초등대수학 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''초등대수학'''(Elementary algebra)은 [[수학]]의 주요 분야 중 하나인 [[대수학]]의 기본 개념 중 일부를 포함한다. 이 학문은 일반적으로 [[중등학교|중등 학교]] 학생들에게 가르치고 [[산술]]에 대한 이해를 바탕으로 한다. 산술이 지정된 [[수 (수학)|숫자]]를 다루는 반면,<ref>[[Herbert Ellsworth Slaught|H.E. Slaught]] and N.J. Lennes, ''Elementary algebra'', Publ. Allyn and Bacon, 1915, [https://books.google.com/books?id=gLii_eO4dNsC&lpg=PA1&dq=%22Elementary%20algebra%22%20letters&pg=PA1#v=onepage&q&f=false page 1] (republished by Forgotten Books)</ref> 대수는 [[변수 (수학)|변수]]로 알려진 고정 값이 없는 양을 도입한다.<ref>Lewis Hirsch, Arthur Goodman, ''Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students'', Publisher: Cengage Learning, 2005, {{ISBN|0534999727}}, 9780534999728, 654 pages, [https://books.google.com/books?id=7hdK4RSub5cC&lpg=PA2&dq=what%20is%20algebra%20for&pg=PA2#v=onepage&q=generalization&f=false page 2]</ref> 이러한 변수의 사용은 대수 표기법의 사용과 산술에 도입된 [[연산 (수학)|연산]]의 일반 규칙에 대한 이해를 수반한다. [[추상대수학|추상 대수학]]과 달리 초등대수학은 [[실수]] 및 [[복소수]] 영역 밖의 [[대수 구조]]와 관련이 없다.

수량을 표시하기 위해 변수를 사용하면 수량 간의 일반적인 관계를 공식적이고 간결하게 표현할 수 있으므로 더 넓은 범위의 문제를 해결할 수 있다. [[과학|과학과]] 수학의 많은 양적 관계는 대수 [[방정식]]으로 표현된다.

== 대수 표기법 ==
대수 표기법은 [[수식|수학적 표현]]을 작성하기 위한 규칙과 관례뿐만 아니라 표현의 일부에 대해 이야기하는 데 사용되는 용어를 설명한다.

''계수''는 변수를 곱하는 숫자 값 또는 숫자 상수를 나타내는 문자이다(연산자는 생략됨). ''항''은 더하기 및 빼기 연산자에 의해 다른 항과 분리될 수 있는 계수, 변수, 상수 및 지수를 가리킨다.<ref>Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, ''Introductory Algebra: An Applied Approach'', Publisher Cengage Learning, 2010, {{ISBN|1439046042}}, 9781439046043, [https://books.google.com/books?id=MPIWikTHVXQC&lpg=PP1&ots=yG1m9DkIiH&dq=coefficient%20algebra&pg=PA78#v=onepage&q=coefficient%20&f=false page 78]</ref> 문자는 변수와 상수를 나타낸다. 관례에 따라 알파벳 시작 부분의 문자(예: <math>a, b, c</math> )는 일반적으로 [[수학 상수|상수]]를 나타내는 데 사용되며 알파벳의 끝 부분(예: <math>x, y</math> 및 {{수학 변수|z}} )는 [[변수 (수학)|변수]]를 나타내는 데 사용된다.<ref>William L. Hosch (editor), ''The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry'', Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, {{ISBN|1615302190}}, 9781615302192, [https://books.google.com/books?id=ad0P0elU1_0C&lpg=PA71&dq=elementary%20algebra%20letters%20alphabet%20constants%20variables&pg=PA71#v=onepage&q=letters&f=false page 71]</ref> 일반적으로 이탤릭체로 작성된다.<ref>James E. Gentle, ''Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics'', Publisher: Springer, 1998, {{ISBN|0387985425}}, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]</ref>

