초타원 곡선 문서 원본 보기

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[[파일:Example of a hyperelliptic curve.svg|thumb]]

[[대수기하학]]에서 '''초타원 곡선'''(超楕圓曲線, {{llang|en|hyperelliptic curve}})은 [[사영 직선]] 위의 2차 분지 피복을 이루는 [[대수 곡선]]이다.<ref>{{서적 인용 |장url=http://cacr.uwaterloo.ca/~ajmeneze/publications/hyperelliptic.pdf |장=An elementary introduction to hyperelliptic curves |제목=Algebraic Aspects of Cryptography |editor1-first=Neal |editor1-last=Koblitz |출판사=Springer-Verlag |쪽=155-178 |날짜=1998 |이름1=Alfred J. |성=Menezes |이름2=Yi-Hong |성2=Wu |이름3=Robert J. |성3=Zuccherato |총서=Algorithms and Computation in Mathematics |권=3 |doi=10.1007/978-3-662-03642-6 |언어=en |access-date=2019-01-28 |archive-date=2018-12-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181222121914/http://cacr.uwaterloo.ca/~ajmeneze/publications/hyperelliptic.pdf }}</ref>

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 '''초타원 곡선'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.<ref name="Liu">{{서적 인용
 |이름       = Qing
 |성          = Liu
 |날짜       = 2006-06-29
 |제목       = Algebraic geometry and arithmetic curves
 |기타       = Reinie Erne 역
 |총서       = Oxford Graduate Texts in Mathematics
 |volume       = 6
 |출판사    = Oxford University Press
 |isbn         = 978-0-19-920249-2
 |zbl          = 1103.14001
 |mr           = 1917232
 |판          = 2
 |url          = http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |언어       = en
 |확인날짜 = 2019-01-28
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20160305003407/http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |보존날짜 = 2016-03-05
 |url-status = dead
}}</ref>{{rp|287, Definition 7.4.7}}
* [[크룰 차원]]이 1인 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>C</math>
* [[매끄러운 사상]] <math>\phi\colon C \to \operatorname{Spec}K</math>. 또한, <math>\phi</math>가 기하학적 기약 사상({{llang|en|geometrically irreducible morphism}})이라고 하자. (즉, <math>C\otimes_K\bar K</math>은 [[기약 스킴]]이다.)
** 이 조건에 따라서 <math>C</math>는 [[기약 스킴]]이자 [[축소 스킴]]이다.
* <math>K</math> 위의, 차수가 2인 [[분해 가능 사상|분해 가능]] [[유한 사상]] <math>f\colon C\to \mathbb P^1_K</math>. (즉, [[체의 확대]] <math>\mathcal K(C) / K</math>는 2차 [[분해 가능 확대]]이다.) 여기서 <math>\mathbb P^1_K</math>는 [[사영 직선]]이다.
** 이 조건에 따라서 <math>\phi</math>는 [[유한형 사상]]이다.

특히, 만약 <math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라면, 그 위의 초타원 곡선은 다음과 같다.
* [[크룰 차원]]이 1인 [[정칙 스킴|정칙]] [[기약 스킴]] <math>K</math>
* <math>K</math> 위의, 차수 2의 [[유한 사상]] <math>f\colon C \to \mathbb P^1_K</math>

