초일관 논리 문서 원본 보기

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'''초일관 논리'''(超一貫論里, {{llang|en|Paraconsistent Logic}}) 또는 '''모순허용논리'''(矛盾許容論里, {{llang|en|inconsistency-tolerant logic}})란, [[모순]]을 특별한 방법으로 다루는 [[논리학|논리 체계]]이다. 또는 모순에 대하여 내성 있는 논리 전반을 가리키는 말이기도 하다.

초일관 논리 체계의 일반적인 특징은 [[배중률]]은 허용하면서도 참과 거짓의 대립, 즉 이가(二價) 대립 체계는 잘 허용하지 않는다는 점이다. 곧 [[다치 논리]]와 연관성이 있다.

모순허용논리는 20세기 초에도 이미 연구되었으며, 사실 원시적인 형태로는 [[아리스토텔레스]]까지 거슬러 올라간다. 하지만, 초일관(paraconsistent)이라는 용어는 1976년 페루인 철학자 프란시스코 미호 케사다(Francisco Miró Quesada)가 최초로 쓴 것이며, 이때쯤부터 본격적인 연구가 시작되었다 할 수 있다.

== 정의 ==
[[직관 논리|직관논리]]도 포함하는 [[고전논리]]에서는 모순으로부터 온갖 것을 이끌어낼 수 있다. 이 기묘한 특징을 '''폭발률'''(爆發律)이라 부르며, 형식적으로는 다음과 같이 나타난다:<center class="">
<math>A, \neg A \vdash B</math>
</center>이곳에서 <math>\vdash</math>는 [[논리적 귀결]] 관계를 의미한다. 따라서 체계에 하나의 모순이 존재한 경우 그 체계는 자명하다. 즉, 온갖 글이 증명된 명제가 된다. 모순허용논리에서는 이 폭발률을 채용하지 않는다. 결과적으로 모순허용논리는 다른 논리체계와는 다르며, 모순을 포함하는 "자명하지 않은" 체계를 다룰 수 있다.

== 모순허용논리는 항상 고전논리보다 약하다 ==
모순허용논리는 다른 논리체계보다 약하다고 여겨진다. 이것은 즉, 모순허용논리에 의한 추론능력이 약하다는 것이다. 모순허용논리에서는 통상의 논리체계에서 거짓으로 여겨지는 것을 참으로 볼 가능성이 있지만, 문제는 그것이 아니라 모순허용논리가 고전논리보다 확장된 형태가 아니며, 고전논리가 할 수 있는 모든 것을 다룰 수 있다고는 말할 수 없다는 점이다. 그런 의미로, 모순허용논리는 고전논리보다도 '신중'하며 '보수적'이라고 할 수 있다.

== 목적 ==
모순허용논리가 생겨난 동기는, 모순을 포함하는 [[정보]]로부터 추론을 제어당한 수법을 가능케 해야 한다는 사고방식이었다. 폭발률은 이것을 방해하는 것이기 때문에, 모순허용논리에서는 배제되었다. 다른 논리에서 모순을 포함한 체계는 늘 하나밖에 없으며, 그 체계에는 온갖 명제가 정리(定理)로서 포함된다. 모순허용논리에서는 모순을 포함한 체계를 구별할 수 있으며, 모순된 체계에서 추론할 수 있다. 경우에 따라 모순된 체계를 모순되지 않은 체계로 수정하는 것도 가능하다. 또한, 대규모 [[소프트웨어]] 시스템 따위에서는 모순되지 않은 것을 보증할 수는 없다.

일부 철학자는 좀 더 적극적으로 몇 가지 모순을 「참」으로 여기고, 모순을 포함하는 체계가 반드시 올바르지 않은 셈은 아니라는 입장을 취한다. 이러한 관점을 [[양진주의]](Dialetheism)라고 부르며,<ref>(무모순율에 대한 연구-기초학문자료센터)https://www.krm.or.kr/krmts/search/detailview/research.html?dbGubun=SD&category=Research&m201_id=10036267 {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20200623213020/https://www.krm.or.kr/krmts/search/detailview/research.html?dbGubun=SD&category=Research&m201_id=10036267}}</ref> [[거짓말쟁이의 역설]]이나 [[러셀의 역설]]과 같은 [[역설]]을 액면대로 받아들이도록 하는 사고방식이 그 바탕에 있다. 단, 모순허용논리의 신봉자가 모두 그렇게 생각하고 있다는 것은 아니다. 한편으로, 양진주의(Dialetheism)의 입장에서는 모순허용논리는 필수이며, 그러하지 아니하면 모든 것이 참이라고 인정하지 않을 수 없게 되기 때문이다.