대수 연산 은 [[덧셈|더하기]], [[뺄셈|빼기]], [[곱셈|곱하기]], [[나눗셈|나누기]] 및 [[거듭제곱|지수]]와 같은 [[산술|산술 연산]]<ref>Horatio Nelson Robinson, ''New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies'', Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, [https://books.google.com/books?id=dKZXAAAAYAAJ&dq=Elementary%20algebra%20notation&pg=PA7#v=onepage&q=Elementary%20algebra%20notation&f=false page 7]</ref>과 같은 방식으로 작동한다.<ref>Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, ''Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach'', Publisher: Cengage Learning, 2007, {{ISBN|061885195X}}, 9780618851959, 1114 pages, [https://books.google.com/books?id=5iXVZHhkjAgC&lpg=PA6&ots=iwrSrCrrOb&dq=operations%20addition%2C%20subtraction%2C%20multiplication%2C%20division%20exponentiation.&pg=PA6#v=onepage&q=operations%20addition,%20subtraction,%20multiplication,%20division%20exponentiation.&f=false page 6]</ref> 대수 변수 및 용어에 적용된다. 곱셈 기호는 일반적으로 생략되며 두 변수 또는 항 사이에 공백이 없거나 [[계수]]가 사용될 때 암시된다. 예를 들어, <math style="margin-bottom:8px">3 \times x^2</math> 로 쓰여진다 <math style="margin-bottom:8px">3x^2</math>, 그리고 <math>2 \times x \times y</math> 쓰여질 수 있다 <math>2xy</math> .<ref>Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in ''Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook'', Publisher Panpac Education Pte Ltd, {{ISBN|9812738827}}, 9789812738820, [https://books.google.com/books?id=nL5ObMmDvPEC&lpg=PR9-IA8&ots=T_h6l40AE5&dq=%22Algebraic%20notation%22%20multiplication%20omitted&pg=PR9-IA8#v=onepage&q=%22Algebraic%20notation%22%20multiplication%20omitted&f=false page 68]</ref>

일반적으로 가장 높은 거듭제곱( [[거듭제곱|지수]] )을 가진 항은 왼쪽에 기록된다. 예를 들어, <math style="margin-bottom:8px">x^2</math> {{수학 변수|x}} 의 왼쪽에 쓴다. 계수가 1이면 일반적으로 생략된다(예: <math style="margin-bottom:8px">1x^2</math>는 <math style="margin-bottom:8px">x^2</math>으로 쓴다 ).<ref>David Alan Herzog, ''Teach Yourself Visually Algebra'', Publisher John Wiley & Sons, 2008, {{ISBN|0470185597}}, 9780470185599, 304 pages, [https://books.google.com/books?id=Igs6t_clf0oC&lpg=PA72&ots=Excnhf1AgW&dq=algebra%20coefficient%20one&pg=PA72#v=onepage&q=coefficient%20of%201&f=false page 72]</ref> 마찬가지로 지수(제곱)가 1일 때(예: <math style="margin-bottom:8px">3x^1</math>는 <math style="margin-bottom:8px">3x</math>로 쓴다).<ref>John C. Peterson, ''Technical Mathematics With Calculus'', Publisher Cengage Learning, 2003, {{ISBN|0766861899}}, 9780766861893, 1613 pages, [https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC&lpg=PA31&ots=NKrtZZ1KDE&dq=%22when%20the%20exponent%20is%201%22&pg=PA32#v=onepage&q=%22when%20the%20exponent%20is%201%22&f=false page 31]</ref> 지수가 0이면 결과는 항상 1이다(예: <math style="margin-bottom:8px">x^0</math> 은 {{수학 변수|1}}이다 )로 다시 작성된다.<ref>Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, ''Algebra for College Students'', Publisher Cengage Learning, 2010, {{ISBN|0538733543}}, 9780538733540, 803 pages, [https://books.google.com/books?id=-AHtC0IYMhYC&lpg=PP1&ots=kL8erjajyR&dq=algebra%20exponents%20zero%20one&pg=PA222#v=onepage&q=exponents%20&f=false page 222]</ref> 하지만 <math>0^0</math>, 정의되지 않았으므로 표현식에 나타나지 않아야 하며 변수가 지수에 나타날 수 있는 표현식을 단순화하는 데 주의해야 한다.