== 분류 ==
종수 <math>g</math>의 초타원 곡선 <math>(C,f)</math>는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다. 우선, <math>\mathbb P^1_K = \operatorname{Proj}(x_0,x_1)</math>에서 아핀 좌표
:<math>x = x_1/x_0</math>
:<math>\tilde x = x_0/x_1 = 1/x</math>
를 고르자. 그렇다면, 만약 <math>\operatorname{char}K \ne 2</math>인 경우, <math>f</math>는 이 두 아핀 [[열린집합]]에서 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\phi \colon K[x] \to K[x,y]/(y^2 - P(x))</math>
:<math>\tilde\phi \colon K[\tilde x] \to K[\tilde x,\tilde y] / (\tilde y^2 - \tilde P(\tilde x))</math>
:<math>\tilde P(\tilde x) = \tilde x^{2g+2}P(1/\tilde x)</math>
:<math>P(x) = x^{2g+2}\tilde P(1/x)</math>
:<math>P \ne 0</math>
:<math>\deg P \in \{2g+1,2g+2\}</math>
이 경우 <math>C</math>를 구성하는 두 아핀 [[열린집합]]은 다음과 같이 붙여진다.
:<math>y = x^{g+1}\tilde y</math>
:<math>\tilde y= \tilde x^{g+1}y</math>
즉, 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}
\displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[x,y]}{(y^2-P(x))} & \supset & 
\displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[x,y]}{(y^2-P(x))} \setminus \frac{\operatorname{Spec}K[x,y]}{(x,y^2-P(x))}
& \overset{y=x^{g+1}\tilde y}{\underset{\tilde x^{g+1}y=\tilde y}\cong} &
\displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[\tilde x,\tilde y]}{(\tilde y^2-\tilde P(\tilde x))} \setminus \frac{\operatorname{Spec}K[\tilde x,\tilde y]}{(\tilde x,\tilde y^2-\tilde P(\tilde x))}
& \subset & 
\displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[\tilde x,\tilde y]}{(\tilde y^2-\tilde P(\tilde x))}\\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\
\operatorname{Spec}K[x] & \supset & \operatorname{Spec}K[x] \setminus \displaystyle\operatorname{Spec}\frac{K[x]}{(x)} & \underset{x=1/\tilde x}{\overset{1/x=\tilde x}\cong} & \operatorname{Spec}K[\tilde x] \setminus \displaystyle\operatorname{Spec}\frac{K[\tilde x]}{(\tilde x)} & \subset & \operatorname{Spec}[\tilde x]
\end{matrix}</math>

표수가 2인 경우, <math>f</math>는 이 두 아핀 [[열린집합]]에서 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\phi \colon K[x] \to K[x,y]/(y^2 - Q(x)y - P(x))</math>
:<math>\tilde\phi \colon K[\tilde x] \to K[\tilde x,\tilde y] / (\tilde y^2 - \tilde Q(\tilde x)\tilde y - \tilde P(\tilde x))</math>
:<math>\tilde P(\tilde x) = \tilde x^{2g+2}P(1/\tilde x)</math>
:<math>P(x) = x^{2g+2}\tilde P(1/x)</math>
:<math>\tilde Q(\tilde x) = \tilde x^{g+1}Q(1/\tilde x)</math>
:<math>Q(x) = x^{g+1}\tilde Q(1/x)</math>
:<math>\{P,Q\} \ne \{0\}</math>
:<math>\max\{\deg P, 2\deg Q\} \in \{2g+1,2g+2\}</math>
이 경우 <math>C</math>를 구성하는 두 아핀 [[열린집합]]은 다음과 같이 붙여진다.
:<math>y = x^{g+1}\tilde y</math>
:<math>\tilde y= \tilde x^{g+1}y</math>
즉, 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}
\displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[x,y]}{(y^2-Q(x)y-P(x))} & \supset & 
\displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[x,y]}{(y^2-Q(x)y-P(x))} \setminus \frac{\operatorname{Spec}K[x,y]}{(x,y^2-Q(x)y-P(x))}
& \overset{y=x^{g+1}\tilde y}{\underset{\tilde x^{g+1}y=\tilde y}\cong} &
\displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[\tilde x,\tilde y]}{(\tilde y^2-\tilde Q(\tilde x)\tilde y-\tilde Q(\tilde x)\tilde y-\tilde P(\tilde x))} \setminus \frac{\operatorname{Spec}K[\tilde x,\tilde y]}{(\tilde x,\tilde y^2-\tilde Q(\tilde x)\tilde y-\tilde P(\tilde x))}
& \subset & 
\displaystyle\frac{\operatorname{Spec}K[\tilde x,\tilde y]}{(\tilde y^2-\tilde Q(\tilde x)\tilde y-\tilde P(\tilde x))}\\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\
\operatorname{Spec}K[x] & \supset & \operatorname{Spec}K[x] \setminus \displaystyle\operatorname{Spec}\frac{K[x]}{(x)} & \underset{x=1/\tilde x}{\overset{1/x=\tilde x}\cong} & \operatorname{Spec}K[\tilde x] \setminus \displaystyle\operatorname{Spec}\frac{K[\tilde x]}{(\tilde x)} & \subset & \operatorname{Spec}[\tilde x]
\end{matrix}</math>
표수가 2가 아닌 경우, 항상
:<math>y \mapsto y + Q(x)/2</math>
를 통해 <math>Q = \tilde Q = 0</math>으로 놓을 수 있다.