== 트레이드오프 ==
모순허용논리에는 문제도 있다. 폭발률을 배제했기 때문에, 다음 세 개의 아주 기본적인 원리 가운데 적어도 하나를 채용할 수 없게 된다:
{| class="wikitable"
|[[명제논리|논리합의 도입]]
|<math>A \vdash A \lor B</math>
|-
|[[선언삼단논법]]<br />
|<math>A \lor B, \neg A \vdash B</math>
|-
|[[추이적 관계|추의관계]] 또는 [[절단제거원리|절단규칙]] 
|<math> \Gamma \vdash A; A \vdash B \Rightarrow \Gamma \vdash B</math>
|}
이들 중 어느것을 배제해야하는가가 연구되어, 현재에는 선언적 삼단논법(選言的三段論法, Disjunctive syllogism)을 배제하는 것이 일반적이다. 양진주의(Dialetheism)의 입장에서는, 선언적 삼단논법이 올바르지 않음은 정당하다. ''A''와 ¬''A''가 함께 참이고, ''B''가 거짓이라고 하자. ''A'' v ''B''는 ''A''가 참이기 때문에 전체 역시 참이다. 따라서, 전제 ''A'' v ''B''와 ¬''A''는 함께 참이지만, 결론이 되는 ''B''는 참이 아니다.

마찬가지로 다음 세 가지 원리도 폭발률에 의존하고 있기 때문에, 적어도 하나를 배제해야만 한다.

{| class="wikitable"
|[[귀류법]]
|<math>A \to (B \wedge \neg B) \vdash \neg A</math>
|-
|[[구조규칙]]
|<math>A \vdash B \to A</math>
|-
|[[이중부정의 배제]]
|<math>\neg \neg A \vdash A</math>
|}

「귀류법」과 「구조규칙」의 배제가 시도되어 왔다. 「이중부정의 배제」의 배제도 이루어져 있으나, 그것은 별개의 이유에서이다. 이중부정의 배제만을 잃어도, 모순에서 모든 부정명제를 증명 가능케 한다.

== 단순한 모순허용논리 ==
가장 유명한 모순허용논리는 LP(Logic of Paradox)라고 하는 단순한 체계이다. [[아르헨티나]]의 논리학자 F. G. Asenjo가 1966년에 제창하고, 그 뒤 Priest가 보편화했다.<ref>Priest (2002), p. 306.</ref>

LP의 의미론을 표현하는 방법으로서, 일반적으로는 함수의 평가로 여겨지는 바를 관계에서 치환하는 방법이 있다.<ref>LP는 일반적으로 세 값(참, 거짓, 또는 둘 다)을 취하는 [[다치논리]]라고도 불린다.</ref> [[이항관계]] ''V''는 [[논리식|정논리식]]과 [[진릿값]]을 관련짓는다. ''V''(''A'',1)는 ''A''가 참이라는 것을 의미하고, ''V''(''A'',0)는 ''A''가 거짓이라는 것을 나타낸다. 각 논리식에는 적어도 하나의 진릿값이 대응되나, 대응하는 진릿값은 반드시 하나일 필요는 없다. [[부정]]과 [[논리합]]의 의미는 다음과 같다:
* <math>V( \neg A,1) \Leftrightarrow V(A,0)</math>
* <math>V( \neg A,0) \Leftrightarrow V(A,1)</math>
* <math>V(A \lor B,1) \Leftrightarrow V(A,1) \ {\rm or} \ V(B,1)</math>
* <math>V(A \lor B,0) \Leftrightarrow V(A,0) \ {\rm and} \ V(B,0)</math>
다른 [[논리연산]]은 부정과 논리합의 조합으로 정의할 수 있다. 보다 비형식적으로 표현하면 다음과 같다:
* ''not A''는 ''A''가 거짓일 때에만 참이다.
* ''not A''는 ''A''가 참일 때에만 거짓이다.
* ''A or B''는, ''A''가 참이거나 ''B''가 참일 때에만 참이다.
* ''A or B''는, ''A''가 거짓이자 ''B''도 거짓일 때에만 거짓이다.
논리적 귀결관계의 의미론은 다음과 같다:
: Γ <math>\vDash</math> ''A''  Γ 의 모든 요소가 참일 때에만 ''A''가 참이다.
여기서, ''V''(''A'',1)와 ''V''(''A'',0)라는 관계가 있으며, ''V''(''B'',1)라는 관계가 없다고 한다. 이들의 관계에서 폭발률과 논리합에 의한 삼단논법의 [[반례]]는 쉽게 이끌어낼 수 있다. 하지만 그것은 동시에 LP의 [[논리포함|조건문]]을 위한 [[전건긍정]]에 대한 반례이기도 하다. 이 때문에, LP에서는 부정과 논리합이 조합으로는 정의할 수 없는 강한 조건결합자를 채용하는 일이 많다.<ref>이를테면  Priest (2002), §5를 참조.</ref>

