초구면 좌표계 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''초구면 좌표계'''(Hyperspherical Coordinates)란 [[구면좌표계]]의 임의 차원 [[유클리드 공간]]에 대한 일반화이다. 3차원보다 높은 차원의 문제에서는 가능한 좌표계의 수가 지나치게 많고 다루기도 복잡하여 보통 [[직교 좌표계]]를 사용한다. 그러나 일반적으로 초구면 좌표계는 정의하기가 다른 고차원 좌표계들에 비해 상대적으로 쉬우며, 원점에 어느 정도의 대칭성을 가진 문제들은 직교 좌표계로 다루기가 오히려 복잡할 수 있으므로 이 좌표계는 직교 좌표계 다음으로 종종 사용된다. 특히 [[초구체]]와 같은 특수한 경우들을 다룰 때에는 아주 유용하다.

==정의==
구면 좌표계에서는 '''원점으로부터의 거리''' <math>r</math>, '''z축으로부터의 각''' <math>\theta</math>, '''x축으로부터의 각'''<math>\phi</math>를 정의하여 <math>(r, \theta, \phi)</math> 와 같이 세 개의 성분으로 위치를 정했다. 이와 유사하게, n-차원 초구면 좌표계에서는 원래의 직교 성분 <math>(x, y, z)</math>에 추가된 '''직교 성분 <math>(x_1, x_2, ..., x_{n-3})</math>으로부터의 각''' <math>(\theta_2, \theta_3, ..., \theta_{n-2})</math>을 좌표계에 추가하여 <math>(r, \phi, \theta_1, \theta_2, \theta_3, ..., \theta_{n-2})</math>의 n개의 성분으로 위치를 지정한다. 이때 각의 범위는 원래의 좌표계에서 방위각(Azimuth)과 고도(Polar Angle)가 각각 <math>0</math> ~ <math>2\pi</math>, <math>0</math> ~ <math>\pi</math>였던 것에 추가하여, 나머지 n-3개의 각 성분은 마찬가지로 고도와 유사하게 <math>0</math> ~ <math>\pi</math>까지의 범위를 갖는다. 아무리 차원을 증가시키더라도 방위각 성분은 일정하게 단 하나만 존재한다.

==직교좌표와의 좌표 변환==
여기에서는 간단한 예를 들기 위해서 4차원의 경우를 먼저 다루고, 다음으로 임의 차원을 다룬다.

===4차원===
가장 간단한 경우인 4차원 초구면 좌표계에서 좌표 변환식은 다음과 같다.(여기에서 4번째 직교 성분을 <math>w</math>라 쓴다)

* 직교좌표계에서 초구면좌표계로 변환시:
:<math>
\begin{align}
r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + w^2} \\
\phi &= \arctan\frac{y}{x} \\
\theta_1 &= \arctan\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \\
\theta_2 &= \arctan\frac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{w}
\end{align}
</math>
이와 같은 직교좌표계 변환식은 방위각 성분과 고도 성분들의 중요한 차이를 나타낸다. 방위각 성분은 <math>(x, y)</math>가 <math>(a_0, b_0)</math>와 <math>(-a_0, -b_0)</math>일 때 동일한 값을 두 번 가질 수 있기 때문이다.

* 초구면좌표계에서 직교좌표계로 변환시:
:<math>
\begin{align}
x &= r \cos\phi \sin\theta_1 \sin\theta_2 \\
y &= r \sin\phi \sin\theta_1 \sin\theta_2 \\
z &= r \cos\theta_1 \sin\theta_2 \\
w &= r \cos\theta_2
\end{align}
</math>

===n차원===
임의 차원에서 좌표 변환식은 다음과 같다.

* 직교좌표계에서 초구면좌표계로 변환시:
:<math>r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + x_1^2 + ... + x_{n-3}^2}</math>
:<math>\phi = \arctan\frac{y}{x}</math>
:<math>\theta_1 = \arctan\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}</math>
:<math>\theta_2 = \arctan\frac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{x_1}</math>
:<math>\theta_3 = \arctan\frac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + x_1^2}}{x_2}</math>
:...
:<math>\theta_{n-2} = \arctan\frac{\sqrt{x^2 + y^2 + ... + x_{n-4}^2}}{x_{n-3}}</math>

* 초구면좌표계에서 직교좌표계로 변환시:
:<math>x_{n-3} = r \cos\theta_{n-2}</math>
:<math>x_{n-4} = r \cos\theta_{n-3} \sin\theta_{n-2}</math>
:<math>x_{n-5} = r \cos\theta_{n-4} \sin\theta_{n-3} \sin\theta_{n-2}</math>
:...
:<math>z = r \cos\theta_1 \sin\theta_2 ... \sin\theta_{n-2}</math>
:<math>y = r \sin\phi \sin\theta_1 \sin\theta_2 ... \sin\theta_{n-2}</math>
:<math>x = r \cos\phi \sin\theta_1 \sin\theta_2 ... \sin\theta_{n-2}</math>

==좌표 변환 표현의 증명==
4차원의 경우에 먼저 증명하고 나서, 같은 논리를 [[수학적 귀납법]]에 따라 동일하게 적용할 수 있다. 그러므로 4차원만 증명하면 된다.