=== 대체 표기법 ===
다른 유형의 표기법은 필요한 형식을 사용할 수 없거나 문자와 기호만 사용할 수 있는 경우와 같이 암시할 수 없는 경우 대수식에 사용된다. 이에 대한 설명으로 지수는 일반적으로 위 첨자를 사용하여 형식이 지정된다. 예: <math style="margin-bottom:8px">x^2</math>, [[플레인 텍스트|일반 텍스트]] 및 [[TeX]] 마크업 언어에서 [[캐럿 (기호)|캐럿]] 기호 "^"는 지수를 나타낸다. <math style="margin-bottom:8px">x^2</math> "x^2".,<ref>Ramesh Bangia, ''Dictionary of Information Technology'', Publisher Laxmi Publications, Ltd., 2010, {{ISBN|9380298153}}, 9789380298153, [https://books.google.com/books?id=zQa5I2sHPKEC&lpg=PA212&ots=s6pWav1Z_D&dq=%22plain%20text%22%20math%20caret%20exponent&pg=PA212#v=onepage&q=exponentiation%20caret&f=false page 212]</ref><ref>George Grätzer, ''First Steps in LaTeX'', Publisher Springer, 1999, {{ISBN|0817641327}}, 9780817641320, [https://books.google.com/books?id=mLdg5ZdDKToC&lpg=PP1&ots=V9DFIaAAh0&dq=tex%20math&pg=PA17#v=onepage&q=subscripts%20and%20superscripts%20caret&f=false page 17]</ref> 및 Lua와 같은 일부 프로그래밍 언어로 작성된다. [[에이다 (프로그래밍 언어)|Ada]],<ref>S. Tucker Taft, Robert A. Duff, Randall L. Brukardt, Erhard Ploedereder, Pascal Leroy, ''Ada 2005 Reference Manual'', Volume 4348 of Lecture Notes in Computer Science, Publisher Springer, 2007, {{ISBN|3540693351}}, 9783540693352, [https://books.google.com/books?id=694P3YtXh-0C&lpg=PA718&ots=O_EgQ75FeB&dq=ada%20%20asterisk&pg=PA12#v=onepage&q=double%20star%20exponentiate&f=false page 13]</ref> [[포트란|Fortran]],<ref>C. Xavier, ''Fortran 77 And Numerical Methods'', Publisher New Age International, 1994, {{ISBN|812240670X}}, 9788122406702, [https://books.google.com/books?id=WYMgF9WFty0C&lpg=PA20&ots=BTtzs9F-NB&dq=fortran%20asterisk%20exponentiation&pg=PA20#v=onepage&q=fortran%20asterisk%20exponentiation&f=false page 20]</ref> [[펄|Perl]],<ref>Randal Schwartz, Brian Foy, Tom Phoenix, ''Learning Perl'', Publisher O'Reilly Media, Inc., 2011, {{ISBN|1449313140}}, 9781449313142, [https://books.google.com/books?id=l2IwEuRjeNwC&lpg=PA24&ots=5nsYOLHxlD&dq=perl%20asterisk%20exponentiation&pg=PA24#v=onepage&q=double%20asterisk%20exponentiation&f=false page 24]</ref> [[파이썬]]<ref>Matthew A. Telles, ''Python Power!: The Comprehensive Guide'', Publisher Course Technology PTR, 2008, {{ISBN|1598631586}}, 9781598631586, [https://books.google.com/books?id=754knV_fyf8C&lpg=PA46&ots=8fEi1F-H8-&dq=python%20asterisk%20exponentiation&pg=PA46#v=onepage&q=double%20asterisk%20exponentiation&f=false page 46]</ref> 및 [[루비 (프로그래밍 언어)|Ruby]],<ref>Kevin C. Baird, ''Ruby by Example: Concepts and Code'', Publisher No Starch Press, 2007, {{ISBN|1593271484}}, 9781593271480, [https://books.google.com/books?id=kq2dBNdAl3IC&lpg=PA72&ots=0UU3k-Pvh8&dq=ruby%20asterisk%20exponentiation&pg=PA72#v=onepage&q=double%20asterisk%20exponentiation&f=false page 72]</ref> 같은 프로그래밍 언어에서는 이중 별표가 사용되므로 <math style="margin-bottom:8px">x^2</math> "x**2"로 작성된다. 많은 프로그래밍 언어와 계산기는 곱셈 기호를 나타내기 위해 단일 별표를 사용한다.<ref>William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa, ''Math through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others'', Publisher MAA, 2004, {{ISBN|0883857367}}, 9780883857366, [https://books.google.com/books?id=JAXNVaPt7uQC&lpg=PA75&ots=-P78Lrz792&dq=calculator%20asterisk%20multiplication&pg=PA75#v=onepage&q=calculator%20asterisk%20multiplication&f=false page 75]</ref> 예를 들어 다음과 같이 명시적으로 사용해야 한다. <math style="margin-bottom:8px">3x</math> "3*x"로 기록된다.

