초기하함수 문서 원본 보기

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'''초기하함수'''(超幾何函數, {{llang|en|hypergeometric function}})는 [[기하급수]]를 일반화시키는 일련의 [[특수 함수]]들이다. 일련의 [[거듭제곱 급수]]로 나타내어지고, 어떤 선형 [[상미분 방정식]]을 만족시킨다.

== 정의 ==
'''초기하 미분 방정식'''({{llang|en|hypergeometric differential equation}})은 미지 함수 <math>w(z)</math>에 대한, 다음과 같은 꼴의 <math>\max\{p,q+1\}</math>차 선형 [[상미분 방정식]]이다.
:<math>z\prod_{n=1}^p\left(z\frac d{dz}+a_n\right)w(z)=z\frac d{dz}\prod_{n=1}^{q}\left(z\frac d{dz}+ b_n-1\right)w(z)</math>
여기서
:<math>\mathbf a=(a_1,\dots,a_p)\in\mathbb R^p</math>
:<math>\mathbf b=(b_1,\dots,b_q)\in\mathbb R^q</math>
는 임의의 상수들이다. 이 방정식의 해는 다음과 같은 급수로 전개시킬 수 있다.
:<math>{}_pF_q(\mathbf a;\mathbf b;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\mathbf a)_n}{(\mathbf b)_n}\frac {z^n} {n!}</math>
여기서
:<math>(x)_n=x(x+1)\cdots(x+n-1)</math>
은 [[상승 포흐하머 기호]]이며,
:<math>(\mathbf a)_n=(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_p)_n</math>
:<math>(\mathbf b)_n=(b_1)_n(b_2)_n\cdots(b_q)_n</math>
이다. 이 급수 <math>{}_pF_q</math>를 '''초기하급수'''({{llang|en|hypergeometric series}})라고 하며, 만약 이 급수가 수렴하는 경우 '''초기하함수'''라고 한다.

== 성질 ==
정의에 따라, 초기하함수 <math>{}_pF_q(\mathbf a;\mathbf b;z)</math>는 <math>\{a_1,\dots,a_p\}</math>나 <math>\{b_1,\dots,b_q\}</math>의 순서에 관계없다. 또한, 만약 <math>\{a_1,\dots,a_p\}</math>와 <math>\{b_1,\dots,b_q\}</math>에 [[교집합]]이 있으면, 이들을 서로 약분할 수 있다. 예를 들어 <math>a_p=b_q</math>라면
:<math>{}_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;z)={}_{p-1}F_{q-1}(a_1,\dots,a_{p-1};b_1,\dots,b_{q-1};z)</math>
이다.

=== 미분 ===
급수 전개에 따라, 초기하함수의 미분은 다음과 같다.
:<math>\frac{d^n}{dz^n}{}_pF_q(\mathbf a;\mathbf b;z)=\frac{(\mathbf a)_n}{(\mathbf b)_n}{}_pF_q(\mathbf a+n;\mathbf b+n;z)</math>
여기서 <math>\mathbf a+n=(a_1+n,a_2+n,\dots,a_p+n)</math>이며, <math>\mathbf b+n</math>의 경우도 마찬가지다.

=== 모노드로미 ===
복소 [[상미분 방정식]]
:<math>z\left(z\frac d{dz}+\alpha_1\right)\cdots\left(z\frac d{dz}+\alpha_n\right)f=\left(z\frac d{dz}+\beta_1-1\right)\cdots\left(z\frac d{dz}+\beta_n-1\right)f</math>
의 <math>n</math>개의 [[선형 독립]] 해는
:<math>z^{1-\beta_i}{}_nF_{n-1}(\alpha_1-\beta_i+1,\dots,\alpha_n-\beta_n+1;\beta_1-\beta_i,\dots,\widehat{\beta_i-\beta_i+1},\dots,\beta_n-\beta_i+1;z)\qquad(i=1,\dots,n)</math>
이다. (여기서 <math>\cdots\hat x\cdots</math>는 <math>x</math>를 제외한 목록을 뜻한다.) 이는 [[푹스 방정식]](해가 [[정칙 특이점]]만을 갖는 방정식)이며, [[리만 구]] 위의 (정칙) 특이점은 <math>\{0,1,\widehat\infty\}\in\hat{\mathbb C}</math>이다. 이들은 특이점 근처에서 모노드로미를 가진다.
* <math>1</math> 근처에서, 초기하 방정식은 <math>n-1</math>개의 [[선형 독립]] 해들을 갖는다. 나머지 하나의 해는 1 근처에서 모노드로미를 가지므로 포함되지 않는다.
* <math>0</math> 또는 <math>\widehat\infty</math> 근처에서, 초기하 방정식의 해들은 항상 모노드로미를 가지므로, 이 근처에서는 일반적으로 해가 존재하지 않는다.
* <math>z\ne0,1,\widehat\infty</math> 근처에서는 <math>n</math>개의 선형 독립 해가 존재한다.