일반적으로 4차원 초구면 좌표 변환은,
:<math>
\begin{align}
x &= r \cos\phi \sin\theta_1 f_1(\theta_2) \\
y &= r \sin\phi \sin\theta_1 f_2(\theta_2) \\
z &= r \cos\theta_1 f_3(\theta_2) \\
w &= r f_4(\theta_2)
\end{align}
</math>
와 같이 쓸 수 있다. 모든 변수들은 서로 독립이며, 4차원 유클리드 공간에서 3-평입체의 방정식 <math>w = 0</math> 은 3차원 구면 좌표계와 동일하게 매개변수화되어야 하기 때문이다. 그런데, 유클리드 노름의 정의에 의해서,
:<math>r^2 = x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = r^2[f_4^2 + \cos^2\theta_1 f_3^2 + \sin^2\phi \sin^2\theta_1 f_2^2 + \cos^2\phi \sin^2\theta_1 f_1^2]</math>
처럼 쓸 수 있고, <math>r^2</math>를 소거하고 [[삼각함수]] 항등식에 의해 식을 묶으면,
:<math>1 = [f_4^2 + f_3^2] + \sin^2\theta_1[f_2^2 - f_3^2] + \sin^2\theta_1 \cos^2\phi^2[f_1^2 - f_2^2]</math>
이 된다. 이 식은 각 변수들에 대해 독립적인 항등식이다.

여기서 우선 <math>[f_4^2 + f_3^2] = 1</math> 식에서 매개변수를 취해 <math>f_4 = \cos\theta_2 ; f_3 = \sin\theta_2</math>로 둔다. 그러면 항등식의 나머지 부분에서,
:<math>\sin^2\theta_2 = f_3^2 = f_2^2 = f_1^2</math>
를 얻는다. 이제 처음의 조건, 즉 <math>w = 0</math>은 3차원 구면 좌표계와 동일하게 매개변수화되어야 한다는 조건을 다시 적용하면,
:<math>\sin\theta_2 = f_2 = f_1</math>
와 같은 식을 얻는다. 이제까지의 결과를 이용해 다시 직교좌표에서 초구면좌표로의 변환식을 구성해 보면, <math>\theta_2</math>의 범위에 관한 사항을 얻을 수 있다.

==몇 가지 성질들==
이 경우 논의의 지나친 복잡성을 피하기 위해 4차원에서만 논의한다. 이하의 논의는 상응하는 계산을 통해 마찬가지 방식으로 n차원으로 일반화할 수 있다.
===4차원===
위의 좌표변환식과 3차원에서의 정의와 동일한 형태의 정의를 이용해 길이 요소를 구해 보면,
:<math>\sqrt{dr^2 + r^2 \sin\theta_1^2 \sin\theta_2^2 d\phi^2 + r^2 \sin\theta_2^2 d\theta_1^2 + r^2 d\theta_2^2}</math>
와 같이 된다. 즉, [[기울기 (벡터)| 기울기]] 연산자는,
:<math>\nabla = \boldsymbol{\hat r}\frac{\partial}{\partial r} + \boldsymbol{\hat \theta_2}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta_2} + \boldsymbol{\hat \theta_1}\frac{1}{r\sin\theta_2}\frac{\partial}{\partial \theta_1} + \boldsymbol{\hat \phi}\frac{1}{r \sin\theta_2 \sin\theta_1}\frac{\partial}{\partial \phi}</math>
처럼 된다. ([[발산 (벡터)|발산]] 연산자와 [[라플라시안]] 연산자 또한 이 기울기 연산자와 교과서적인 일반 좌표계에서의 유도 방법을 통해 얻을 수 있다)

위의 식에서, <math>h_{q_i}</math>들을 명시적으로 알 수 있으므로, 이제 4-부피 요소를 적어 보면
:<math>r^3\sin{\theta_1} \sin ^2{\theta_2} dr d\phi d\theta_1 d\theta_2</math>
와 같이 된다. 따라서 반지름 <math>R</math>인 초구체 상에서의 3-부피 요소는
:<math>R^3\sin{\theta_1} \sin ^2{\theta_2} d\phi d\theta_1 d\theta_2</math>
이 되며, 4차원 미소 [[초구면각]]은
:<math>\sin{\theta_1} \sin ^2{\theta_2} d\phi d\theta_1 d\theta_2</math>
이 된다.

== 같이 보기 ==
* [[초구체]]
* [[초구면각]]
* [[구면좌표계]]
* [[극좌표계]]
* [[구면 조화 함수]]

[[분류:좌표계]]