== 개념 ==

=== 변수 ===
[[파일:Pi-equals-circumference-over-diametre.svg|오른쪽|섬네일| 원의 지름과 원주 사이의 관계를 보여주는 변수의 예. 모든 [[원 (기하학)|원]]에 대해 [[원둘레|둘레]] {{수학 변수|c}} 를 [[지름|직경]] {{수학 변수|d}} 로 나눈 값은 상수 [[원주율|pi]]와 같다. <math>\pi</math> (약 3.14).]]
초등대수학은 일반(지정되지 않은) 숫자를 나타내는 변수라는 문자를 도입하여 산술<ref>Thomas Sonnabend, ''Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8'', Publisher: Cengage Learning, 2009, {{ISBN|0495561665}}, 9780495561668, 759 pages, [https://books.google.com/books?id=gBa2GzyXCF8C&lpg=PR17&ots=qee3RsTC6V&dq=algebra%20%22extends%20arithmetic%22&pg=PR17#v=onepage&q=extends%20arithmetic&f=false page xvii]</ref>을 구축하고 확장한다. 이것은 여러 가지 이유로 유용하다.

# '''변수는 값이 아직 알려지지 않은 숫자를 나타낼 수 있다''' . 예를 들어, 오늘의 온도 C가 전날의 온도 P보다 20도 높으면 문제는 대수적으로 다음과 같이 설명할 수 있다. <math>C = P + 20</math> .<ref>Lewis Hirsch, Arthur Goodman, ''Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students'', Publisher: Cengage Learning, 2005, {{ISBN|0534999727}}, 9780534999728, 654 pages, [https://books.google.com/books?id=jsT7kqZubvIC&lpg=PA48&ots=EI4_yaKasG&dq=%22elementary%20algebra%22%20variables%20unknown&pg=PA48#v=onepage&q=%22elementary%20algebra%22%20variables%20unknown&f=false page 48]</ref>
# '''변수를 사용하면 관련된 양의 값을 지정하지 않고<ref>Lawrence S. Leff, ''College Algebra: Barron's Ez-101 Study Keys'', Publisher: Barron's Educational Series, 2005, {{ISBN|0764129147}}, 9780764129148, 230 pages, [https://books.google.com/books?id=XesryURrNKAC&lpg=PA2&ots=Ga44CTvNHI&dq=algebra%20variables%20generalize&pg=PA2#v=onepage&q=algebra%20variables%20generalize&f=false page 2]</ref> ''일반적인'' 문제를 설명할 수 있다.''' 예를 들어 5분은 다음과 같다고 구체적으로 말할 수 있다. <math>60 \times 5 = 300</math> 초. 보다 일반적인(대수적) 설명은 초 수, <math>s = 60 \times m</math>, 여기서 m은 분 수이다.
# '''변수를 사용하면 변할 수 있는 수량 간의 수학적 관계를 설명할 수 있다.'''<ref>Ron Larson, Kimberly Nolting, ''Elementary Algebra'', Publisher: Cengage Learning, 2009, {{ISBN|0547102275}}, 9780547102276, 622 pages, [https://books.google.com/books?id=U6v78M5nYKAC&lpg=PP1&ots=R0dl97lfm0&dq=%22elementary%20algebra%22%20relationships&pg=PA210#v=onepage&q=relationships&f=false page 210]</ref> 예를 들어, 원의 둘레 ''c'' 와 지름 ''d'' 사이의 관계는 다음과 같이 설명된다. <math>\pi = c /d</math> .
# '''변수를 사용하면 몇 가지 수학적 속성을 설명할 수 있다.''' 예를 들어, 덧셈의 기본 속성은 함께 더해지는 숫자의 순서가 중요하지 않다는 [[교환법칙|가환성]]이다. 교환성은 다음과 같이 대수적으로 표현된다. <math>(a + b) = (b + a)</math> .<ref>Charles P. McKeague, ''Elementary Algebra'', Publisher: Cengage Learning, 2011, {{ISBN|0840064217}}, 9780840064219, 571 pages, [https://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&lpg=PA49&ots=I16eebO3LV&dq=%22elementary%20algebra%22%20commutative&pg=PA49#v=onepage&q=%22elementary%20algebra%22%20commutative&f=false page 49]</ref>

