체 (수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조|expanded=체}}

'''체'''(體, {{llang|de|Körper}}, {{llang|fr|corps}}, {{llang|en|field}})는 [[추상대수학]]에서 [[사칙연산]]이 자유로이 시행될 수 있고 [[산술]]의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 [[대수 구조]]이다. 모든 체는 [[가환환]]이지만, 그 역은 성립하지 않는다.  체를 연구하는 [[추상대수학]]의 분야를 '''체론'''(體論, {{llang|de|Körpertheorie}}, {{llang|fr|théorie des corps}},{{llang|en|field theory}})이라고 한다.

== 정의 ==
'''체'''는 [[가환환]]인 [[나눗셈환]]이다. 구체적으로, 다음 조건들을 만족시키는 [[가환환]] <math>(K,+,-,\cdot,0,1)</math>을 체라고 한다.
* <math>0\ne1</math>이다. (여기서 <math>0\in K</math>은 체의 덧셈의 항등원, <math>1\in K</math>은 체의 곱셈의 항등원이다.)
* 0을 제외한 모든 원소가 [[가역원]]이다. 즉, 임의의 <math>a\in K</math>에 대하여, 만약 <math>a\ne0</math>라면 <math>ab=ba=1</math>인 <math>b\in K</math>가 존재한다.
임의의 체의 기호는 보통 {{llang|en|field|필드}}나 {{llang|de|Körper|쾨르퍼}}의 머릿글자를 따서 ''F''나 ''k'' 또는 ''K'' 등으로 쓴다.

체의 [[준동형]]은 [[환 (수학)|환]]으로서의 [[환 준동형|준동형]]과 같으며, 체 사이의 [[환 준동형]]을 [[체의 확대]]라고 한다. 체의 확대는 항상 [[단사 함수]]이다.

== 성질 ==
=== 환론적 성질 ===
모든 체는 다음 조건들을 만족시킨다.
* [[유클리드 정역]]이며, 따라서 [[주 아이디얼 정역]]이자 [[유일 인수 분해 정역]]이자 [[데데킨트 정역]]이자 [[정역]]이다.

[[가환환]] <math>R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* <math>R</math>는 체이다.
* <math>R</math>는 정확히 두 개의 [[아이디얼]]을 갖는다. (이는 물론 영 아이디얼 <math>(0)</math>과 전체 아이디얼 <math>(1)</math>이다.)
* <math>R</math>의 영 아이디얼이 [[극대 아이디얼]]이다.
따라서, 체 <math>K</math>의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] (=0차원 <math>K</math>-[[아핀 공간]]) <math>\operatorname{Spec}K</math>는 [[한원소 공간]]이다.

체 위의 모든 [[가군]]들은 [[자유 가군]]이며, 이러한 가군을 [[벡터 공간]]이라고 한다.

=== 범주론적 성질 ===
체와 [[체의 확대]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Field}</math>는 [[가환환]]의 범주 <math>\operatorname{CRing}</math>의 [[충만한 부분 범주]]이다. 이 범주에서는 [[곱 (범주론)|곱]]이나 [[쌍대곱]]이 존재하지 않는다.

[[집합]]의 범주로 가는 망각 함자 <math>\operatorname{Field}\to\operatorname{Set}</math>가 존재한다. 다른 [[대수 구조]]의 범주와 달리, 망각 함자는 [[수반 함자]]를 갖지 않는다. 즉, "자유체"라는 것은 존재하지 않는다. 이는 체의 모임이 [[대수 구조 다양체]]를 이루지 않기 때문이다.

체의 범주에서, 모든 [[사상 (수학)|사상]]은 [[단사 사상]]이다. 체의 범주는 [[연결 범주]]가 아니며, 연결 성분들은 각 [[체의 표수]] <math>p=0,2,3,5,\dots</math>에 대한, 표수 <math>p</math>의 체들의 범주 <math>\operatorname{Field}_p</math>이다. <math>\operatorname{Field}_p</math>의 [[시작 대상]]은 [[유한체]] <math>\mathbb F_p</math> (<math>p>0</math>) 또는 [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math> (<math>p=0</math>)이다. [[끝 대상]]은 존재하지 않는다.

