초한수 문서 원본 보기

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[[파일:Matematiker georg cantor.jpg|thumb|칸토어]]
[[수학]]에서 '''초한수'''(超限數, {{llang|en|transfinite number}})는 [[유한]]하지 않은 [[순서수]]와 [[기수 (수학)|기수]]를 뜻한다. 모든 유한한 수보다 크지만, [[절대적 무한]]은 아니다. [[게오르크 칸토어]]가 절대적 무한과 구별하기 위해 처음 사용한 용어이다.

== 순서수 ==
칸토어가 정의한 [[순서수]]는 [[전순서|모든 쌍의 원소가 비교 가능한 순서]]가 부여되었고, [[정렬 집합|모든 부분 집합이 최소 원소를 갖는]] 집합이되, 둘 사이에 [[순서 보존 함수|순서를 보존]]하는 [[전단사 함수|일대일 대응]]이 존재한다면 서로 같다고 보아 얻는 개념이다. 가장 작은 초한 순서수 <math>\omega</math>는 표준적인 순서를 갖춘 [[양의 정수]]의 집합 <math>1<2<\cdots</math>에 대응하는 순서수이다. 그 다음 순서수 <math>\omega+1</math>는 <math>1<2<\cdots<\omega</math>에 대응하는 순서수이며, 그 다음 순서수 <math>\omega+2</math>는 <math>1<2<\cdots<\omega<\omega+1</math>에 대응한다. 처음 몇 초한 순서수들은 다음과 같다.<ref name="Kline" />{{rp|§41.8}}
:<math>\omega,\omega+1,\dots,\omega2,\omega2+1,\dots,\omega3,\omega3+1,\dots,\omega^2,\dots,\omega^3,\dots,\omega^\omega,\dots,\omega^{\omega^\omega},\dots</math>

== 기수 ==
마찬가지로, 칸토어가 정의한 [[기수 (수학)|기수]]는 [[집합]]에서 두 집합 사이에 [[일대일 대응]]이 존재한다면 서로 같다고 보아 얻는다. 가장 작은 초한 기수 <math>\aleph_0</math>([[알레프 0]])은 모든 자연수의 집합에 대응한다. 마찬가지로 <math>\aleph_1</math>은 모든 <math>\aleph_0</math> 크기의 순서수의 집합에 대응하며, <math>\aleph_2</math>는 모든 <math>\aleph_1</math> 크기의 순서수의 집합에 대응한다. 처음 몇 초한 기수들은 다음과 같다.<ref name="Kline" />{{rp|§41.8}}
:<math>\aleph_0,\aleph_1,\dots,\aleph_\omega,\dots</math>

== 역사 ==
19세기 말에 [[게오르크 칸토어]]가 처음 도입하였다.<ref name="Kline">{{서적 인용
|성=Kline
|이름=Morris
|제목=Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times. Volume 3
|언어=en
|출판사=Oxford University Press
|위치=New York, New York
|날짜=1972
|isbn=0-19-506137-3
}}</ref>{{rp|§41.8}}

== 같이 보기 ==
* [[알레프 수]]
* [[베트 수]]
* [[초한 귀납법]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=TransfiniteNumber|title=Transfinite number}}

{{무한}}
{{큰 수}}

{{전거 통제}}

[[분류:무한]]
[[분류:기수]]
[[분류:순서수]]