LP는 대부분의 (보통 참인) 추론 패턴을 지니고 있으며, [[드 모르간의 법칙]], 부정/[[논리곱]]/부정합에 관한 [[자연연역]]이 성립한다. 또한, 놀랍게도 [[항진식]]은 LP에서도 일반적인 논리체계에서도 변함없다.<ref>Priest (2002), p. 310를 참조.</ref> LP와 고전논리의 다른 점은, [[추론]]이 참이 되는 범위이다. 각 논리식이 반드시 참이나 거짓의 값을 가진다는 조건에서 벗어난 모순허용논리를 FDE(First-Degree Entailment)라고 부른다. LP와는 달리 FDP에는 항진식이 없다.

LP는 수많은 모순허용논리의 하나에 지나지 않는다는 점을 주의해야 한다.<ref>다양한 모순허용논리는 Bremer (2005)나 Priest (2002)에 소개되어 있다.</ref> 비교적 단순한 예로서 이곳에 소개한 것에 지나지 않는다.

== 다른 논리학과의 관계 ==
모순허용논리의 중요한 체계로서 [[연관 논리]]가 있다. 논리는 이하의 조건을 만족할 때에만 「적절」(relevant)하다고 여긴다:

: ''A'' → ''B''가 정리(定理)일 때, ''A''와 ''B''는 하나의 비논리적 상항을 공유한다.

이 때문에, 연관논리에서는 ''p'' & ¬''p'' → ''q''를 정리로서 가질 수 없다. 또한, {''p'', ¬''p''}에서 ''q''를 이끌어내는 추론도 불가능하다.

연관논리와 [[다치논리]]는 겹치는 부분도 많이 있지만, 연관논리가 도무 다치논리라는 것은 아니다. 물론, 모든 다치논리가 모순허용논리라는 것도 아니다.

[[직관논리]]에서는 ''A'' ∨ ¬''A''를 거짓으로 할 가능성이 있지만, 모순허용논리에서는 ''A'' ∧ ¬''A''를 참으로 할 가능성이 있다. 이 점에서, 모순허용논리와 직관논리는 서로 [[쌍대]]로 보아야 한다고 여겨진다. 하지만, 직관논리는 특수한 논리체계이고, 모순허용논리는 다양한 체계를 내포하는 논리체계의 클래스이다. 따라서, 직관논리의 쌍대는 특정 모순허용논리의 체계이며, 쌍대직관논리(''dual-intuitionistic logic'') 또는 (역사적인 이유에서)''Brazilian logic''라고 불린다.<ref>Aoyama (2004)를 참조.</ref> 두 개의 논리체계의 쌍대성은 [[시퀀트 계산]]의 프레임워크로 알 수 있다. 직관논리에서는 다음 시퀀트를 도출해낼 수 없다.

: <math>\vdash A \lor \neg A</math>

그러나, 쌍대직관논리에서는 다음 시퀀트를 도출해낼 수 없다.

: <math>A \land \neg A \vdash</math>

마찬가지로, 직관논리에서는 다음 시퀀트를 도출해낼 수 없다.

: <math>\neg \neg A \vdash A</math>

한편, 쌍대직관논리에서는 다음 시퀀트를 도출해낼 수 없다.

