초기값 문제 문서 원본 보기

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[[수학]]분야에서의 [[미분방정식|미분 방정식]]의 분야에서, '''초기값 문제'''(Initial Value Problem,IVP)는 [[상미분방정식|미분 방정식]]과 초기 상태라는 주어진 한 점에서 알 수 없는 함수의 값이 주어진 문제이다. [[물리학]]이나 다른 과학, 모델링 시스템에서 자주 양을 해결하는 초기 값 문제이다. 이러한 맥락에서, 미분 방정식은 어떻게 변화하는지를 지정한 방정식이며, 초기 조건이 주어졌을 때, 계가 [[시간 변화|시간에 따라 변화]]하게 만든다.

== 정의 ==
'''초기 값 문제'''는 다음의 미분 방정식
: <math>y'(t)=f(t,y(t))</math> 이고 함수 <math>f</math>가 <math>f\colon \Omega \subset {\mathbb  {R}}\times {\mathbb  {R}}^{n}\to {\mathbb  {R}}^{n}</math>에서 정의되어 있고, <math>\Omega</math>는 <math>\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n</math>의 열린 집합이다과 [[초기 상태]]라는 <math>f</math>의 한 점에서의 값이 있는 문제이다.

<math>(t_0,y_0)\in\Omega</math>
초기 값 문제의 솔루션은 다음을 만족하는 미분방정식의 솔루션인 함수 <math>y</math>이다.
: <math>y(t_0)=y_0</math>.
높은 차원에서, 미분 방정식은 <math>y'_i(y)=f_i(t,y_1(t),y_2(t),\dots)</math>으로 대체되고, <math>y(t)</math> 는 벡터 <math>(y_1(t),\dots,y_n(t))</math>로 나타났다. 더 일반적으로, 모르는 함수 <math>y</math>는 [[바나흐 공간]]이나 공간의 [[분포 (해석학)|분포]]와 같은 무한 차원의 공간에서 값을 가질 수 있다.

초기 값 문제는 독립적인 함수와 같은 방법으로 유도되게 처리함으로 인해 높은 차원으로 확장될 수 있다,예를 들면 다음과 같다.

<math>y''(t)=f(t,y(t),y'(t))</math>

== 솔루션의 존재여부와 유일성 ==
초기값 문제(IVP)에서, [[근 (수학)|솔루션]](해)의 존재와 고유성은 [[해석학 (수학)|해석학]]적 증명을 통해 설명할 수 있다.

[[피카르-린델뢰프 정리]]는 ƒ가 t0와 y0를 포함하는 구간 내에서 연속적이고 변수 y가 [[립시츠 연속 함수|립시츠 조건]]을 만족 할 때, ''t''<sub>0</sub>를 포함하는 구간 내에서 유일한 솔루션이 있음을 보장한다. 이 정리는 문제를 동등한 [[적분 방정식]]으로 재 형성함으로 증명이 가능하다.이 적분은 한 함수에서 다른 함수로 매핑되는 연산으로 고려될 수 있으며, 그 솔루션은 그 연산의 [[고정점]]이 된다. 초기치 문제의 솔루션인 유일한 고정점이 존재한다는것을 보이기 위하여 [[바나흐 고정점 정리]]를 사용한다.

이전의 피카르-린델뢰프 정리의 증명은 적분 방정식의 솔루션이자 초기값 문제의 솔루션에 수렴하는 함수의 시퀀스를 생성한다. 이러한 구조는"피카르의 방법"또는"연속 근사 방법"이라고 불린다. 이 방법은 바나흐 고정점 정리의 특별한 경우에 해당한다.

[[Hiroshi Okamura|오카무라 히로시]]는 [[필요충분조건|필요 충분 조건]]으로 초기치 문제의 솔루션은 유일하다는것을 얻었다. 이 조건은 시스템에 대한 [[Lyapunov function|Lyapunov 함수]]의 존재와 관계가 있다.