=== 표현식 단순화 ===
산술 연산의 기본 속성( [[덧셈|더하기]], [[뺄셈|빼기]], [[곱셈|곱하기]], [[나눗셈|나누기]] 및 [[거듭제곱|지수]] )을 기반으로 대수 표현식을 평가하고 단순화할 수 있다. 예를 들어,

* 추가된 항은 계수를 사용하여 단순화된다. 예를 들어, <math>x + x + x</math> 다음과 같이 단순화할 수 있다. <math>3x</math> (여기서 3은 수치 계수임).
* 곱한 항은 지수를 사용하여 단순화된다. 예를 들어, <math>x \times x \times x</math> 로 표현된다 <math>x^3</math>
* 예를 들어,<ref>Andrew Marx, ''Shortcut Algebra I: A Quick and Easy Way to Increase Your Algebra I Knowledge and Test Scores'', Publisher Kaplan Publishing, 2007, {{ISBN|1419552880}}, 9781419552885, 288 pages, [https://books.google.com/books?id=o9GYQjZ7ZwUC&lpg=PP1&ots=pT-MpWMJty&dq=algebra%20addition%20%22like%20terms%22&pg=PA51#v=onepage&q=like%20terms&f=false page 51]{{깨진 링크|url=https://books.google.com/books?id=o9GYQjZ7ZwUC&lpg=PP1&ots=pT-MpWMJty&dq=algebra%20addition%20%22like%20terms%22&pg=PA51 }}</ref>과 같은 용어가 함께 추가된다. <math>2x^2 + 3ab - x^2 + ab</math> 로 쓰여진다 <math>x^2 + 4ab</math>, 포함하는 용어 때문에 <math>x^2</math> 함께 추가되고, 다음을 포함하는 용어 <math>ab</math> 함께 추가된다.
* 대괄호는 [[분배법칙|분배적 속성]]을 사용하여 "곱할 수 있다". 예를 들어, <math>x (2x + 3)</math> 다음과 같이 쓸 수 있다. <math>(x \times 2x) + (x \times 3)</math> 다음과 같이 쓸 수 있는 <math>2x^2 + 3x</math>
* 표현식을 인수분해할 수 있다. 예를 들어, <math>6x^5 + 3x^2</math>, 두 항을 다음으로 나누어 <math>3x^2</math> 다음과 같이 쓸 수 있다. <math>3x^2 (2x^3 + 1)</math>

=== 등식 ===
등식은 같음 기호 {{=}} ( [[등호]] )를 사용하여 두 식이 같음을 나타낸다.<ref>Mark Clark, Cynthia Anfinson, ''Beginning Algebra: Connecting Concepts Through Applications'', Publisher Cengage Learning, 2011, {{ISBN|0534419380}}, 9780534419387, 793 pages, [https://books.google.com/books?id=wCzuRMC5048C&lpg=PA134&ots=UdyGuk1ihH&dq=algebra%20equation%20%22two%20expressions%22&pg=PA134#v=onepage&q=equation&f=false page 134]</ref> 가장 잘 알려진 등식 중 하나는 [[직각]]삼각형의 변의 길이와 관련된 피타고라스의 법칙을 설명한다.<ref>Alan S. Tussy, R. David Gustafson, ''Elementary and Intermediate Algebra'', Publisher Cengage Learning, 2012, {{ISBN|1111567689}}, 9781111567682, 1163 pages, [https://books.google.com/books?id=xqio_Xn4t7oC&lpg=PA493&ots=pmzfzBO1KX&dq=algebra%20Pythagoras%20hypotenuse&pg=PA493#v=onepage&q=algebra%20Pythagoras%20hypotenuse&f=false page 493]</ref>

: <math>c^2 = a^2 + b^2</math>

이 방정식은 다음을 나타낸다. <math>c^2</math> 빗변인 변의 길이의 제곱을 나타내는, 직각의 반대 변은 길이가 {{수학 변수|a}} 와 {{수학 변수|b}} 로 표시되는 다른 두 변의 제곱의 합(덧셈)과 같다.

