초른 보조정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''초른 보조정리'''(Zorn의補助定理, {{llang|en|Zorn’s lemma}}) 또는 '''쿠라토프스키-초른 보조정리'''(Kuratowski-Zorn補助定理, {{llang|en|Kuratowski–Zorn lemma}})는 [[부분 순서 집합]]이 극대 원소를 가질 [[충분조건]]을 제시하는 [[보조정리]]다. [[선택 공리]]와 [[동치]]이다.

== 정의 ==
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 '''정렬 사슬'''({{llang|en|well-ordered chain}})은 [[정렬 집합]]을 이루는 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>C\subseteq X</math>이다. ([[공집합]] 역시 정렬 사슬로 간주한다.) 또한, 원순서 집합 <math>X</math>에 대하여, <math>\max X\subseteq X</math>가 <math>X</math>의 [[극대 원소]]들의 집합이라고 하자. (극대 원소란 임의의 <math> x\in X</math>에 대하여 만약 <math>m\lesssim x</math>이라면 <math>x\sim m</math>을 만족시키는 원소 <math>m\in X</math>이다.) 또한, <math>\uparrow S</math>와 <math>\downarrow S</math>는 각각 [[상폐포]]와 [[하폐포]]를 뜻한다.

원순서 집합 <math>(X,\lesssim)</math>가 [[닫힌 원순서 집합]]이라고 하자. (즉, <math>X</math>의 모든 정렬 사슬이 [[상계 (수학)|상계]]를 갖는다고 하자. 특히, [[공집합]]의 상계가 존재하므로 <math>X</math>는 [[공집합]]이 아니다.) '''초른 보조정리'''에 따르면, <math>X=\downarrow\max X</math>이다. 다시 말해, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>x</math>와 비교 가능한 극대 원소 <math>m\in \max X</math>가 존재한다. (특히, <math>X\ne\varnothing</math>이므로 <math>\max X\ne\varnothing</math>이다. 다시 말해, <math>X</math>는 하나 이상의 [[극대 원소]]를 갖는다.)

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'''증명:'''
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[[귀류법]]을 사용하자. [[닫힌 원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>이 주어졌으며, 또한 <math>x\in X\setminus\downarrow\max X</math>라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 함수를 [[선택 공리]]를 사용하여 고를 수 있다.
* 함수 <math>f\colon\operatorname{woChain}(X)\to X</math>는 <math>X</math>의 모든 정렬 사슬 <math>C\subseteq X</math>에 대하여, 그 상계 <math>f(C)</math>를 대응시킨다. (여기서 <math>\operatorname{woChain}(X)</math>는 <math>X</math>의 정렬 사슬들의 집합이다.) 또한, 특히 <math>f(\varnothing)=x</math>라고 하자.
* 함수 <math>g\colon\uparrow\{x\}\to\uparrow\{x\}</math>는 <math>\forall y\in\uparrow\{x\}\colon y<g(y)</math>를 만족시킨다. (<math>y<g(y)</math>란 <math>y\lesssim g(y)\not\lesssim y</math>를 뜻한다.)
임의의 [[순서수]] <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math>에 대하여, [[초한 귀납법]]으로 다음과 같은 원소열을 정의하자.
:<math>a_\alpha=g(f(\{a_\beta\colon\beta<\alpha\}))\in X</math>
임의의 두 순서수 <math>\alpha,\beta</math>에 대하여 <math>\alpha<\beta</math>이면 <math>a_\alpha<a_\beta</math>이므로, <math>\alpha\mapsto a_\alpha</math>는 순서수의 [[고유 모임]] <math>\operatorname{Ord}</math>에서 <math>X</math>로 가는 [[단사 함수]]를 정의한다. 그러나 순서수의 고유 모임은 집합의 부분 집합이 될 수 없으므로, 모순이다. 따라서 귀류법이 성립한다.
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== 예 ==
[[원순서 집합]] <math>(S,\lesssim)</math>의 [[사슬 (순서론)|사슬]]들의 부분 순서 집합 <math>\operatorname{Chain}(S)\subseteq\mathcal P(S)</math>을 생각하자. 그렇다면, 사슬들의 사슬 <math>C_0\subseteq C_1\subseteq\cdots</math>의 [[합집합]]은 역시 [[사슬 (순서론)|사슬]]이므로, 초른 보조정리에 따라 <math>S</math> 속에는 극대 사슬이 존재하며, <math>S</math>의 임의의 [[사슬 (순서론)|사슬]]은 어떤 극대 사슬의 [[부분 집합]]이다. 이 사실을 '''하우스도르프 극대 원리'''(Hausdorff極大原理, {{llang|en|Hausdorff maximal principle}})라고 한다. 이 역시 [[선택 공리]] 및 초른 보조정리와 동치이다.