어떤 때는 함수 ƒ는 [[매끄러운 함수|''C''<sup>1</sup>클래스]]가 아니거나 [[립시츠 연속 함수|립시츠 연속함수]]일 때도 있다. 그래서 보통의 결과는 지역적으로 유일한 솔루션이 존재하는 것을 보장하지 않는다. 하지만 [[Peano existence theorem|페아노 존재 정리]]는 ƒ가 연속이면 항상 지역적으로 솔루션이 존재하는 것을 보장한다;문제는 유일성을 보장할 수 있는 것은 없다는 것이다. 이 결과는 Coddington&Levinson(1955,정리 1.3)이나 Robinson(2001년,정리 2.6)에서 찾을 수도 있다. 더 일반적인 결과는 [[Carathéodory existence theorem|Carathéodory 존재 정리]]이며, 이것은 불연속적인 함수 ƒ에서 존재성을 증명할 수 있다.

== 예시 ==
간단한 예로 <math>y' = 0.85 y</math> 와 <math>y(0) = 19</math>. 우리는 이 두 식을 만족하는 식 <math>y(t)
</math>를 찾으려고 한다.

<math>y'={dy \over dt}</math>를 적고 시작하면, 다음과 같다.
: <math>{dy \over dt}=0.85y</math>
이제 식을 <math>y</math>가 왼쪽에 있고 <math>t</math>가 오른쪽에 있도록 정리하자.
: <math>\frac{dy}y=0.85dt</math>
이제 양변을 적분하자(이것은 모르는 상수 <math>B</math>를 생성한다).
: <math>\ln\left\vert y \right\vert= 0.85t+B</math>
<math>\ln</math>을 제거하자
: <math> | y | = e^Be^{0.85t} </math>
 <math>C</math>를 다음과 같이 정의된 새로운 상수로 두자;<math>C=\pm e^B</math>, 그러면 다음과 같이 변형된다.
: <math>y=Ce^{0.85t}</math>
이제 우리는 <math>C</math>의 값을 알 필요가 있다. 주어진 식인 <math>y(0) = 19</math>를 사용하여 0을 <math>t </math>에, 19를 <math>y</math>에 대입해 보자.
: <math>{\displaystyle 19=Ce^{0.85\cdot 0}}</math>
: <math> C = 19 </math>
이것으로 최종적인 솔루션은 <math> y(t) = 19e^{0.85t}</math>다.
; 두 번째 예제
아래의 식에서
: <math>y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3</math>
다음의 솔루션을 알 수 있다.
: <math>y(t)=2e^{-3t}+2t+1</math>
왜나하면,
: <math> \begin{align}
y'+3y &= \tfrac{d}{dt} (2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1) \\
      &= (-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3) \\
      &= 6t+5.
\end{align} </math>

== 같이 보기 ==
* [[경계값 문제]]
* [[적분상수|정의 통합]]
* [[Integral curve|적분 곡선]]

== 참고 문헌 ==
{{참고 자료 시작}}
* {{서적 인용|author1=Coddington, Earl A.|author2=Levinson, Norman|title=Theory of ordinary differential equations|url=https://archive.org/details/theoryofordinary00codd|publisher=McGraw-Hill Book Company, Inc.|location=New York-Toronto-London|year=1955}}
* {{서적 인용|author=[[Morris W. Hirsch|Hirsch, Morris W.]] and [[Stephen Smale|Smale, Stephen]]|title=Differential equations, dynamical systems, and linear algebra|publisher=Academic Press|location=New York-London|year=1974}}
* {{저널 인용|last=Okamura|first=Hirosi|title=Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano|journal=Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A.|volume=24|year=1942|language=프랑스어|pages=21–28|mr=0031614}}
* {{서적 인용|author1=Agarwal, Ravi P.|author2=Lakshmikantham, V.|title=Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations|url=https://books.google.com/books?id=q4OkW4H8BCUC|series=Series in real analysis|volume=6|year=1993|publisher=World Scientific|isbn=978-981-02-1357-2}}
* {{서적 인용|author1=Polyanin, Andrei D.|author2=Zaitsev, Valentin F.|title=Handbook of exact solutions for ordinary differential equations|edition=2nd|publisher=Chapman &amp; Hall/CRC|location=Boca Raton, FL|year=2003|isbn=1-58488-297-2}}
* {{서적 인용|last=Robinson|first=James C.|title=Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|year=2001|isbn=0-521-63204-8}}
* (인문사회학을 위한 수학 -미적분학과 응용,최정환,고려대학교출판문화원)https://kupress.com/books/9123/ {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20200814231035/https://kupress.com/books/9123/}}
{{참고 자료 끝}}
{{전거 통제}}

[[분류:경계 조건]]