==== 평등의 속성 ====
정의에 따르면 평등은 [[동치관계|등가 관계]]이며, 이는 속성이 (a) [[반사관계|재귀적]] (즉, <math>b = b</math> ), (b) [[대칭관계|대칭]] (즉, <math>a = b</math> 그 다음에 <math>b = a</math> ) (c) [[추이적 관계|타동사]] <math>a = b</math> 그리고 <math>b = c</math> 그 다음에 <math>a = c</math> ).<ref>Douglas Downing, ''Algebra the Easy Way'', Publisher Barron's Educational Series, 2003, {{ISBN|0764119729}}, 9780764119729, 392 pages, [https://books.google.com/books?id=RiX-TJLiQv0C&lpg=PA20&ots=BjArsBq8vc&dq=algebra%20equality%20%20%20reflexive%20%20symmetric%20%20transitive&pg=PA20#v=onepage&q=algebra%20equality%20%20%20reflexive%20%20symmetric%20%20transitive&f=false page 20]</ref> 또한 두 개의 기호가 동일한 것에 사용되면 첫 번째에 대한 참 진술에서 하나의 기호가 다른 것으로 대체될 수 있고 그 진술은 참으로 유지된다는 중요한 속성을 충족한다. 이는 다음 속성을 의미한다.

* 만약 <math>a = b</math> 그리고 <math>c = d</math> 그 다음에 <math>a + c = b + d</math> 그리고 <math>ac = bd</math> ;
* 만약 <math>a = b</math> 그 다음에 <math>a + c = b + c</math> 그리고 <math>ac = bc</math> ;
* 더 일반적으로, 어떤 함수 {{수학 변수|f}} 에 대해, 만약 <math>a=b</math> 그 다음에 <math>f(a) = f(b)</math> .

==== 부등식의 속성 ====
~보다 작은 관계 <math> < </math> 그리고 ~보다 큰 <math> > </math> 속성이 있다:<ref>Ron Larson, Robert Hostetler, ''Intermediate Algebra'', Publisher Cengage Learning, 2008, {{ISBN|0618753524}}, 9780618753529, 857 pages, [https://books.google.com/books?id=b3vqad8tbiAC&lpg=PA96&ots=FF2OYYGNCV&dq=algebra%20inequality%20properties&pg=PA96#v=onepage&q=algebra%20inequality%20properties&f=false page 96]</ref>

* 만약에&nbsp;<math>a < b</math>&nbsp;그리고&nbsp;<math>b < c</math>&nbsp;그 다음에&nbsp;<math>a < c</math> ;
* 만약에&nbsp;<math>a < b</math>&nbsp;그리고&nbsp;<math>c < d</math>&nbsp;그 다음에&nbsp;<math>a + c < b + d</math> ;<ref>{{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/q/1043755|제목=What is the following property of inequality called?|날짜=November 29, 2014|웹사이트=[[Stack Exchange]]|확인날짜=4 May 2018}}</ref>
* 만약에&nbsp;<math>a < b</math>&nbsp;그리고&nbsp;<math>c > 0</math>&nbsp;그 다음에&nbsp;<math>ac < bc</math> ;
* 만약에&nbsp;<math>a < b</math>&nbsp;그리고&nbsp;<math>c < 0</math>&nbsp;그 다음에&nbsp;<math>bc < ac</math> .

부등식을 반대로 하면, <math> < </math> 그리고 <math> > </math> 예를 들어<ref>Chris Carter, ''Physics: Facts and Practice for A Level'', Publisher Oxford University Press, 2001, {{ISBN|019914768X}}, 9780199147687, 144 pages, [https://books.google.com/books?id=Ff9gxZPYafcC&lpg=PA50&ots=KQ5ufGdcHk&dq=algebra%20inequality%20less%20greater%20exchange&pg=PA50#v=onepage&q=turned%20around&f=false page 50]</ref>로 바꿀 수 있다.

* <math>a < b</math> 와 동등하다 <math>b > a</math>

=== 치환 ===
치환은 새 표현식을 만들기 위해 표현식의 용어를 바꾸는 것이다. {{수학 변수|a}} {{수학|''a''*5}} 표현식에서 3을 대입하면 {{수학|15}} 를 의미하는 새로운 표현식 {{수학|3*5}} 가 된다. 진술의 조건을 치환하면 새로운 진술이 된다. 원래의 명제가 항의 값과 관계없이 참이면 치환에 의해 생성된 명제도 참이다. 따라서 정의는 상징적 용어로 만들어지고 치환을 통해 해석될 수 있다.

