최고 무게 가군 문서 원본 보기

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[[리 대수]]의 [[표현론]]에서 '''최고 무게 가군'''(最高무게加群, {{llang|en|highest weight module}})은 [[리 대수의 표현]] 가운데 모든 [[양근 (수학)|양근]]으로 소멸되는 어떤 벡터로 생성되는 성질을 갖는 것이다. [[반단순 리 대수]]의 모든 유한 차원 [[기약 표현]]은 최고 무게 가군이며, 이에 대응하는 최고 무게는 [[정수 무게|정수]] [[우세 무게]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[복소수체]] 위의 유한 차원 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>
* [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>. 이에 따라 [[근계]] <math>\Delta(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\mathfrak h^\vee</math>를 정의할 수 있다.
* <math>\mathfrak h</math>의 [[무게 (표현론)|무게]] <math>\lambda\in\mathfrak h^\vee</math>.
* <math>(\mathfrak g,\mathfrak h)</math>에 대한 [[양근 (수학)|양근]] 집합 <math>\Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\Delta(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\mathfrak h^\vee</math>. 이에 따라, <math>\mathfrak h^\vee</math> 위에 [[부분 순서]] <math>\lambda\le\mu\iff \forall\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h)\colon0\le\langle\alpha|\mu-\lambda\rangle</math>를 줄 수 있다.

<math>\mathfrak g</math>의 [[리 대수의 표현|표현]] <math>_{\operatorname U(\mathfrak g)}V</math>에 대하여, 만약 다음 두 조건이 성립하는 벡터 <math>v\in V</math>가 존재한다면,  <math>V</math>를 '''최고 무게 가군'''이라고 한다.
# 모든 [[양근 (수학)|양근]] <math>\lambda\in\Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\mathfrak h^\vee</math> 및 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>\lambda^\vee\cdot v=0</math>
# <math>V=\mathfrak gv</math>이다.

== 성질 ==
최고 무게 가군 <math>V</math>의 무게의 집합
:<math>\{\lambda\in\mathfrak h^\vee\colon V_\lambda\ne0\}</math>
:<math>V_\lambda=\{v\in V\colon\forall h\in\mathfrak h\colon (\lambda(h)-h)v=0\}</math>
을 생각하자. 이 경우, <math>V</math>의 무게들의 [[부분 순서 집합]]은 항상 유일한 [[최대 원소]]를 가지며, 이를 <math>V</math>의 '''최고 무게'''({{llang|en|highest weight}})라고 한다. 만약 <math>V</math>가 유한 차원이라면, 이는 항상 [[정수 무게]]이자 [[우세 무게]]이다.

[[복소수체]] 위의 유한 차원 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>와 그 [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math> 및 양근의 집합 <math>\Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h)</math>가 주어졌다고 하자. '''최고 무게 정리'''({{llang|en|theorem of the highest weight}})에 따르면, 다음이 성립한다.
* <math>\mathfrak g</math>의 모든 유한 차원 [[기약 표현]]은 (위 데이터에 대한) 최고 무게 가군이다.
* <math>\mathfrak g</math>의 두 유한 차원 최고 무게 가군 가운데, 같은 최고 무게를 갖는 것은 서로 동형이다.
* 임의의 [[정수 무게|정수]] [[우세 무게]]에 대하여 이를 최고 무게로 갖는 유한 차원 최고 무게 가군이 존재한다.

이에 따라, <math>\mathfrak g</math>의 [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h</math> 및 양근 <math>\operatorname S(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\mathfrak h^*</math>를 골랐을 때, 다음 두 집합 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다.
* <math>\mathfrak g</math>의 유한 차원 [[기약 표현]]들의 동형류들의 집합
* <math>(\mathfrak g,\mathfrak h,\operatorname S(\mathfrak g,\mathfrak h))</math>에 대한 정수 우세 무게 <math>\lambda</math>

== 예 ==
=== ''A''<sub>n</sub> ===
[[단순 리 대수]] <math>\mathfrak a_n=\mathfrak{sl}(n+1)</math>의 [[카르탕 부분 대수]]는 <math>n</math>차원이며, 따라서 총 <math>n</math>개의 기본 무게들을 갖는다. 이 경우, 우세 무게
:<math>(k_1,k_2,\dots,k_n)\qquad(k_i\in\mathbb N)</math>
에 대응하는 [[영 타블로]]는 길이가 <math>i</math>인 열을 <math>k_i</math>개 갖는다. 예를 들어, 대표적인 복소 기약 표현의 최고 무게들은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 표현 !! 최고 무게 (기본 무게 기저에 대한 계수) !! 영 타블로
|-
| 기본 <math>\mathbf n</math> || <math>(1,0,\dots,0)</math> || □
|-
| 반기본 <math>\bar{\mathbf n}</math> || <math>(0,0,\dots,1)</math> || □<br>⋮<br>□
|-
| <math>k</math>차 대칭 텐서 <math>\textstyle\operatorname{Sym}^k\mathbf n</math> ||<math>(k,0,\dots,0)</math> || □…□
|-
| <math>k</math>차 반대칭 텐서 <math>\textstyle\bigwedge^k\mathbf n</math> || <math>\textstyle(\overbrace{0,\dots,0}^{k-1},1,0,\dots,0)</math> || □<br>⋮<br>□
|-
| 딸림 표현 <math>\mathfrak a_n</math> || <math>(1,1,0,\dots,0)</math> || □□<br>□
|}

=== ''B''<sub>n</sub> ===
단순 리 대수 <math>\mathfrak b_n=\mathfrak o(2n+1)</math>은 <math>n</math>개의 단순근을 갖는다. 정규 직교 기저에 대하여, <math>\mathfrak b_n</math>의 기본 무게들은 다음과 같다.
:<math>q^1=(1,0,0,\dots,0,0)</math>
:<math>q^2=(1,1,0,\dots,0,0)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>q^{n-1}=(1,1,1,\dots,1,0)</math>
:<math>q^n=\frac12(1,1,1,\dots,1,1)</math>
<math>q^k</math> (<math>1\le k\le n-1</math>)는 <math>k</math>차 완전 반대칭 텐서 표현에 대응한다. <math>q^n</math>은 디랙 [[스피너]] 표현이다.

=== ''D''<sub>n</sub> ===
단순 리 대수 <math>\mathfrak d_n=\mathfrak o(2n)</math>은 <math>n</math>개의 단순근을 갖는다. 정규 직교 기저에 대하여, <math>\mathfrak d_n</math>의 기본 무게들은 다음과 같다.
:<math>q^1=(1,0,0,\dots,0,0,0)</math>
:<math>q^2=(1,1,0,\dots,0,0,0)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>q^{n-2}=(1,1,1,\dots,1,0,0)</math>
:<math>q^{n-1}=\frac12(1,1,1,\dots,1,1,-1)</math>
:<math>q^n=\frac12(1,1,1,\dots,1,1,1)</math>
<math>q^k</math> (<math>1\le k\le n-2</math>)는 <math>k</math>차 완전 반대칭 텐서 표현에 대응한다. <math>q^{n-1}</math>과 <math>q^n</math>은 바일 [[스피너]] 표현이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Fulton|이름=William|이름2=Joe|성2=Harris|날짜=1991|제목=Representation theory: a first course|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=129|issn=0072-5285|출판사=Springer|mr=1153249|zbl=0744.22001|isbn= 978-3-540-00539-1|doi=10.1007/978-1-4612-0979-9|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Representation with a highest weight vector}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:표현론]]