초켈러 다양체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''초켈러 다양체'''(超Kähler多樣體, {{llang|en|hyper-Kähler manifold}})는 그 [[접공간]]이 [[사원수]]의 좌표를 가진 공간의 구조를 가지는 [[리만 다양체]]이다.<ref>{{저널 인용|이름=Nigel|성=Hitchin|저자링크=나이절 히친|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1991-1992__34__137_0|제목=Hyperkähler manifolds|저널=Séminaire N. Bourbaki|권=34|날짜=1991-11|호=748|쪽=137–166|mr=1206066 |zbl=0979.53051|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|doi=10.1007/s002220050280 |arxiv=alg-geom/9705025|이름=Daniel|성=Huybrechts|제목=Compact hyperkähler manifolds: basic results | 날짜=1998 | 언어=en}}</ref>

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>이 주어졌을 때, [[접다발]]의 대수
:<math>\operatorname{End}(\mathrm TM) = \Omega^1(M;\mathrm TM)</math>
를 생각하자. 실수체 위의 [[결합 대수]]의 준동형
:<math>\mathcal J\colon\mathbb H \to \operatorname{End}(\mathrm TM)</math>
이 주어졌다고 하자. 만약 절댓값 1의 순허수 사원수 <math>q\in \mathbb H</math>, <math>\bar q=-q=q^{-1}</math>에 대하여 <math>\mathcal J(q)</math>가 항상 [[복소구조]]라면, <math>(M,\mathcal J)</math>를 '''초복소다양체'''({{llang|en|hypercomplex manifold}})라고 한다. 즉, 세 [[복소구조]]
:<math>\mathcal J(\mathrm i) = I</math>
:<math>\mathcal J(\mathrm j) = J</math>
:<math>\mathcal J(\mathrm k) = K</math>
가 주어졌을 때,
:<math>I^2 = J^2 = K^2 = -1</math>
:<math>IJ = -JI = K</math>
:<math>JK = -KJ = I</math>
:<math>KI = -IK = J</math>
이 성립한다. 즉, 초복소다양체 위에는 [[복소구조]]의 [[모듈라이 공간]] <math>\mathbb S^2 = \{q\in\mathbb H\colon \bar q=-q=q^{-1}\}</math>이 존재한다.

[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 초복소구조 <math>\mathcal J</math> 가운데, 만약 <math>q\in \operatorname{Im}\mathbb H</math>, <math>\|q\|=1</math>, <math>\bar q=-q</math>에 대하여 <math>\mathcal J(q)</math>가 항상 [[켈러 구조]]라면, <math>\mathcal J</math>를 '''초켈러 구조'''라고 하며, 초켈러 구조를 갖춘 리만 다양체를 '''초켈러 다양체'''라고 한다. 즉, 초켈러 다양체 위에는 [[켈러 구조]]의 [[모듈라이 공간]] <math>\mathbb S^2 = \{q\in\mathbb H\colon \bar q=-q=q^{-1}\}</math>이 존재한다. 즉, 지표로 쓰면, [[리만 다양체]] <math>(M,g_{\mu\nu})</math> 위의 '''초켈러 구조'''는 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.<ref name="AP"/>{{rp|§2.1}}
* 세 개의 (1,1)차 텐서장 <math>J^{\mu i}_\nu</math> (<math>i=1,2,3</math>은 <math>\mathfrak{su}(2)</math> 좌표)
이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시킨다.
* <math>J^{\mu i}_\nu J^{\nu j}_\rho=-\delta^{ij}\delta^\mu_\rho-\epsilon^{ij}{}_kJ^{\mu k}_\rho</math> ([[사원수]] 대수 및 [[개복소구조]])
* <math>g_{\mu\nu}J^{\mu i}_{\mu'}=-g_{\mu'\nu'}J^{\nu'i}_\nu</math> (에르미트성)
* <math>\nabla_\mu J^{\nu i}_\rho=0</math> ([[복소구조]]의 적분가능성)
이들 데이터로부터 세 개의 [[심플렉틱 구조]]
:<math>\omega_{\mu\nu}^i=J^{\mu'i}_\mu g_{\mu'\nu}</math>
를 정의할 수 있다.

== 성질 ==
초켈러 다양체의 (실수) 차원은 항상 4의 배수이다. 이는 [[켈러 다양체]]의 실수 차원이 항상 2의 배수인 것과 마찬가지다.