=== 모형 이론적 성질 ===
체는 가환환의 부호수 <math>\langle+,\cdot,-,0,1\rangle</math>의 [[대수 구조]]이다. 이 구조가 체를 이루려면, [[가환환]]의 공리에 추가로 다음 성질을 만족시켜야 한다.
:<math>\forall a\exists b\colon ab=ba=1</math>
이는 존재 기호 <math>\exists</math>가 사용되었으므로 방정식형 공리가 아니다. 따라서, 체의 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[대수 구조 다양체]]를 이루지 않는다. 이에 따라, 체는 대수 구조 다양체의 일반적인 성질([[직접곱]]의 존재, 자유 대수의 존재)들을 공유하지 않는다.

물론, 방정식형 공리에 국한하지 않는다면, 체는 [[1차 논리]]로 공리화할 수 있다. 마찬가지로, [[완전체]]나 [[대수적으로 닫힌 체]] 등은 1차 논리로 공리화할 수 있고, "[[체의 표수]]가 <math>p</math>"라는 사실 역시 [[1차 논리]]로 공리화할 수 있다. 반면, 어떤 체가 [[유한체]]라는 사실은 1차 논리로 공리화할 수 없다. 즉, 유한체의 1차 논리 이론은 무한 모형을 갖는다. 주어진 표수의 [[대수적으로 닫힌 체]]의 이론은 모든 [[비가산 집합|비가산]] [[집합의 크기|크기]]에서 유일성({{llang|en|categoricity}})을 보인다. 즉, 주어진 표수 및 비가산 크기의 대수적으로 닫힌 체들은 모두 서로 [[동형]]이다.

== 분류 ==
모든 체 <math>K</math>는 '''[[체의 표수]]''' <math>\operatorname{char}K</math>로 일차적으로 분류된다. 표수  <math>p</math>는 0이거나 [[소수 (수론)|소수]]이다.

모든 체 <math>K</math>는 항상 다음과 같은 [[체의 확대]]로 나타낼 수 있다.
:<math>K/K_{\text{tr}}/K_0</math>
여기서
* <math>K_0</math>는 (<math>\operatorname{char}K>0</math>인 경우) [[유한체]] <math>\mathbb F_p</math> 또는 (표수 0인 경우) [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>와 동형이다.
* <math>K_{\text{tr}}/K_0</math>는 순수 [[초월 확대]]이다. 즉, <math>K_{\text{tr}}</math>는 [[유리 함수체]] <math>K_0(\{x_i\}_{i\in I})</math>와 동형이다. 이러한 초월 확대는 [[기수 (수학)|기수]]인 [[초월 차수]] <math>|I|</math>로서 완전히 분류된다.
* <math>K/K_{\text{tr}}</math>는 [[대수적 확대]]이다. 즉, <math>K</math>는 [[대수적 폐포]] <math>\bar K_{\text{tr}}</math>의 부분체이다. 이러한 대수적 확대는 일차적으로 차수 <math>\dim_{K_{\text{tr}}}K</math>로서 분류되나, 대수적 확대의 일반적인 분류는 모든 [[대수다양체]]의 ([[유리 함수층|유리 함수체]]의) 분류와 [[동치]]이므로 일반적으로 불가능하다고 여겨진다.

특정한 종류의 체들은 완전히 분류가 가능하다. 예를 들어, 모든 [[유한체]]는 [[집합의 크기]]에 의하여 완전히 분류되고, 모든 [[대수적으로 닫힌 체]]는 표수와 [[초월 차수]]에 의하여 완전히 분류된다.