== 역사 ==
하우스도르프 극대 원리는 1914년에 [[펠릭스 하우스도르프]]가 최초로 사용하였다.

[[카지미에시 쿠라토프스키]]가 [[1922년]]에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|first=Casimir |last=Kuratowski |저자링크=카지미에시 쿠라토프스키|title=Une méthode d’élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques|journal=Fundamenta Mathematicae |volume=3 |issue= |날짜=1922 |pages=76–108 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3114.pdf|jfm=48.0205.04 |언어=fr}}</ref> [[막스 초른]]이 [[1935년]]에 같은 정리를 "극대 원소 원리"({{llang|en|maximum principle}})라는 이름으로 발표하였고,<ref>{{저널 인용|first=Max |last=Zorn|저자링크=막스 초른 |title=A remark on method in transfinite algebra |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=41 |날짜=1935 |issue=10 |pages=667–670 |doi=10.1090/S0002-9904-1935-06166-X|zbl=0012.33702|jfm=61.1028.01|mr=1563165 |언어=en}}</ref>{{rp|667}} 이를 [[집합론]]의 공리로 차용할 것을 주장하였다.

"초른 (보조)정리"라는 이름은 1939년에 [[니콜라 부르바키]]가 《집합론》({{llang|fr|Théorie des ensembles}})에서 사용하였다.<ref>{{서적 인용|성=Bourbaki|날짜=1939|이름=Nicolas|저자링크=니콜라 부르바키|제목= 
Éléments de mathématique. Première partie: Les structures fondamentales de l’analyse. I: Théorie des ensembles (fascicule de résultats)|위치=Paris| 총서=Actualités scientifiques et industrielles|출판사=Hermann|권=846|언어=fr|zbl=0026.38902|jfm= 65.1163.04|oclc=718565706}}</ref>
== 같이 보기 ==
* [[닫힌 원순서 집합]]
* [[타이히뮐러-투키 보조정리]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용 | last = Campbell | first = Paul J. | 날짜= 1978-02 | 제목 = The origin of “Zorn’s lemma” | 저널 = Historia Mathematica | volume = 5 | issue = 1 | pages = 77–89 | doi = 10.1016/0315-0860(78)90136-2 | mr=0462876 |zbl=0377.01009 | 언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Set theory for the working mathematician|url=https://archive.org/details/settheoryforwork0000cies|성=Ciesielski|이름=Krzysztof|출판사=Cambridge University Press|날짜=1997|isbn=0-521-59465-0}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Zorn lemma|first=B.A.|last=Efimov}}
* {{매스월드|id=ZornsLemma|title=Zorn’s lemma}}
* {{nlab|title=Zorn's lemma}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Zorn%27s_Lemma|제목=Zorn's lemma|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Axiom_of_Choice_Implies_Zorn%27s_Lemma|제목=Axiom of choice implies Zorn's lemma|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-08-14|archive-date=2013-03-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20130325071055/http://www.proofwiki.org/wiki/Axiom_of_Choice_Implies_Zorn%27s_Lemma|url-status=}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Zorn%27s_Lemma_Implies_Axiom_of_Choice|제목=Zorn's lemma implies axiom of cohice|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-08-14|archive-date=2022-01-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20220127085947/https://proofwiki.org/wiki/Zorn%27s_Lemma_Implies_Axiom_of_Choice|url-status=}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Hausdorff_Maximal_Principle|제목=Hausdorff maximal principle|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/01/28/245b-notes-7-well-ordered-sets-ordinals-and-zorns-lemma-optional/|이름=Terrence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|날짜=2009-01-28|웹사이트=What’s New|제목=245B, Notes 7: Well-ordered sets, ordinals, and Zorn’s lemma (optional)|언어=en}}

{{집합론}}

[[분류:보조정리]]
[[분류:집합론]]
[[분류:순서론]]
[[분류:선택 공리]]