초직관 논리 문서 원본 보기

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[[논리학]]에서 '''초직관 논리'''(超直觀論理, {{llang|en|superintuitionistic logic}}) 또는 '''중간 논리'''(中間論理, {{llang|en|intermediate logic}})는 [[직관 논리]]보다는 더 강하지만, [[고전 논리]]보다 더 약한 논리 체계이다.

== 정의 ==
'''초직관 논리'''의 [[통사론]]적 체계 L은 다음의 조건을 만족하는 정식들의 [[집합]]으로 구성된다.
# [[직관 논리]]의 모든 [[공리]]들은 L에 속한다.
# ([[전건 긍정의 형식]]에 대해 닫힘) P와 Q가 정식이며 P와 P→Q가 L에 속한다면, Q도 L에 속한다.
# (치환에 대해 닫힘) [[명제]] [[변수 (수학)|변수]] p, q, r, ...에 대하여 F(p, q, r, ...)가 L에 속하는 정식이고 G<sub>1</sub>, G<sub>2</sub>, G<sub>3</sub>, ...가 임의의 정식이라면, F(G<sub>1</sub>, G<sub>2</sub>, G<sub>3</sub>, ...)도 L에 속하는 정식이다.

== 예 ==
초직관 논리는 [[직관 논리]]에서 특정한 공리를 추가하여 정의할 수 있다. [[명제 논리]]인 초직관 논리의 예는 다음을 들 수 있다.
* [[직관 논리]]('''IPC'''): '''IPC'''
* 고전 논리학('''CPC'''): '''IPC''' + p ∨ ¬p = '''IPC''' + ¬¬p → p = '''IPC''' + ((p → q) → p) → p (마지막 것은 [[퍼스의 법칙]])
* [[배중률|약한 배중률]] 논리학(얀코프 논리학 또는 [[오거스터스 드모르간|드 모르간]] 논리학<ref>Constructive Logic and the Medvedev Lattice, Sebastiaan A. Terwijn,Notre Dame J. Formal Logic Volume 47, Number 1 (2006), p. 73-82.</ref>, '''KC'''): '''IPC''' + ¬p ∨ ¬¬p
* [[쿠르트 괴델|괴델]]-[[마이클 더밋|더밋]] 논리학('''LC''', '''G'''): '''IPC''' + (p → q) ∨ (q → p)
* [[게오르크 크라이젤|크라이젤]]-[[힐러리 퍼트넘|퍼트넘]] 논리학('''KP'''): '''IPC''' + (¬p → (q ∨ r)) → ((¬p → q) ∨ (¬p → r))
* [[데이너 스콧|스콧]] 논리학 ('''SL'''): '''IPC''' + ((¬¬p → p) → (p ∨ ¬p)) → (¬¬p ∨ ¬p)
* 스메타니치 논리학('''SmL'''): '''IPC''' + (¬q → p) → (((p → q) → p) → p)
* [[유계]] [[기수 (수학)|기수]] 논리학 ('''BC'''<sub>''n''</sub>): <math>\textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j<i}p_j\to p_i\bigr)</math>
* 유계 폭(width) 논리학 또는 유계 [[반사슬]] 논리학('''BW'''<sub>''n''</sub>, '''BA'''<sub>''n''</sub>): <math>\textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j\ne i}p_j\to p_i\bigr)</math>
* 유계 깊이(depth) 논리학('''BD'''<sub>''n''</sub>): {{nowrap|'''IPC''' + ''p<sub>n</sub>'' ∨ (''p<sub>n</sub>'' → (''p''<sub>''n''−1</sub> ∨ (''p''<sub>''n''−1</sub> → ... → (''p''<sub>2</sub> ∨ (''p''<sub>2</sub> → (''p''<sub>1</sub> ∨ ¬''p''<sub>1</sub>)))...)))}}
* 유계 최대폭(top width) 논리학 ('''BTW'''<sub>''n''</sub>): <math>\textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j<i}p_j\to\neg\neg p_i\bigr)</math>
* 유계 분지(branching) 논리학 ('''T'''<sub>''n''</sub>, '''BB'''<sub>''n''</sub>): <math>\textstyle\mathbf{IPC}+\bigwedge_{i=0}^n\bigl(\bigl(p_i\to\bigvee_{j\ne i}p_j\bigr)\to\bigvee_{j\ne i}p_j\bigr)\to\bigvee_{i=0}^np_i</math>
* 괴델 n치 논리학 ('''G'''<sub>''n''</sub>): '''LC''' + '''BC'''<sub>''n''−1</sub> = '''LC''' + '''BD'''<sub>''n''−1</sub>