=== 위상수학적 성질 ===
다양체가 초켈러 다양체의 구조를 가지려면, 위상수학적으로 특수한 성질들을 만족시켜야 한다.<ref>{{저널 인용|제목=Cohomology of compact hyperkähler manifolds and its applications|이름=Mikhail|성=Verbitsky|doi=10.1007/BF02247112|저널=Geometric and Functional Analysis|날짜=1996-07|권=6|호=4|쪽=601–611|arxiv=alg-geom/9511009|issn=1016-443X|zbl=0861.53069|언어=en}}</ref>

<math>4n</math>차원 콤팩트 초켈러 다양체의 [[베티 수]] <math>b_k</math> 및 [[오일러 지표]] <math>\chi(M)</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="Kurnosov">{{저널 인용|성=Kurnosov|이름=Nikon|arxiv=1401.0510|제목=The second Betti number of hyperkähler manifolds|날짜=2014|언어=en}}</ref>
:<math>\sum_{k=0}^{4n}(-1)^k(6k^2-2n(12n+1))b_i=0</math>
:<math>b_{2k}\ge\binom{k+2}2\qquad(k\le n)</math>
:<math>4\mid b_{2k+1}\forall k</math>
:<math>12\mid n\chi(M)</math>

8차원 콤팩트 초켈러 다양체의 가능한 베티 수에 대해서는 많은 정보가 알려져 있다.<ref>{{저널 인용|url=http://bogomolov-lab.ru/G-sem/Guan-Betti-Numbers.pdf|제목=On the Betti numbers of irreducible compact hyperkähler manifolds of complex dimension four|이름=Daniel|성=Guan|저널=Mathematical Research Letters|권=8|쪽=663–669|날짜=2001|언어=en}}</ref>

=== 호지 이론적 성질 ===
<math>4n</math>차원 콤팩트 초켈러 다양체의 [[호지 수]] <math>h^{p,q}</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="Kurnosov"/>
:<math>h^{p,q}=h^{q,p}=h^{2n-p,2n-q}=h^{2n-q,2n-p}=h^{2n-p,q}=h^{2n-q,p}\qquad\forall 0\le p,q\le 2n</math>
:<math>h^{p,q}\ge h^{p+1,q-1}\forall p\ge q</math>

=== 리만 기하학적 성질 ===
<math>4n</math>차원 초켈러 다양체의 [[홀로노미]]는 <math>\operatorname{USp}(4n)</math>의 부분군이다. 이에 따라, 모든 초켈러 다양체는 [[칼라비-야우 다양체]]이자 [[사원수 켈러 다양체]]({{lang|en|quaternion-Kähler manifold}})이다. ([[칼라비-야우 다양체]]는 홀로노미가 <math>\operatorname{SU}(n)</math>의 부분군인 경우고, 사원수 켈러 다양체는 홀로노미가 <math>\operatorname{USp}(4n)\times\operatorname{USp}(4)</math>인 경우다. <math>\operatorname{USp}(4n)\subset\operatorname{SU}(4n)</math>이다.)

=== 복소기하학적 성질 ===
초켈러 다양체 <math>(M,\omega_1,\omega_2,\omega_3)</math>의 임의의 한 [[심플렉틱 형식]] <math>\omega_1</math>을 골라, [[켈러 다양체]]로 여긴다고 하자. 그렇다면, 2차 [[복소수 미분 형식]]
:<math>\omega_{\mathbb C} = \omega_2 + \mathrm i\omega_3 \in \Omega^{2,0}(M)</math>
은 [[정칙 미분 형식]]이며, [[켈러 다양체]] <math>(M,\omega_1)</math> 위의 [[심플렉틱 형식]]을 이룬다. 이를 '''정칙 심플렉틱 형식'''({{llang|en|holomorphic symplectic form}})이라고 한다. 즉, 이 경우 두 심플렉틱 형식
:<math>\omega_1 = \omega_{\mathbb R} \in \Omega^{1,1}(M)</math>
:<math>\omega_{\mathbb C} \in \Omega^{2,0}(M)</math>
이 존재한다.

반대로, '''칼라비-야우 정리'''({{llang|en|Calabi–Yau theorem}})에 따라, 정칙 심플렉틱 형식을 갖춘 콤팩트 [[켈러 다양체]]는 항상 초켈러 다양체를 이룬다. (콤팩트 조건을 생략할 수 없다.)