: <math>A \vdash \neg \neg A</math>

쌍대직관논리에는 결합자 #가 있으며, 이는 직관적 함의의 쌍대이다. 대강 말하면, ''A'' # ''B''는「''A''이지만 ''B''가 아니다」(''A'' but not ''B'')라는 의미이다. 단, #는 [[진리함수]]가 아니다.

== 응용 ==
모순허용논리는 다양한 영역에서 모순을 다루는 수단으로 이용되어왔다.<ref name="See Bremer"> Bremer (2005) 및 Priest (2002)를 참조.</ref>
* [[의미론]]: [[거짓말쟁이의 역설]] 따위에 빠져들지 않는 진실의 형식적이자 단순한 설명수단으로서 모순허용논리가 제안되어왔다. 하지만, 그러한 체계에서는 [[커리의 역설]]도 방지할 필요가 있으나, 이 경우 부정을 사용할 수 없기 때문에 대처가 더욱 어렵다.
* [[집합론]] 등 수학의 기초: [[러셀의 역설]]이나 [[괴델의 불완전성 정리]]와의 관련으로 모순허용논리를 중시하는 입장도 있다.
* [[인식론]]: 모순되는 이론이나 가설로 추론하는 수단으로서, 혹은 이들을 개선하는 수단으로서 모순허용논리가 제안되어왔다.
* [[지식경영]]과 [[인공지능]]: 모순되는 정보를 다루는 수단으로서 모순허용논리가 일부 사용되어왔다.<ref>Bertossi et al. (2004)에 예가 있다.</ref>
* [[의무논리]]와 [[메타윤리학]]: 윤리적·규범적 모순을 다루는 수단으로서 모순허용논리가 제안되어왔다.

== 비판 ==
전술한 세 가지 원리(의 일부 혹은 모두)를 배제하지 않으면 성립하지 않는 모순허용논리에 대하여, 폭발률을 배제하는 것의 직관적 정당성보다도, 그 세 원리의 직관적 정당성이 낫다고 주장하는 철학자도 있다.

또한, [[데이비드 루이스]]는, 어느 명제와 그 부정이 함께 참이라고 보는 모순허용논리에 반대의 입장을 주장했다.<ref>Lewis (1982) 참조.</ref> 관련해서, 모순허용논리의 「부정」은 이른바 [[부정]]이 아니라, [[아리스토텔레스]]가 일컫는 소반대(小反對)에 상응한다는 주장도 있다.<ref>Slater (1995), Béziau (2000)를 참조.</ref>

== 연구자 ==
모순허용논리의 주요 연구자를 이하에 열거한다:
* Alan Anderson ([[미국]],  1925년 - 1973년) 모순허용논리의 일종이기도 한 [[연관논리]]를 구축한 연구인 중 한 명.
* F. G. Asenjo ([[아르헨티나]])
* Diderik Batens ([[벨기에]])
* Nuel Belnap (미국, 1930년 - ) Anderson과 함께 연관논리를 구축.
* Jean-Yves Béziau ([[프랑스]]/[[스위스]], 1965년 - )
* Ross Brady ([[오스트레일리아]])
* Bryson Brown ([[캐나다]])
* Walter Carnielli ([[브라질]])
* Newton da Costa (브라질, 1929년 - ) 모순허용논리의 형식체계를 구축한 초기의 연구자중 한 명.
* Itala M. L. D'Ottaviano (브라질)
* J. Michael Dunn (미국) 연관논리의 연구자
* Stanisław Jaśkowski ([[폴란드]]) 모순허용논리의 형식체계를 구축한 초기의 연구자중 한 명.
* R. E. Jennings (캐나다)
* [[데이비드 루이스 (철학자)|데이비드 루이스]] (미국, 1941년 - 2001년) 모순허용논리에 대한 비평가
* [[얀 우카시에비치]] (폴란드, 1878년 - 1956년)
* Robert K. Meyer (미국/오스트레일리아)
* Chris Mortensen (오스트레일리아) 모순허용수학
* Val Plumwood (Val Routley라고도, 오스트레일리아, 1939년 - ) 
* Graham Priest (오스트레일리아) 모순허용논리에 대한 현재의 세계적 일인자
* Francisco Miró Quesada ([[페루]]) 모순허용논리(''paraconsistent logic'')라는 용어를 만들어냈다.
* Peter Schotch (캐나다)
* B. H. Slater (오스트레일리아) 모순허용논리에 대한 비평가
* Richard Sylvan (Richard Routley라고도, [[뉴질랜드]]/오스트레일리아, 1935년 - 1996년) 
* Nicolai A. Vasiliev ([[러시아]], 1880년 - 1940년)

