초공간 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|초공간 (공상과학)}}
{{초대칭}}
'''초공간'''(超空間, {{llang|en|superspace}})은 [[초대칭]] 전하를 [[운동량]]과 동등하게 다루기 위하여, [[시공]]에 초대칭 전하를 생성하는 [[반가환수|반가환]] [[스피너]] [[좌표]]를 추가하여 얻는 공간이다.<ref>{{서적 인용|제목=Superspace, or One thousand and one lessons in supersymmetry|저자=S. J. Gates, Jr.|공저자=M.T. Grisaru, M. Rocek, W. Siegel|arxiv=hep-th/0108200|bibcode=2001hep.th....8200G|출판사=Benjamin-Cummings|isbn=0805331603|연도=1983|기타=Frontiers of Physics 58}}</ref><ref>{{서적 인용|장=[http://zippy.physics.niu.edu/primer.html A supersymmetry primer]|이름=Stephen P.|성=Martin|doi=10.1142/9789814307505_0001|제목=Perspectives on Supersymmetry II|기타=Advanced Series on Directions in High Energy Physics 21|출판사=World Scientific|위치=[[싱가포르|Singapore]]|날짜=2010-04|쪽=1–153|isbn=978-981-4307-48-2|arxiv=hep-ph/9709356|bibcode=2010ASDHE..21....1M}} 구판 {{서적 인용|기타=Advanced Series on Directions in High Energy Physics 18|제목=Perspectives On Supersymmetry|url=https://archive.org/details/perspectivesonsu0000unse_y6n5|장= A supersymmetry primer|이름=Stephen P.|성=Martin|doi=10.1142/9789812839657_0001|쪽=[https://archive.org/details/perspectivesonsu0000unse_y6n5/page/n26 1]–98|출판사=World Scientific|위치=[[싱가포르|Singapore]]|isbn=978-981-02-3553-6|날짜=1998-07|bibcode=1998pesu.conf....1M}}</ref>{{rp|29–48}}
이 위에 [[초장 (물리학)|초장]]을 자연스럽게 정의할 수 있다. 초대칭을 다루는 여러 [[형식 체계]] 가운데 하나로, 특히 비확장 (<math>N=1</math>) 평탄한 초대칭을 다룰 때 유용하나, [[확장 초대칭]]이나 [[초중력]]에서도 쓸 수 있다. [[압두스 살람]]과 존 스트래스디({{lang|en|John Strathdee}})가 [[1974년]]에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Abdus|성=Salam|저자링크=압두스 살람|공저자=John Strathdee|날짜=1974-07-18|제목=Super-gauge transformations|저널=Nuclear Physics B|권=76|호=3|쪽=477–201|doi=10.1016/0550-3213(74)90537-9|bibcode=1974NuPhB..76..477S}}</ref>

일반 장론의 경우, 마당은 [[시공]] 위에 분포하여, 좌표 공간이 시공과 같지만, [[초장 (물리학)|초장]]의 경우, 그 좌표 공간은 시공의 좌표 말고도 반가환 (그라스만) 차원을 포함한다. 이 차원은 대개 반가환 [[스피너|바일 스피너]]로 나타낸다. 만약 <math>N</math>개의 초대칭이 있다면, 각 초대칭에 하나의 왼손 반가환 스피너와 하나의 오른손 반가환 스피너가 대응돼, 총 <math>4N</math>개의 복소 차원이 추가된다. 즉 초공간 위의 한 점은 다음과 같이 적는다.
:<math>X=(x^\mu,\theta_1^\alpha,\bar\theta^{\dot\alpha}_1,\dots,\theta_N^\alpha,\bar\theta_N^{\dot\alpha})</math>
여기서 <math>\theta^\alpha_i</math>와 <math>\theta^{\dot\alpha}_i</math>는 반가환 (왼손, 오른손) 바일 스피너 차원이고, <math>x^\mu</math>는 민코프스키 차원이다.

[[반가환수]]의 [[테일러 급수]]는 유한하므로, 초장은 실제 시공 위에서는 일련의 일반적 마당으로 나타나게 된다.
== 손지기 초공간 ==
손지기 초장은 좌표 변환을 통하여 일반적인 초공간 대신에 스피너 좌표의 일부를 없앤 '''손지기 초공간'''({{llang|en|chiral superspace}}) 위에 정의할 수 있다. 예를 들어, 비확장 초대칭의 경우 왼손지기 초공간은 좌표 <math>x^\mu</math>와 <math>\theta^\alpha</math>만을 가지고, <math>\bar\theta^{\dot\alpha}</math>를 포함하지 않는다.

== 수학적 정의 ==
초공간은 수학적으로 [[초다양체]]로 나타낸다. 초다양체는 [[비가환 공간]] (noncommutative space)의 특별한 경우로, 다만 그 비가환성이 일반적인 비가환 공간보다 매우 적다. 비가환 공간은 일반적 공간의 가환적인 구조를 [[대수학]]적으로 추출하여 일반화한 것으로, 일반적인 기하학적 구조 ([[위상 공간 (수학)|위상 공간]], [[거리 공간]])를 따르지 않는다. 이에 따라, 초공간을 형식적인 구조 이상으로 해석하기 힘들다.
=== 평탄한 초공간 ===
평탄한 초공간은 [[곡률]]이 없으므로 상대적으로 다루기 쉽다. [[민코프스키 공간]] <math>\mathbb R^{p,q}</math>은 [[푸앵카레 군]] ISO(p,q)에서 로렌츠 군 SO(p,q)에 대한 [[잉여류]] 공간(여기서는 로렌츠 군이 [[정규 부분군]]이므로 [[몫군]])으로 나타낼 수 있다.

마찬가지로 평탄한 초공간은 초푸앵카레 군을 로렌츠 군에 대한 잉여류로 정의할 수 있다. 이를 위하여, 초푸앵카레 군의 페르미온적 생성자를 반가환 스피너로 생각하여, 형식적으로 모든 괄호를 교환자로 만든다. 따라서, 초공간의 좌표는 [[4차원 벡터]]와 일련의 그라스만 스피너로 나타내어지게 된다.

평탄한 초공간은 곡률이 없지만 (평탄성), [[꼬임]]을 가진다. 따라서 [[공변 미분]]을 정의하여야 한다.

== 같이 보기 ==
* [[사영 초공간]]
* [[리 초대수]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Concise Encyclopedia of Supersymmetry and Noncommutative Structures in Mathematics and Physics|url=https://archive.org/details/conciseencyclope0000unse_o0z6|출판사=Springer|성=Duplij|이름=S.|isbn=978-1-4020-1338-6|연도=2004|doi=10.1007/1-4020-4522-0}}

[[분류:기하학]]
[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:초대칭]]