이 경우, 다음과 같은 변환을 하더라도 이로서 정의되는 초타원 곡선은 동형이다.
:<math>\operatorname{char}K\ne 2</math>: <math>P \mapsto \lambda^2 P\qquad(\lambda\in K^\times)</math>
:<math>\operatorname{char}K=2</math>: <math>(P,Q) \mapsto (\lambda^2P,\lambda Q)</math>, <math>(P,Q)\mapsto (P+f^2+Qf,Q)\qquad(f\in K[x],\;\deg f \le g+1)</math>

즉, 이 경우 [[가중 사영 공간]]
:<math>\mathbb P_K(1,g+1,1) = \mathbb P^1_K[s,t,u]</math>
속에서 부분 대수다양체
:<math>t^2 = Q(u/s)s^{g+1}t + P(u/s)s^{2g+2}</math>
를 이룬다. 이 경우 <math>f</math>는
:<math>C \to \mathbb P^1_K = \operatorname{Proj}K[s,u]</math>
:<math>[s:t:u] \mapsto [s:u]</math>
이다.

=== 분지점 ===
[[체의 표수|표주]]가 2가 아닌 [[대수적으로 닫힌 체]]인 경우, 이러한 사상 <math>C</math>는 짝수 개의 [[분지점]]을 갖는다. (분지점은 <math>\mathbb P^1_K</math>의 닫힌 점 <math>x\in \mathbb P^1_K</math> 가운데, 올 <math>f^{-1}(x)</math>이 하나의 점만으로 구성된 경우이다. 분지점이 아니라면, <math>f^{-1}(x)</math>는 항상 두 개의 점으로 구성된다.)
표수가 2가 아닌 [[대수적으로 닫힌 체]]의 경우, 분지점은 <math>P</math>의 [[사영 공간]]에서의 근이다. 즉,
* <math>\deg P = 2g+2</math>라면, 분지점은 <math>P</math>의 <math>2g+2</math>개의 근이다.
* <math>\deg P = 2g+1</math>라면, 분지점은 <math>P</math>의 <math>2g+1</math>개의 근 및 <math>\infty</math>이다.
이는 [[가중 사영 공간]]에서 [[대합 (수학)|대합]]
:<math>[s,t,u] \mapsto [s,-t,u]</math>
의 [[고정점]]이다.

표수가 2인 [[대수적으로 닫힌 체]]의 경우, 분지점은 <math>Q</math>의 근이다. 이는 [[가중 사영 공간]]에서 [[대합 (수학)|대합]]
:<math>[s,t,u] \mapsto [s,t+Q(s/u)u^{g+1},u]</math>
의 [[고정점]]이다.

다음 조건이 주어졌다고 하자.
* 분지점의 수가 <math>r</math>라고 할 때, <math>|K| > r</math>이다.

이 경우, <math>\mathbb P^1_K \setminus\{\infty\} = \mathbb A^1_K = \operatorname{Spec}K[x]</math> 위에서 <math>f</math>는 다음과 같은 꼴이 된다.
:<math>y^2 = f(x) = \sum_{i=0}^d a_dx^d</math>
:<math>f \in K[x]</math>

=== 모듈러스 공간 ===
<math>K</math>가 표수가 2가 아닌 [[대수적으로 닫힌 체]]이며 종수가 <math>g\ge2</math>일 때, 초타원 곡선은 그 <math>2g+2</math>개의 분지점의 집합만으로 완전하게 결정된다. 즉, 그 [[모듈라이 공간]]은
:<math>\frac{\operatorname{Conf}_0(2g+2)}{\operatorname{Aut}(\mathbb P^1_K)}</math>
이다. 그 차원은
:<math>2g+2 - 3 = 2g-1</math>
이다.

보다 일반적으로, 표수가 2가 아닌 체에서, 초타원 곡선은 [[가중 사영 공간]]에서
:<math>y^2 = B(x,z)</math>
의 꼴로 표현되며, <math>B(x,z)</math>는 (종수 <math>g</math>의 경우) <math>2g+2</math>차 2변수 형식({{llang|en|binary form}})이다. 따라서 그 분류는 2변수 형식의 분류로 귀결된다.

== 각주 ==
{{각주}}
 
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hyper-elliptic curve}}
* {{웹 인용|url=http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/teaching/ArithHypKurven-SS2014/Skript-ArithHypCurves-pub-screen.pdf | 제목=Arithmetic of hyperelliptic curves | 성=Stoll | 이름=Michael|날짜=2014|언어=en}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:대수 곡선]]