정 타원형·포물형 [[편미분 방정식]]의 해에 대해서도 성립한다.

== 정의 ==
[[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subset\mathbb R^n</math> 위의 [[조화 함수]] <math>f\colon D\to\mathbb R</math>가 극대점을 갖는다고 하자. 즉, 다음 성질을 만족시키는 점 <math>x_0\in D</math> 및 [[근방]] <math>N\ni x_0</math>이 존재한다고 하자.
:<math>\sup_Nf\le f(x_0)</math>
그렇다면 <math>f</math>는 [[상수 함수]]이다.

=== 호프 최대 원리 ===
[[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subset\mathbb R^n</math> 위의 <math>C^2</math> 함수 <math>f\colon D\to\mathbb R</math>가 다음과 같은 꼴의 미분 부등식을 만족시킨다고 하자.
:<math>A^{ij}(x)\nabla_i\nabla_jf(x)+b^i(x)\nabla_if(x)\ge0</math>
여기서 <math>A</math>는 국소적으로 균등 양의 정부호인 [[대칭 행렬]]이며, <math>A</math>와 <math>b</math>의 성분들은 모두 국소 유계이다. 만약 <math>u</math>가 <math>x\in D</math>에서 최댓값을 갖는다면, <math>u</math>는 [[상수 함수]]이다. 이를 '''호프 최대 원리'''({{llang|en|Hopf maximum principle}})라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[최대 절댓값 원리]]

{{토막글|수학}}

[[분류:조화 함수]]
[[분류:편미분 방정식]]