== 예 ==
체의 예로는 다음이 있다.
* [[유리수]]의 집합 <math>\mathbb Q</math>는 체이다.
* [[실수]]의 집합 <math>\mathbb R</math>나 [[복소수]]의 집합 <math>\mathbb C</math> 역시 체이다.
* [[대수적 수론]]에서는 [[대수적 수체]]들을 다룬다. 대수적 수체의 주요 예로는 [[이차 수체]]와 [[원분체]]가 있다.
* [[대수기하학]]에서는 [[대수다양체]] 위의 [[유리 함수층|유리 함수체]]를 다룬다.
* [[p진수체]] <math>\mathbb Q_p</math>는 유리수체의 [[체의 확대|확대]]의 하나이다. 이는 [[비아르키메데스 체]]의 예이다.
* [[초실수체]] <math>{}^*\mathbb R</math>는 [[비표준 해석학]]에서 쓰이는 체이다. 이는 [[비아르키메데스 체]]의 예이다.
* [[초현실수]]의 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[집합]]을 이루지 않으므로, 엄밀히 말해서는 체가 아니다. 그러나 이를 무시하면, 이는 "체"를 이루는 [[고유 모임]]이 된다. 아니면 [[그로텐디크 전체]] 따위를 사용하여 집합으로 만들 수 있다.
* 주어진 체 <math>K</math>에 대하여, [[유리 함수체]] <math>K(x)</math> 및 [[형식적 로랑 급수체]] <math>K((x))</math> 및 [[퓌죄 급수]]체 <math>\overline{K((x))}</math> 역시 체를 이룬다.
* [[정역]] <math>R</math>가 주어졌을 때, <math>a/b\qquad(a,b\in R,\,b\ne0)</math> 꼴의 비들은 [[분수체]]라는 체를 이룬다.
* 모든 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math> 및 양의 정수 <math>k</math>에 대하여, 크기가 <math>p^k</math>인 체는 유일하게 존재하며, 이를 '''[[유한체]]''' <math>\mathbb F_{p^k}</math>라고 쓴다. 이는 표수가 <math>p</math>인 체이다. <math>p^k</math>와 같은 꼴이 아닌 크기의 유한체는 존재하지 않는다.

다음은 체를 이루지 않는 환들이다.
* [[사원수]]의 집합 <math>\mathbb H</math>는 [[나눗셈환]]이지만 [[가환환]]이 아니므로 체가 아니다.
* [[자명환]] <math>0</math>은 모든 0이 아닌 원소가 [[가역원]]인 [[가환환]]이지만 <math>0=1</math>이므로 [[나눗셈환]]이 아니며, 따라서 체가 아니다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Field theory|이름=Steven M.|성=Roman|출판사=Springer|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=158|doi=10.1007/0-387-27678-5|판=2|날짜=2006|isbn=978-0-387-27677-9|zbl=1172.12001|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=David S.|성=Dummit|공저자=Richard M. Foote|날짜=2004|제목=Abstract algebra|판=3|출판사=Wiley|isbn=978-0-471-43334-7|zbl=1037.00003|mr=2286236 |url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471433349.html|언어=en|oclc=248917264}}
* {{서적 인용|저자링크=서지 랭|이름=Serge|성=Lang|제목=Algebra|판=3|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=211|출판사=Springer|zbl=0984.00001|mr=1878556|날짜=2002|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|isbn=978-1-4612-6551-1|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[나눗셈환]]
* [[대수적 수체]]
* [[위상체]]
* [[체의 확대]]
* [[대수적으로 닫힌 체]]
* [[아르키메데스 성질]]
* [[체의 표수]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Field}}
* {{매스월드|id=Field|title=Field}}
* {{매스월드|id=FieldAxioms|title=Field axioms}}
* {{nlab|id=field|title=Field}}
* {{웹 인용|url=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf|제목=Fields and Galois theory|이름=J. S.|성=Milne|날짜=2014-03-18|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.mathematische-basteleien.de/koerper.htm|제목=Körper in der Algebra|출판사=Mathematische Basteleien (Jürgen Köller)|언어=de}}
* {{웹 인용|url=http://www.mathepedia.de/Ringe_und_Koerper.aspx|제목=Ringe und Körper|출판사=Mathepedia (Thomas Steinfeld)|언어=de|확인날짜=2015-07-18|보존url=https://web.archive.org/web/20150722034055/http://www.mathepedia.de/Ringe_und_Koerper.aspx#|보존날짜=2015-07-22|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://www.mathe-online.at/lernpfade/lin_alg_glatz/?kapitel=1|제목=
Körper und Vektorräume|출판사=Mathe Online (Martin Glatz)|언어=de}}
* {{웹 인용|url=http://www.mathematik.de/ger/information/kalenderblatt/steinitz/steinitz.html|제목=1910: Ernst Steinitz begründet die axiomatische Körpertheorie|출판사=Mathematik.de|언어=de}}
* {{웹 인용|url=http://www.ilemaths.net/maths_p-groupes-anneaux-corps.php|제목=Groupes, Anneaux, Corps|출판사=L’île des mathématiques|언어=fr}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/136233/to-what-extent-can-fields-be-classified|제목=To what extent can fields be classified?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/91889/what-is-the-smallest-variety-of-algebras-containing-all-fields|제목=What is the smallest variety of algebras containing all fields?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{수학노트|title=체론(field theory)}}

{{전거 통제}}
[[분류:체론| ]]