초구 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''초구'''(超球, {{llang|en|hypersphere}})는 2차원 곡면인 [[구 (기하학)|구]]를 임의의 차원으로 일반화한 공간이다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 '''초구''' <math>S^n</math>은 <math>n+1</math>차원 [[유클리드 공간]]에서, [[원점]]에서 일정한 거리에 있는 점들의 부분 공간이다.
:<math>\mathbb S^n = \{x\in\mathbb R^{n+1}\colon \|x\|=1\}</math>
이는 [[유클리드 공간]]으로부터 [[리만 계량]]을 이어받아 <math>n</math>차원 [[리만 다양체]]를 이룬다.

이는 다음과 같이 [[직교군]] 또는 [[스핀 군]]에 대한 [[동차 공간]]으로 여길 수 있다.
:<math>\mathbb S^n \cong \operatorname{SO}(n+1)/\operatorname{SO}(n) \cong \operatorname{Spin}(n+1)/\operatorname{Spin}(n)</math>

== 성질 ==
=== 넓이와 부피 ===
반지름이 <math>r</math>인 ''n''차원 초구의 초부피는
:<math>V_n={\pi^\frac{n}{2}\over \frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} r^n ={C_n r^n}</math>
이다. 여기서 <math>\Gamma</math>는 [[감마 함수]]이다.

<math>n</math>차원 초구의 겉부피는
:<math>S_{n-1} ={ {2\pi^{{n}\over{2}} } \over {\Gamma \left({{n}\over{2}} \right)}  } r^{n-1}</math>
이다. 예를 들어, 4차원 초구의 초부피는 <math>{\pi^2 r^4} \over {2} </math>이고, 겉부피는 <math> {2\pi^2 r^3} </math>이다.

=== 호몰로지와 호모토피 ===
초구의 [[특이 호몰로지]]와 [[특이 코호몰로지]]는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H_i(\mathbb S^n) \cong \begin{cases}
\mathbb Z& i \in\{0,n\} \\
0 & i \not \in \{0,n\}
\end{cases}</math>
:<math>\operatorname H^i(\mathbb S^n) \cong \begin{cases}
\mathbb Z& i \in\{0,n\} \\
0 & i \not \in \{0,n\}
\end{cases}</math>
[[드람 코호몰로지]]에서, 이 코호몰로지류는 [[상수 함수]] 및 [[부피 형식]]의 상수배에 의하여 대표된다.

초구의 호모토피 군은 일반적으로 매우 복잡하며, 아직 완전히 계산되지 못했다.

:{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!
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|-
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|-
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|-
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|style="background:#DDDDFF; border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px"| ℤ<sub>2</sub>
|style="background:#FFFFCC; border-bottom: solid black 2px"| ℤ&times;ℤ<sub>120</sub>
|}

초구 <math>S^n</math>의 (비축소) 복소수 [[위상 K군]]들은 다음과 같다.<ref name="Zois">{{저널 인용|제목=18 lectures on K-Theory|이름=Ioannis P.|성=Zois|arxiv=1008.1346|bibcode=2010arXiv1008.1346Z|날짜=2010-08|언어=en}}</ref>{{rp|39}}
:<math>\operatorname{KU}^0(\mathbb S^{2n})=\mathbb Z^2</math>
:<math>\operatorname{KU}^1(\mathbb S^{2n})=0</math>
:<math>\operatorname{KU}^0(\mathbb S^{2n+1})=\mathbb Z</math>
:<math>\operatorname{KU}^1(\mathbb S^{2n+1})=\mathbb Z</math>
초구의 축소 복소수 [[위상 K군]]들은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{\widetilde{KU}}^0(\mathbb S^{2n})=\operatorname{\widetilde{KU}}^1(\mathbb S^{2n+1})=\mathbb Z</math>
:<math>\operatorname{\widetilde{KU}}^1(\mathbb S^{2n})=\operatorname{\widetilde{KU}}^0(\mathbb S^{2n+1})=0</math>
초구의 축소 실수 [[위상 K군]]들은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|이름=Sergei|성=Gukov|제목=K-theory, reality, and orbifolds|날짜=1999|arxiv=hep-th/9901042|언어=en}}</ref>{{rp|§3.1}}
:<math>\operatorname{\widetilde{KO}}^m(\mathbb S^n) = 
\begin{cases}
\mathbb Z&n-m\equiv 0,4\pmod8\\
\mathbb Z/(2)&n-m\equiv 1,2\pmod8\\
0&n-m\equiv 3,5,6,7\pmod8
\end{cases}</math>

=== 세포 복합체 구조 ===
<math>n</math>차원 초구는 표준적으로 하나의 0차원 세포와 하나의 <math>n</math>차원 세포를 가지는 [[세포 복합체]] 구조를 갖는다.