이러한 초직관 논리들은 직관 논리를 [[최소 원소]]로, 고전 명제 논리를 [[최대 원소]]로 하는 [[격자 (순서론)|유계 완비 격자]]를 형성한다. 또한 스메타니치 논리학('''SmL''')은 이런 초직관주의 논리학들의 [[격자 (순서론)|격자]]에서 유일한 [[원자 (순서론)|공원자]](coatom)이다.

== 의미론 ==
=== 헤이팅 대수 의미론 ===
초직관 논리의 명제들의 [[린덴바움-타르스키 대수]]는 [[헤이팅 대수]]를 이루며, 반대로 주어진 헤이팅 대수에 대하여, 이를 린덴바움-타르스키 대수로 하는 초직관 논리 이론을 정의할 수 있다. 따라서, 주어진 초직관 논리에 대하여, 적절한 성질을 만족시키는 헤이팅 대수를 사용하여 의미론을 정의할 수 있다.

만약 이 헤이팅 대수가 [[불 대수]]라면 이렇게 얻어지는 논리는 고전 논리이고, 반면 이 헤이팅 대수가 자유 헤이팅 대수라면 이렇게 얻어지는 논리는 [[직관 논리]]이다.

=== 양상 논리와의 관계 ===
{{본문|양상 동반원}}

초직관 논리는 [[양상 논리]]로 다음과 같이 번역할 수 있다. 이를 '''괴델-타르스키 번역'''(Gödel–Tarski translation)이라 한다.

* <math> T(p_n) = \Box p_n </math>
* <math> T(\lnot A) = \Box \lnot T(A) </math>
* <math> T(A \land B) = T(A) \land T(B) </math>
* <math> T(A \lor B) = T(A) \lor T(B) </math>
* <math> T(A \to B) = \Box (T(A) \to T(B)) </math>

M을 어떤 양상 논리 체계라 하자, 그러면, 이상의 번역에 의해,

* C(M) := {A | T(A) ∈ M}

은 어떤 초직관 논리 체계가 되는데, 이때 M을 C(M)의 [[양상 동반원]](modal companion)이라 한다. 몇 가지 예로,

* '''IPC''' = C('''S4''')
* '''KC''' = C('''S4.2''')
* '''LC''' = C('''S4.3''')
* '''CPC''' = C('''S5''')

등이 있다. 이 대응은 유일하지 않을 수 있다. 즉, 어떤 초직관 논리에 대해 여러 양상 동반원이 있을 수 있다.

=== 크립키 모형 ===
[[양상 논리]]와 [[직관 논리]]와 마찬가지로, 초직관 명제 논리의 의미론 역시 크립키 모형으로 정의할 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|이름=Toshio|성=Umezawa|제목=On logics intermediate between intuitionistic and classical predicate logic|저널=Journal of Symbolic Logic|권=24|호=2|쪽=141–153|날짜=1959-06|jstor=2964756|doi=10.2307/2964756|mr=115906|zbl=0143.01004|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=Tsutomu|성=Hosoi|공저자=Hiroakira Ono|제목=Intermediate propositional logics (a survey)|저널=Journal of Tsuda College|권=5|날짜=1973|쪽=67–82|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=A study of intermediate predicate logics|이름=Hiroakira|성=Ono|url=https://www.ems-ph.org/journals/show_pdf.php?issn=0034-5318&vol=8&iss=3&rank=10|저널=Publications of the Research Institute of Mathematical Sciences of Kyoto University|권=8|날짜=1972|쪽=619–649|zbl=0281.02033|언어=en}}
* Alexander Chagrov, Michael Zakharyaschev. ''Modal Logic''. Oxford University Press, 1997.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Intermediate logic}}
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/logic-intuitionistic/|제목=Intuitionistic logic|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|날짜=2014-05-23|성=Moschovakis|이름=Joan|언어=en}}

{{논리학}}

[[분류:수리논리학]]
[[분류:비고전 논리]]
[[분류:명제 논리]]