== 응용 ==
초켈러 다양체는 8개의 초전하(4차원에서 <math>\mathcal N=2</math>)를 가진 [[초대칭 게이지 이론]]과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 중력이 없을 경우, 16개의 초전하를 가진 [[비선형 시그마 모형]]의 모듈러스 공간은 초켈러 다양체를 이룬다.<ref name="AP">{{저널 인용|이름=I.|성=Antoniadis|공저자=B. Pioline|제목=Higgs Branch, Hyper-Kähler quotient and duality in SUSY N=2 Yang–Mills theories|arxiv=hep-th/9607058|doi= 10.1142/S0217751X97002620|bibcode=1997IJMPA..12.4907A|저널=International Journal of Modern Physics A|issn= 0217-751X|권=12|호=27|날짜=1997-10-30|쪽=4907–4931|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Hyperkähler metrics and supersymmetry|이름=Nigel J.|성=Hitchin|저자링크=나이절 히친|공저자=A. Karlhede, U. Lindström, M. Roček|mr=0877637|zbl=0612.53043|저널=Communications in Mathematical Physics|권=108|호=4|날짜=1987-12|쪽=535–589|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104116624|언어=en|bibcode=1987CMaPh.108..535H|doi=10.1007/BF01214418|issn=0010-3616}}</ref> 마찬가지로, 초켈러 다양체 위의 2차원 [[시그마 모형]]은 [[2차원 𝒩=4 초등각 장론|<math>\mathcal N=(4,4)</math> 초등각 장론]]을 이룬다.

== 역사 ==
[[에우제니오 칼라비]]가 1979년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=E.|성=Calabi|저자링크=에우제니오 칼라비|제목=Métriques kähleriennes et fibrés holomorphes|zbl=0431.53056|mr=543218|저널=Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure (quatrième série)|권=12|호=2|쪽=269–294|날짜=1979|issn=0012-9593|url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1979_4_12_2_269_0|언어=fr}}</ref> 이 논문에서 칼라비는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|인용구=
우리는 [[홀로노미]] 군이 콤팩트 군 <math>\operatorname{Sp}(n)</math> (<math>n=1,2,\dotsc</math>)인 켈러 계량을 발견한다. 이는 ‘사원수 접공간 구조’라고 불리는 구조의 최초의 알려진 예인 것으로 보인다. 그러나 우리는 ‘초켈러 구조’라는 용어를 선호한다.<br>
{{lang|fr|nous allons trouver […] des métriques kàhlériennes […] dont le groupe d’holonomie est le groupe compact <math>\operatorname{Sp}(n)</math> (<math>n=1,2,\dotsc</math>) […]; ce sont apparemment les premiers exemples connus de telles structures, qui ont été appelées « structures tangentielles quaternioniennes », mais pour lesquelles nous préférons l’appellation de « structures hyperkählériennes » […]}}}}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=The construction of ALE spaces as hyper-Kähler quotients|이름=P. B.|성=Kronheimer|저자링크=피터 크론하이머|저널=Journal of Differential Geometry|권=29|호=3|날짜=1989|쪽=665–683|url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214443066|mr=992334|zbl=0671.53045|issn=0022-040X|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Riemannian Holonomy and Algebraic Geometry|이름=Arnaud|성=Beauville|arxiv=math/9902110|bibcode=1999math......2110B|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Hyperkähler manifolds and sheaves|날짜=2011|장url=http://www.math.uni-bonn.de/people/huybrech/ICM.pdf|이름=Daniel|성=Huybrechts|제목=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Hyderabad, August 19–27, 2010. Volume II: Invited Lectures|편집자=Rajendra Bhatia|doi=10.1142/9789814324359_0059|쪽=450–460|출판사=World Scientific|isbn=978-981-4324-30-4 |zbl=1226.14027|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Hyper-KaehlerManifold|title=Hyper-Kähler manifold}}
* {{nlab|id=hyperkähler manifold|title=Hyperkähler manifold}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/206491/injective-homomorphism-induced-by-cup-product-in-cohomology|제목=Injective homomorphism induced by cup product in cohomology|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/46752/is-the-cotangent-bundle-to-a-kahler-manifold-hyperkahler|제목=Is the cotangent bundle to a Kahler manifold hyperkahler?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[K3 곡면]]
* [[사원수 켈러 다양체]]
* [[홀로노미]]
* [[사원수]]
* [[초대칭 게이지 이론]]

[[분류:미분기하학]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:사원수]]