최대가능도 방법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''최대가능도방법''' (最大可能度方法, {{llang|en|maximum likelihood method}}) 또는 '''최대우도법'''(最大尤度法)은 어떤 확률변수에서 [[표집]]한 값들을 토대로 그 확률변수의 [[모수]]를 구하는 방법이다. 어떤 모수가 주어졌을 때, 원하는 값들이 나올 [[가능도]]를 최대로 만드는 모수를 선택하는 방법이다. [[점추정]] 방식에 속한다.

== 방법 ==
어떤 모수 <math>\theta</math>로 결정되는 확률변수들의 모임 <math>D_\theta = (X_1, X_2, \cdots, X_n)</math>이 있고, <math>D_\theta</math>의 [[확률 밀도 함수]]나 [[확률 질량 함수]]가 <math>f</math>이고, 그 확률변수들에서 각각 값 <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math>을 얻었을 경우, [[가능도]] <math>\mathcal{L}(\theta)</math>는 다음과 같다.
:<math>\mathcal{L}(\theta) = f_{\theta}(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>
여기에서 가능도를 최대로 만드는 <math>\theta</math>는
:<math>\widehat{\theta} = \underset{\theta}{\operatorname{argmax}}\ \mathcal{L}(\theta)</math>
가 된다.

이때 <math>X_1, X_2, \cdots, X_n</math>이 모두 독립적이고 같은 확률분포를 가지고 있다면, <math>\mathcal{L}</math>은 다음과 같이 표현이 가능하다.
:<math>\mathcal{L}(\theta) = \prod_i f_{\theta}(x_i)</math>

또한, [[로그함수]]는 [[단조 증가]]하므로, <math>\mathcal{L}</math>에 로그를 씌운 값의 최댓값은 원래 값 <math>\widehat{\theta}</math>과 같고, 이 경우 계산이 비교적 간단해진다.
:<math>\mathcal{L}^*(\theta) = \log \mathcal{L}(\theta) = \sum_i \log f_{\theta}(x_i)</math>

== 예제: 가우스 분포 ==
[[평균]] <math>\mu</math>와 [[분산]] <math>\sigma^2</math>의 값을 모르는 [[정규분포]]에서 <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math>의 값을 표집하였을 때, 이 값들을 이용하여 원래 분포의 평균과 분산을 추측한다. 이 경우 구해야 하는 모수는 <math>\theta = (\mu, \sigma)</math>이다. [[정규분포]]의 [[확률 밀도 함수]]가
:<math>f_{\mu, \sigma}(x_i) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp(\frac{-(x_i - \mu)^2}{2 \sigma^2})</math>
이고, <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math>가 모두 독립이므로
:<math>\mathcal{L}(\theta) = \prod_i f_{\mu, \sigma}(x_i) = \prod_i \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp(\frac{-(x_i - \mu)^2}{2 \sigma^2})</math>
양변에 로그를 씌우면
:<math>\mathcal{L}^*(\theta) = -\frac{n}{2} \log{2\pi} - n \log \sigma - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_i {(x_i - \mu)^2}</math>
가 된다. 식의 값을 최대화하는 모수를 찾기 위해, 양변을 <math>\mu</math>로 각각 편미분하여 0이 되는 값을 찾는다.
:<math>\frac{\partial}{\partial \mu} \mathcal{L}^*(\theta) = \frac{1}{\sigma^2} \sum_i (x_i - \mu)</math>
:<math>= \frac{1}{\sigma^2} (\sum_i x_i - n \mu)</math>
따라서 이 식을 0으로 만드는 값은 <math>\widehat \mu = (\sum_i x_i) / n</math>으로, 즉 표집한 값들의 평균이 된다. 마찬가지 방법으로 양변을 <math>\sigma</math>로 편미분하면
:<math>\frac{\partial}{\partial \sigma} \mathcal{L}^*(\theta) = -\frac{n}{\sigma} + \frac{1}{\sigma^3} \sum_i (x_i - \mu)^2</math>
따라서 이 식을 0으로 만드는 값은 다음과 같다.
:<math>\sigma^2 = \sum_i (x_i - \mu)^2 / n</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
  | last = Lehmann
  | first = E. L.
  | 공저자 = Casella, G.
  | title = Theory of Point Estimation
  | edition = 2판
  | 날짜 = 1998
  | publisher = Springer
  | isbn = 0-387-98502-6
  | 언어 = en }}
* {{서적 인용
  | last = Shao
  | first = Jun
  | title = Mathematical Statistics
  | place = New York
  | publisher = Springer
  | year = 1998
  | isbn = 0-387-98674-X | 언어 = en}}

== 같이 보기 ==
* [[가능도]]
* [[추정량]]
* [[기댓값 최대화 알고리즘]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Maximum-likelihood method}}
* {{eom|title=Likelihood equation}}
* {{매스월드|id=MaximumLikelihood|title=Maximum likelihood}}
* {{매스월드|id=MaximumLikelihoodEstimator|title=Maximum likelihood estimator}}

{{전거 통제}}

[[분류:추정 이론]]
[[분류:조건부 확률]]