초평면 (수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Affine subspace.svg|thumb]]
[[수학]]에서 '''초평면'''(超平面, {{llang|en|hyperplane}})은 3차원 공간 속의 [[평면]]을 일반화하여 얻는 개념이다.

== 정의 ==
=== 벡터 초평면 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math>의 [[부분 벡터 공간]] <math>H\subseteq V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>H</math>를 <math>V</math>의 '''벡터 초평면'''({{lang|en|vector}}超平面, {{llang|en|vector hyperplane}})이라고 한다.
* [[몫벡터 공간]] <math>V/H</math>의 차원은 1이다.
* 극대 진부분 벡터 공간이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시킨다.<ref name="HoffmanKunze">{{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id={{iaid|LinearAlgebraHoffmanAndKunze}}}}</ref>{{rp|109, Theorem 19}}
** <math>H\ne V</math>
** 임의의 [[부분 벡터 공간]] <math>W\subseteq V</math>에 대하여, 만약 <math>H\subseteq W</math>라면, <math>W=H</math>이거나 <math>W=V</math>이다.
* 다음 조건을 만족시키는 [[쌍대 공간]] 원소 <math>f\in V^*</math>가 존재한다.<ref name="HoffmanKunze"/>{{rp|109, Theorem 19}}
** <math>f\ne 0</math>
** <math>\ker f=H</math> (여기서 <math>\ker</math>는 [[핵 (수학)|핵]]이다.)
{{증명}}
우선 <math>H</math>가 <math>V</math>의 극대 진부분 벡터 공간라고 가정하자. 임의의 <math>v\in V\setminus H</math>를 고정하자. 그렇다면 다음과 같은 [[직합]] 분해가 성립한다.
:<math>V=H\oplus\operatorname{Span}\{v\}</math>
따라서, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 [[쌍대 공간]] 원소 <math>f\in V^*</math>를 정의할 수 있다.
:<math>f|_H=0</math>
:<math>f(v)=1</math>
이 경우 <math>f(v)=1</math>이므로 <math>f\ne 0</math>이며, 또한 <math>\ker f=H</math>이다.

반대로 <math>f\ne 0</math>와 <math>\ker f=H</math>를 만족시키는 [[쌍대 공간]] 원소 <math>f\in V^*</math>가 존재한다고 가정하자. 그렇다면 <math>f\ne 0</math>이므로 <math>H\ne V</math>이다. 임의의 <math>v\in V\setminus H</math>를 고정하자. 그렇다면, 임의의 <math>u\in V</math>에 대하여,
:<math>u-\frac{f(u)}{f(v)}v\in H</math>
이므로
:<math>u\in\operatorname{Span}(H\cup\{v\})</math>
이다. 따라서
:<math>\operatorname{Span}(H\cup\{v\})=V</math>
이며, <math>H</math>는 <math>V</math>의 극대 진부분 벡터 공간이다.
{{증명 끝}}

=== 아핀 초평면 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[아핀 공간]] <math>A</math>의 [[부분 아핀 공간]] <math>H\subseteq A</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>H</math> 위의 [[평행 이동]]들의 [[벡터 공간]] <math>\operatorname V(H)</math>이 <math>V</math> 위의 [[평행 이동]]들의 [[벡터 공간]] <math>\operatorname V(A)</math>의 벡터 초평면이라면, <math>H</math>를 <math>A</math>의 '''아핀 초평면'''({{lang|en|affine}}超平面, {{llang|en|affine hyperplane}})이라고 한다.

=== 사영 초평면 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math>으로부터 유도되는 [[사영 공간]] <math>\operatorname P(V)</math>의 '''사영 초평면'''(射影超平面, {{llang|en|projective hyperplane}})은 벡터 초평면 <math>H\subseteq V</math>으로부터 유도되는 [[부분 사영 공간]] <math>\operatorname P(H)\subseteq\operatorname P(V)</math>이다.

== 성질 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 유한 차원 [[벡터 공간]] <math>V</math>의 [[부분 벡터 공간]] <math>H\subseteq V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>H</math>는 벡터 초평면이다.
* <math>\dim H=\dim V-1</math>

== 같이 보기 ==
* [[초곡면]]
* [[결정 경계]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hyperplane}}
* {{매스월드|id=Hyperplane|title=Hyperplane}}
* {{nlab|id=hyperplane|title=Hyperplane}}
* {{플래닛매스|urlname=Hyperplane|title=Hyperplane}}

{{차원}}

[[분류:유클리드 기하학]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:아핀기하학]]
[[분류:사영기하학]]