== 같이 보기 ==
* [[형식논리학]]
* [[직관 논리]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=LK, LJ, Dual Intuitionistic Logic, and Quantum Logic|저널=Notre Dame Journal of Formal Logic|성=Aoyama, Hiroshi|날짜=2004년|권=45|호=4|쪽=193&ndash;213}}
* {{서적 인용|제목=Inconsistency Tolerance|성=Bertossi|이름=Leopoldo et al., eds.|날짜=2004년|출판사=Springer|위치=Berlin|id=ISBN 3-540-24260-0}}  
* {{서적 인용|제목=Frontiers of Paraconsistent Logic|성=Béziau|이름=Jean-Yves|날짜=2000년|편집자-성=In D. Batens et al. (eds.)|출판사=Research Studies Press|위치=Baldock|쪽=95-111|장=What is Paraconsistent Logic?|id=ISBN 0-86380-253-2}}
* {{서적 인용|제목=An Introduction to Paraconsistent Logics|성=Bremer|이름=Manuel|날짜=2005년|출판사=Peter Lang|위치=Frankfurt|id=ISBN 3-631-53413-2}}
* {{서적 인용|제목=A Companion to Philosophical Logic|성=Brown|이름=Bryson|날짜=2002년|편집자-성=In Dale Jacquette (ed.)|출판사=Blackwell Publishers|위치=Malden, Massachusetts|쪽=628-650|장=On Paraconsistency.|id=ISBN 0-631-21671-5}}
* {{서적 인용|제목=Papers in Philosophical Logic|url=https://archive.org/details/papersinphilosop0000lewi|성=Lewis|이름=David|날짜=1998년|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge|쪽=[https://archive.org/details/papersinphilosop0000lewi/page/n104 97]&ndash;110|장=Logic for Equivocators|원본연도=1982년|id=ISBN 0-521-58788-3}}
* {{서적 인용|제목=Handbook of Philosophical Logic, Volume 6|성=Priest|이름=Graham|날짜=2002년|편집자-성=In D. Gabbay and F. Guenthner (eds.)|판=2nd ed.|출판사=Kluwer Academic Publishers|위치=The Netherlands|쪽=287-393|장=Paraconsistent Logic.|id=ISBN 1-4020-0583-0}}
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/archives/win2004/entries/logic-paraconsistent/|제목=Paraconsistent Logic|성=Priest, Graham and Tanaka, Koji|날짜=2001|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2004 edition)|확인날짜=2006-02-24}}
* {{저널 인용|제목=Paraconsistent Logics?|저널=Journal of Philosophical Logic|성=Slater, B. H.|날짜=1995년|권=24|쪽=233&ndash;254}}
* {{서적 인용|제목=Paradox and Paraconsistency: Conflict Resolution in the Abstract Sciences|url=https://archive.org/details/paradoxparaconsi0000wood|성=Woods|이름=John|날짜=2003년|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge|id=ISBN 0-521-00934-0}}

== 외부 링크 ==
* [http://plato.stanford.edu/entries/logic-paraconsistent/ Stanford Encyclopedia of Philosophy "Paraconsistent Logic"]
* [http://plato.stanford.edu/entries/mathematics-inconsistent/ Stanford Encyclopedia of Philosophy "Inconsistent Mathematics"]
* [http://www.paraconsistency.org "World Congress on Paraconsistency, Ghent 1997, Juquehy 2000, Toulouse, 2003, Melbourne 2008, Kolkata, 2014"]
* [https://arxiv.org/abs/0805.1481/ Paraconsistent First-Order Logic with infinite hierarchy levels of contradiction LP#. Axiomatical system HST#, as paraconsistent generalization of Hrbacek set theory HST]
* [https://www.cs.tau.ac.il/~aa/articles/ideal.pdf Ideal Paraconsistent Logics]

{{전거 통제}}

[[분류:신념 수정]]
[[분류:철학적 논리학]]
[[분류:수리논리학]]
[[분류:비고전 논리]]