어떤 밑점 <math>z_0\in\hat{\mathbb C}\setminus\{0,1,\widehat\infty\}</math> 근처에서의 위 방정식의 해의 [[벡터 공간]]을 <math>V_{z_0}(\alpha_1,\dots,\alpha_n;\beta_1,\dots,\beta_n)</math>라고 하자. 이는 <math>n-1</math>차원의 복소 벡터 공간이다. 그렇다면, [[모노드로미]]에 따라서 [[기본군]]의 다음과 같은 [[군 표현]]이 존재한다.
:<math>\phi\colon\pi_0(\hat{\mathbb C}\setminus\{0,1,\widehat\};z_0)\to\operatorname{GL}(V_{z_0})</math>
임의의 <math>i\in\{1,\dots,n\}</math>에 대하여, 초기하 함수
를 생각하자. 그렇다면 [[기본군]] <math>\pi_0(\hat{\mathbb C}\setminus\{0,1,\widehat\};z_0)=\langle g_0,g_1,g_\infty|g_0g_1g_\infty=1\rangle</math>의 작용은 다음과 같다.
* <math>\phi(g_0)</math>의 [[고윳값]]은 <math>\exp(-2\pi i\beta_i)</math>이다 <math>(i=1,\dots,n)</math>.
* <math>\phi(g_\infty)</math>의 [[고윳값]]은 <math>\exp(2\pi i\alpha_i)</math>이다 <math>(i=1,\dots,n)</math>.
* <math>\phi(g_1)</math>은 중복수가 <math>n-1</math>인 고윳값 1을 갖는다.
이 조건을 충족시키는 군 표현은 유일하며, 이를 '''초기하군''' <math>H(\alpha_i,\beta_i)</math>라고 한다.

== 예 ==
=== <sub>0</sub>''F''<sub>0</sub> ===
<math>{}_0F_0(;;z)=\exp z</math>는 [[지수 함수]]이다.

=== <sub>1</sub>''F''<sub>0</sub> ===
<math>{}_1F_0(a;;z)=(1-z)^{-a}</math>는 [[기하급수]]이다. 이로부터 "초기하"라는 이름이 유래하였다.

=== <sub>0</sub>''F''<sub>1</sub> ===
<math>{}_0F_1(;b;z)</math>는 '''합류 초기하 극한 함수'''({{llang|en|confluent hypergeometric limit function}})라고 하며, 다음과 같이 [[베셀 함수]]로 나타낼 수 있다.
:<math>J_\alpha(x)=\frac{(\tfrac{x}{2})^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}  {}_0F_1\left  (;\alpha+1; -\tfrac{1}{4}x^2 \right )</math>

=== <sub>1</sub>''F''<sub>1</sub> ===
<math>{}_1F_1(a;b;z)</math>는 '''제1종 합류 초기하함수'''({{llang|en|confluent hypergeometric function of the first kind}})라고 한다.

=== <sub>2</sub>''F''<sub>1</sub> ===
<math>{}_2F_1(a,b;c;z)</math>는 '''가우스 초기하함수'''({{llang|en|Gaussian hypergeometric function}})라고 하며, 초기하함수 가운데 가장 자주 등장한다. 보통 첨자의 언급 없이 "초기하함수"라고 하면 가우스 초기하함수를 가리킨다.