== 대수 방정식 풀기 ==
선형 방정식은 플로팅될 때 직선을 설명하기 때문에 이른바 선형 방정식이다. 풀기 가장 간단한 방정식은 변수가 하나만 있는 [[일차 방정식|선형 방정식]]이다. 지수가 없는 상수와 단일 변수만 포함한다. 예를 들어 다음을 고려하십시오.

: 단어 문제: 아이의 나이를 두 배로 늘리고 4를 더하면 결과는 12이다. 아이는 몇 살입니까?

: 등가 방정식: <math>2x + 4 = 12</math> 여기서 {{수학 변수|x}} 는 어린이의 나이를 나타낸다.

이러한 종류의 방정식을 풀기 위해 방정식의 한 쪽에서 변수를 분리하기 위해 방정식의 양쪽에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나누는 기술이다. 변수가 분리되면 방정식의 다른 쪽은 변수 값이다.<ref>{{서적 인용|url=https://archive.org/details/allmathyoullever00slav/page/72|제목=All the Math You'll Ever Need|성=Slavin, Steve|연도=1989|출판사=[[John Wiley & Sons]]|쪽=[https://archive.org/details/allmathyoullever00slav/page/72 72]|isbn=0-471-50636-2}}</ref> 이 문제와 해결 방법은 다음과 같다.
{|
|1. 풀이 방정식:
| <math>2x + 4 = 12</math>
|-
| 2. 양쪽에서 4를 뺀다.
| <math>2x + 4 - 4 = 12 - 4</math>
|-
| 3. 이렇게 하면 다음이 간소화된다.
| <math>2x = 8</math>
|-
| 4. 양변을 2로 나눈다.
| <math>\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}</math>
|-
| 5. 이것은 답을 단순화한다.
| <math>x = 4</math>
|}
즉, 아이는 4 살이다.

=== 두 개의 변수가 있는 선형 방정식 ===
[[파일:Linear-equations-two-unknowns.svg|오른쪽|섬네일| 두 개의 선형 방정식이 교차하는 지점에서 고유한 솔루션을 사용하여 푼다.]]
두 개의 변수가 있는 선형 방정식에는 많은(즉, 무한한 수) 해가 있다.<ref>Sinha, ''The Pearson Guide to Quantitative Aptitude for CAT 2/e''Publisher: Pearson Education India, 2010, {{ISBN|8131723666}}, 9788131723661, 599 pages, [https://books.google.com/books?id=eOnaFSKRSR0C&lpg=PA195&ots=K9A5d10dUc&dq=linear%20equation%20%20two%20variables%20%20many%20solutions&pg=PA195#v=onepage&q=many%20solutions&f=false page 195]</ref> 예를 들어:

: 말의 문제: 아버지는 아들보다 22살이 많다. 그들을 몇 살 이니?
: 등가 방정식: <math>y = x + 22</math> 여기서 {{수학 변수|y}} 는 아버지의 나이이고 {{수학 변수|x}} 는 아들의 나이이다.

그것은 스스로 해결할 수 없다. 아들의 나이가 알려지면 더 이상 두 개의 미지수(변수)가 없을 것이다. 그러면 문제는 위에서 설명한 대로 풀 수 있는 변수가 하나만 있는 선형 방정식이 된다.

두 개의 변수(알 수 없음)가 있는 선형 방정식을 풀려면 두 개의 관련 방정식이 필요하다. 예를 들어 다음과 같은 사실도 밝혀진 경우:

; 단어의 문제
: 10년 후에는 아버지의 나이가 아들의 두 배이다.
; 등가 방정식
: <math>\begin{align}
y + 10 &= 2 \times (x + 10)\\
y &= 2 \times (x + 10) - 10 \\
y &= 2x + 20 - 10 \\
y &= 2x + 10
\end{align}</math>

이제 두 개의 관련된 선형 방정식이 있다. 각각은 두 개의 미지수를 가지고 있다. 이를 통해 하나의 변수를 다른 변수에서 빼서 선형 방정식을 생성할 수 있다(제거 방법이라고 함).<ref>Cynthia Y. Young, ''Precalculus'', Publisher John Wiley & Sons, 2010, {{ISBN|0471756849}}, 9780471756842, 1175 pages, [https://books.google.com/books?id=9HRLAn326zEC&lpg=PA703&ots=t83cFBL8TU&dq=linear%20equation%20%20two%20variables%20%20many%20solutions&pg=PA699#v=onepage&q=linear%20equation%20%20two%20variables%20%20many%20solutions&f=false page 699]</ref>