=== 리 군과의 관계 ===
==== 초구 위의 리 군 구조 ====
[[리 군]]과 [[미분 동형]]인 초구는 다음이 전부이다.
:<math>\mathbb S^0 \cong \operatorname{Cyc}(2)</math> (2차 [[순환군]])
:<math>\mathbb S^1 \cong \operatorname U(1)</math> ([[원군]])
:<math>\mathbb S^3 \cong \operatorname{SU}(2)</math> ([[SU(2)|2차 특수 유니터리 군]])
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
1차원 이하의 경우는 자명하다. 2차원 이상의 초구는 콤팩트 [[단일 연결 공간]]이다. 콤팩트 단일 연결 리 군은 [[단순 리 군]]들의 [[직접곱]]이며, [[단순 리 군]]의 3차 코호몰로지는 항상 자명하지 않다. 따라서 가능한 경우는 3차원 초구 밖에 없다. (이 경우는 [[SU(2)]]와 [[미분 동형]]이다.)
</div></div>

==== 동차 공간으로의 표현 ====
초구 <math>\mathbb S^n</math>가 다음과 같이 리 군으로 표현된다고 하자.
:<math>\mathbb S^n \cong G / H</math>
여기서
* <math>\cong</math>은 [[미분 동형]]이다. (이를 [[호모토피 동치]]로 약화시켜도 이 분류는 마찬가지로 성립한다.)
* <math>G</math>는 연결 콤팩트 리 군이다.
* <math>H</math>는 <math>G</math>의 닫힌 부분군이다.
* <math>G</math>는 <math>\mathbb S^n</math> 위의 유효 작용을 가지며, 이는 기약 작용이다.
그렇다면, 이러한 표현은 다음이 전부이다.<ref>{{저널 인용|제목=Almost transitive actions on spaces with the rational homotopy of sphere products|저널=Journal of Lie Theory|이름=Oliver |성=Bletz‐Siebert|권=15|날짜=2005|쪽=1–11|url=http://www.heldermann-verlag.de/jlt/jlt15/bletzla2e.pdf|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 10}}
{| class=wikitable
! ''G'' !! ''H'' !! 초구의 차원
|-
| [[특수 직교군|SO(''n''+1)]] || SO(''n'') || ''n''
|-
| [[특수 유니터리 군|SU(''k'')]] || SU(''k''−1) || 2''k''−1 (''k''≥2)
|-
| [[심플렉틱 군|Sp(''k'')]] || Sp(''k''−1) || 4''k''−1 (''k''≥2)
|-
| [[G₂|G<sub>2</sub>]] || [[SU(3)]] || [[6차원 초구|6]]
|-
| [[스핀 군|Spin(7)]] || [[G₂|G<sub>2</sub>]] || [[7차원 초구|7]]
|-
| [[스핀 군|Spin(9)]] || [[스핀 군|Spin(7)]] || 15
|}

특히, <math>\mathbb S^n = \operatorname{SO}(n+1)/\operatorname{SO}(n)</math>이므로, 모든 초구는 [[대칭 공간]]이다.

== 예 ==
0차원 초구 <math>S^0</math>은 두 점으로 이루어진 [[이산 공간]]이다.

1차원 초구는 [[원 (기하학)]]이다. 2차원 초구는 일반적인 [[구 (기하학)|구]]다. [[3차원 초구]]는 [[리 군]] [[SU(2)]]와 동형이다.

3차원 이상의 초구는 [[호프 올뭉치]]에 등장한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Sphere}}
* {{매스월드|id=Hypersphere|title=Hypersphere}}
* {{nlab|id=sphere|title=Sphere}}
* {{nlab|id=group actions on spheres|title=Group actions on spheres}}
* {{수학노트|title=초구(hypersphere)}}
* {{수학노트|title=N차원 구면}}
* {{수학노트|title=N차원 구면의 부피(면적)}}

{{차원}}

{{전거 통제}}

[[분류:기하학]]
[[분류:고차원 기하학]]