체 (범주론) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''체'''({{llang|en|sieve}}, {{llang|fr|crible}})는 주어진 대상을 향하는 일부 사상들을 골라 내는 구조이며, 추상적으로 [[표현 가능 함자|표현 가능]] [[준층]]의 부분 준층이다. [[작은 범주]] 위에서, 모든 체들의 집합을 대응시키는 [[준층]]은 [[준층]] [[토포스]]의 [[부분 대상 분류자]]를 이룬다. 체의 개념은 [[그로텐디크 위상]]을 정의할 때 사용된다.

== 정의 ==
범주 <math>\mathcal C</math> 및 그 위의 대상 <math>U\in\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>U</math> 위의 체는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있다.

"체"라는 용어는 체 <math>S</math>가 <math>U</math>로 향하는 특정 사상들을 마치 [[체 (도구)|체]]로 치듯 골라 내기 때문이다.

=== 추상적 정의 ===
[[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 위의 대상 <math>U\in\mathcal C</math> 위의 '''체''' <math>S</math>는 [[표현 가능 함자|표현 가능]] [[준층]] <math>\hom(-,U)\in\operatorname{PSh}(\mathcal C)</math>의 부분 준층이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 준층 <math>S\in\operatorname{PSh}(\mathcal C)</math>이다.
* 모든 <math>V\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>S(V)\subset\hom(V,U)</math>
* 모든 <math>f\in\hom_{\mathcal C}(V,W)</math>에 대하여, <math>S(f)\colon S(W)\to S(V);g\mapsto g\circ f.</math> 

=== 구체적 정의 ===
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math> 위의 대상 <math>U\in\mathcal C</math> 위의 '''체'''는 다음 조건들을 만족시키는, <math>\mathcal C</math>의 사상들의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>S\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>이다.
* <math>S</math>에 속하는 모든 사상 <math>f\in S</math>의 [[공역]]이 <math>U</math>이다.
* (합성에 대한 닫힘) 임의의 사상 <math>g\colon X\to Y</math> 및 <math>f\colon Y\to U</math>에 대하여, 만약 <math>f\in S</math>라면 <math>f\circ g\in S</math>이다.

두 정의는 다음과 같이 대응된다.
{| class=wikitable
|-
! 추상적 정의 !! 구체적 정의
|-
| 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>S(X)\subset\hom(X,U)</math> || <math>S(X):=\{f\in S\colon\operatorname{dom}f=X\}</math>
|-
| 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>S(f)\colon S(Y)\to S(X)</math> || <math>(g\in S)\mapsto (g\circ f\in S)</math>
|}
여기서 <math>\operatorname{dom}</math>은 사상의 [[정의역]]이다. 즉, <math>S(X)</math>는 체에 속한 사상 가운데, [[정의역]]이 <math>X</math>인 사상들로 구성된 부분 모임이다.

=== 당김 ===
대상 <math>U\in\mathcal C</math> 위의 체 <math>S</math> 및 사상 <math>f\colon V\to U</math>이 주어졌을 때, <math>S</math>의 '''당김'''({{llang|en|pullback}}) <math>f^*S</math>은 다음과 같은, <math>V</math> 위의 체이다.
:<math>f^*S(W)=(f\circ)^{-1}(S(W))=\{g\in\hom(W,V)|f\circ g\in S(W)\}</math>

[[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>U\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>U</math> 위의 모든 체들의 [[집합]]을 <math>\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)</math>라고 하자. 그렇다면,
:<math>U\mapsto\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)</math>
:<math>(f\colon U\to V)\mapsto\left(f^*\colon\operatorname{Sieve}(V)\to\operatorname{Sieve}(U)\right)</math>
는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>
를 이룬다. 즉, <math>\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}</math>는 <math>\mathcal C</math> 위의 (집합 값의) [[준층]]을 이룬다.

<math>\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}</math>는 <math>\mathcal C</math> 위의 준층의 [[그로텐디크 토포스]] <math>\operatorname{PSh}(\mathcal C)</math>에서의 [[부분 대상 분류자]]를 이룬다.

=== 체 준층의 부분 준층 ===
[[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌을 때, 그 체 준층 <math>\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}\in\operatorname{PSh}(\mathcal C)</math>의 부분 준층 <math>J\subseteq\operatorname{Sieve}\in\operatorname{PSh}(\mathcal C)</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 각 대상 <math>U\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>U</math> 위의 체들의 집합 <math>J(U)</math>.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 임의의 사상 <math>f\colon U\to V</math>에 대하여, <math>f^*(J(V))\subseteq J(U)</math>이다.

이 조건은 [[그로텐디크 위상]]이 만족시키는 조건 가운데 하나이다.

== 성질 ==
[[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 그 속의 대상 <math>U\in\mathcal C</math> 위의 체들의 집합 <math>\{S_i\}_{i\in I}\subseteq\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)</math>에 대하여, 그 [[교집합]] <math>\textstyle\bigcup_{i\in I}S_i</math>과 [[합집합]] <math>\textstyle\bigcup_{i\in I}S_i</math> 역시 체를 이룬다. <math>\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)</math>의 [[최대 원소]]는 <math>\{f\in\operatorname{Mor}(\mathcal C)\colon\operatorname{codom}U\}</math> (즉, [[표현 가능 함자|표현 가능]] [[준층]] <math>\hom_{\mathcal C}(-,U)</math>)이며, [[최소 원소]]는 [[공집합]] (즉, 공집합 값을 갖는 [[상수 함자]])이다. 따라서, <math>\operatorname{Sieve}_{\mathcal C}(U)</math>는 포함 관계에 대하여 [[유계 격자|유계]] [[완비 격자]]를 이룬다.

== 예 ==
[[위치 (수학)|위치]] <math>(\mathcal C,J)</math>가 주어졌을 때, 대상 <math>U\in\mathcal C</math> 위의 각 덮개체는 체를 이룬다.

=== 사상 모임으로부터 생성되는 체 ===
같은 공역 <math>U</math>을 갖는 사상들의 모임 <math>\mathfrak F</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이들을 포함하는 가장 작은 체 <math>S_{\mathfrak F}</math>가 존재하며, 다음과 같다.
:<math>S_{\mathfrak F}=\{g\circ f\colon f\in\mathfrak F,\;\operatorname{dom}g=\operatorname{codom}f\}</math>
여기서 <math>\operatorname{dom}</math>과 <Math>\operatorname{codom}</math>은 각각 사상의 [[정의역]]과 [[공역]]이다.

=== 조각 범주 ===
<math>\mathcal C</math> 속의 임의의 사상 <math>u\colon U\to B</math> 및 체 <math>S\subseteq\hom(-,U)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[조각 범주]] <math>\mathcal C/B</math>의 대상 <math>u</math> 위의 다음과 같은 체를 정의할 수 있다.
:<math>S/B=\left\{
\begin{matrix}
V&\overset f\to&U\\
&{\scriptstyle v}\searrow&\downarrow\scriptstyle u\\
&&B
\end{matrix}
\colon f\in S
\right\}</math>

=== 부분 순서 집합 ===
[[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>는 [[작은 범주]]로 여길 수 있다. 이 경우, 원소 <math>x\in P</math> 위의 체는 <math>x</math>를 [[상계 (수학)|상계]]로 갖는, 하향 닫힘 부분 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 <math>S\subseteq P</math>이다.
* (상계) 모든 <math>s\in S</math>에 대하여 <math>s\le x</math>
* (하향 닫힘) 모든 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>\{t\in P\colon t\le s\}\subseteq S</math>

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=sieve|title=Sieve}}

[[분류:범주론]]