초행렬 문서 원본 보기

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[[수학]]과 [[이론물리학]]에서 '''초행렬'''(超行列, {{llang|en|supermatrix}})은 [[초벡터 공간]] 사이의 사상을 나타내는 행렬이다.

== 정의 ==
<math>(m|n)\times(p|q)</math> '''초행렬''' <math>M</math>은 다음과 같은 구조로 이루어진 [[블록 행렬]]이다.
:<math>M=\begin{pmatrix}
X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}
\end{pmatrix}</math>
여기서 <math>X_{00}</math>은 <math>m\times p</math>, <math>X_{01}</math>은 <math>m\times q</math>, <math>X_{10}</math>은 <math>n\times p</math>, <math>X_{11}</math>은 <math>n\times q</math> 행렬이다. <math>(p|q)\times(p|q)</math> 행렬을 '''정사각초행렬'''({{llang|en|square supermatrix}})이라고 한다.

== 연산 ==
=== 덧셈과 곱셈 ===
같은 크기의 초행렬들은 서로 더할 수 있다. 덧셈은 일반 행렬과 마찬가지로, 각 성분을 더한다.
:<math>\begin{pmatrix}
X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
X_{00}+Y_{00}&X_{01}+Y_{01}\\X_{10}+Y_{10}&X_{11}+Y_{11}
\end{pmatrix}
</math>

<math>(m|n)\times(p|q)</math> 초행렬과 <math>(p|q)\times(r|s)</math> 초행렬을 곱하여 <math>(m|n)\times(r|s)</math> 초행렬을 얻을 수 있다. 그 곱은 다음과 같다.
:<math>\begin{pmatrix}
X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
X_{00}Y_{00}+X_{01}Y_{10}&X_{01}Y_{11}+X_{00}Y_{01}\\
X_{10}Y_{00}+X_{11}Y_{10}&X_{10}Y_{01}+X_{11}Y_{11}
\end{pmatrix}
</math>

=== 초대각합과 초행렬식 ===
정사각초행렬 <math>X</math> 의 '''초대각합'''(超對角合, {{llang|en|supertrace}}) <math>\operatorname{str}X</math>는 다음과 같다.
:<math>
\operatorname{str}
\begin{pmatrix}
X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}
\end{pmatrix}=\operatorname{tr}X_{00}-\operatorname{tr}X_{11}
</math>

정사각초행렬 <math>X</math> 의 '''초행렬식'''(超行列式, {{llang|en|superdeterminant}}) 또는 '''베레지니언'''({{llang|en|Berezinian}}) <math>\operatorname{sdet}X</math>는 다음과 같다.
:<math>
\operatorname{sdet}
\begin{pmatrix}
X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}
\end{pmatrix}=\det(X_{00}-X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11}^{-1})
</math>

이들은 다음을 만족시킨다.
:<math>\operatorname{sdet}\exp X=\exp\operatorname{str}X</math>

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용| first = V. S. | last = Varadarajan | year = 2004 | title = Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction | series = Courant Lecture Notes in Mathematics '''11''' | publisher = American Mathematical Society | isbn = 0-8218-3574-2}}
*{{서적 인용| first = Pierre | last = Deligne| 저자링크=피에르 들리뉴 |author2=John W. Morgan | chapter = Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein) | title = Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians | volume = 1 | pages = 41&ndash;97 | publisher = American Mathematical Society | year = 1999 |ISBN=0-8218-2012-5}}

[[분류:행렬]]
[[분류:초대칭]]