: <math>\begin{cases}
y = x + 22 & \\
y = 2x + 10 &
\end{cases}</math>
: <math>\begin{align}
0 &= x - 12 && \\
12 &= x && \\
x &= 12 &&
\end{align}</math>

=== 이차 방정식 ===
이차 방정식은 지수가 2인 항을 포함하는 방정식이다. 예를 들어, <math>x^2</math>,<ref>Mary Jane Sterling, ''Algebra II For Dummies'', Publisher: John Wiley & Sons, 2006, {{ISBN|0471775819}}, 9780471775812, 384 pages, [https://books.google.com/books?id=_0rTMuSpTY0C&lpg=PA43&ots=J8_1q1Vkul&dq=quadratic%20equations&pg=PA37#v=onepage&q=quadratic%20equations&f=false page 37]</ref> 지수가 더 높은 항은 없다. 이름은 정사각형을 의미하는 라틴어 ''quadrus''에서 파생된다.<ref>John T. Irwin, ''The Mystery to a Solution: Poe, Borges, and the Analytic Detective Story'', Publisher JHU Press, 1996, {{ISBN|0801854660}}, 9780801854668, 512 pages, [https://books.google.com/books?id=jsxTenuOQKgC&lpg=PA372&ots=T7p7Porq55&dq=quadratic%20quadrus&pg=PA372#v=onepage&q=quadratic%20quadrus&f=false page 372]</ref> 일반적으로 이차 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다. <math>ax^2 + bx + c = 0</math>,<ref>Sharma/khattar, ''The Pearson Guide To Objective Mathematics For Engineering Entrance Examinations, 3/E'', Publisher Pearson Education India, 2010, {{ISBN|8131723631}}, 9788131723630, 1248 pages, [https://books.google.com/books?id=2v-f9x7-FlsC&lpg=RA13-PA33&ots=P-Dz70fXbv&dq=quadratic%20equations%20%20ax2%20%2B%20bx%20%2B%20c%20%3D%200&pg=RA13-PA33#v=onepage&q&f=false page 621]</ref> 여기서 {{수학 변수|a}}는 0이 아니다(0이면 방정식은 2차가 아니라 선형이 된다). 이 때문에 이차 방정식에는 다음 항이 포함되어야 한다. <math>ax^2</math>, 이는 2차 항으로 알려져 있다. 따라서 <math>a \neq 0</math>, 그래서 우리는 방정식을 {{수학 변수|a}} 나누고 방정식을 표준 형식으로 재정렬할 수 있다.

: <math>x^2 + px + q = 0 </math>

어디 <math>p = \frac{b}{a}</math> 그리고 <math>q = \frac{c}{a}</math> . 이것을 풀기 위한 공식은 다음과 같다.

: <math>x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a},</math>

=== 지수 및 로그 방정식 ===
지수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖는 방정식이다. <math>a^x = b</math> (<math>a > 0</math>),<ref>Aven Choo, ''LMAN OL Additional Maths Revision Guide 3'', Publisher Pearson Education South Asia, 2007, {{ISBN|9810600011}}, 9789810600013, [https://books.google.com/books?id=NsBXDMrzcJIC&lpg=RA2-PA29&ots=WmZmHLaTey&dq=%22%20exponential%20equation%20%22%20aX%20%3D%20b&pg=RA2-PA29#v=onepage&q=%22%20exponential%20equation%20%22%20aX%20=%20b&f=false page 105]</ref> 풀이는 다음과 같다.

: <math>X = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}</math>

<math>b > 0</math>일 때는 그러하다. 기본 대수 기술은 솔루션에 도달하기 전에 위의 방식으로 주어진 방정식을 다시 작성하는 데 사용된다. 예를 들어

: <math>3 \cdot 2^{x - 1} + 1 = 10</math>

그런 다음 방정식의 양변에서 1을 빼고 양변을 3으로 나누면 다음을 얻는다.

: <math>2^{x - 1} = 3</math>

어떻게

: <math>x - 1 = \log_2 3</math>

: <math>x = \log_2 3 + 1.</math>

== 같이 보기 ==
* [[이항 연산]]
* [[가우스 소거법]]
* [[수학 교육]]
* [[수직선 (수학)]]
* [[다항식]]
== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수학]]
[[분류:초등대수학]]