가우스 초기하함수의 특수한 경우로는 다음을 들 수 있다.
:<math>2z{}_2F_1(1/2,1;3;z^2)=\arcsin z</math>
:<math>\frac\pi 2{}_2F_1(1/2,1/2;1;z^2)=K(z)=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-z^2x^2)}}</math>
여기서 <math>K(z)</math>는 제1종 [[타원적분]]이다.

=== <sub>''n''</sub>''F''<sub>''n''−1</sub> ===
<math>{}_nF_{n-1}</math>을 <math>n</math>차 '''클라우센-토메 초기하함수'''({{llang|en|Clausen–Thomae hypergeometric function}})라고 한다. 이는 토마스 클라우센({{llang|da|Thomas Clausen}})과 카를 요하네스 토메({{llang|de|Carl Johannes Thomae}})의 이름을 땄다. 이는 [[기하급수]] <math>{}_1F_0</math> 및 가우스 초기하함수 <math>{}_2F_1</math>의 일반화이며, 가우스 초기하함수와 마찬가지로 흥미로운 [[모노드로미]] 이론을 갖는다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=F.|성=Beukers|장=Gauss’ hypergeometric function|제목=Arithmetic and Geometry around Hypergeometric Functions|편집자=Rolf-Peter Holzapfel|총서=Progress in Mathematics|권=260|출판사=Birkhäuser|날짜=2007|쪽=23–42|장url=http://www.staff.science.uu.nl/~beuke106/GaussHF.pdf|zbl=1118.14012|언어=en}}
* {{서적 인용 | 장=An elementary approach to the Gauss hypergeometric function|이름=利雄|성=大島|장url=http://jairo.nii.ac.jp/0106/00005842|
총서=Josai Mathematical Monographs|권=6|쪽=3–23|날짜=2013-03|issn=1344-7777|제목=Representation Theory of Algebraic Groups and Related Topics: Proceedings of the workshop on Representation Theory, September 15,16, 2012, Josai University|언어=en}}
* {{저널 인용 | 제목=Hypergeometric functions: how special are they? | 저널=Notices of the American Mathematical Society | doi=10.1090/noti1065 | 권= 61| 호=1|쪽=48–56|날짜=2014-01|성=Beukers|이름=F.|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Gasper|이름=George|공저자=Mizan Rahman|날짜=2004|제목=Basic hypergeometric series|판=2판|총서=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications|권=96|출판사=Cambridge University Press|isbn=0-521-83357-4| doi=10.1017/CBO9780511526251|zbl=1129.33005|언어=en}}
* {{서적 인용 | last= Yoshida | first= Masaaki | title= Hypergeometric functions, my love: modular interpretations of configuration spaces | publisher= Vieweg+Teubner | 날짜= 1997 | isbn= 3-528-06925-2 | mr= 1453580 | 총서=Aspects of Mathematics|권=32|doi=10.1007/978-3-322-90166-8|isbn=978-3-322-90168-2|issn=0179-2156|zbl= 0889.33008|언어=en}}
* {{서적 인용 | last= Slater | first= Lucy Joan | title= Generalized hypergeometric functions | publisher= Cambridge University Press | 날짜= 1966 | isbn= 0-521-06483-X | mr= 0201688 | url=http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/real-and-complex-analysis/generalized-hypergeometric-functions | zbl=0135.28101|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hypergeometric function}}
* {{eom|title=Hypergeometric equation}}
* {{eom|title=Hypergeometric series}}
* {{매스월드|id=HypergeometricFunction|title=Hypergeometric function}}
* {{매스월드|id=GeneralizedHypergeometricFunction|title=Generalized hypergeometric function}}
* {{웹 인용|제목=Three lectures on hypergeometric functions|이름=Eduardo|성=Cattani|url=https://www.math.umass.edu/~cattani/hypergeom_lectures.pdf|날짜=2006-07-14|언어=en}}
* {{수학노트|title=오일러-가우스 초기하함수2F1}}

{{급수}}

{{전거 통제}}

[[분류:초기하함수| ]]
[[분류:특수 함수]]
[[분류:보형 형식]]
[[분류:계승과 이항식 주제]]
[[분류:상미분 방정식]]
[[분류:급수]]