체흐 코호몰로지 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''체흐 코호몰로지'''({{llang|en|Čech cohomology}})는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 위의 [[층 코호몰로지]]를 공간을 작은 조각으로 쪼개어 정의·계산하는 방법이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>
* <math>X</math> 위의 [[아벨 군]] [[준층]] <math>\mathcal F\in\operatorname{PSh}(X;\operatorname{Ab})</math>

그렇다면, 각 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>(X,\mathcal U)</math>의 <math>\mathcal F</math>계수 <math>n</math>차 '''체흐 코호몰로지''' <math>\operatorname{\check H}^n(X;\mathcal F)</math>는 [[아벨 군]]이다. 이는 구체적으로 [[공사슬 복합체]]를 통해 정의될 수 있으며, 추상적으로 [[오른쪽 유도 함자]]로서 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 [[동치]]이다.

이 개념은 일반적으로 사용되는 <math>\mathcal U</math>에 의존한다. 그러나 <math>X</math> 위의 열린 덮개들은 [[귀납적 극한#정의|유항체계]]({{lang|en|directed system}})를 이루며, (<math>\mathcal U</math>에 의존하지 않는) <math>X</math>의  '''체흐 코호몰로지''' <math>\operatorname{\check H}^\bullet(X;\mathcal F)</math>를 모든 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>에 대한 코호몰로지 <math>\operatorname{\check H}^\bullet(X,\mathcal U;\mathcal F)</math>의 [[귀납적 극한]]이다. 즉,
:<math>\operatorname{\check H}^n(X;\mathcal F)=\varinjlim\check H^n(X,\mathcal U;\mathcal F)</math>
이다.

=== 구체적 정의 ===
==== 단체와 사슬 ====
<math>n</math>차 '''체흐 단체'''(Čech單體, {{llang|en|Čech simplex}}) <math>\sigma</math>는 그 교집합이 0이 아닌, <math>n+1</math>개의 <math>\mathcal U</math>의 원소의 [[순서쌍]] <math>(U_0,\dots,U_n)</math>이다. 단체의 '''지지 집합'''({{llang|en|support}}) <math>|\sigma|</math>은 다음과 같은, 모든 성분들의 [[교집합]]이다.
:<math>|\sigma|=\bigcap_{k=0}^nU_n</math>

<math>n</math>차 체흐 단체를 [[기저 (선형대수학)|기저]]로 하는 자유 [[아벨 군]]을 <math>\check C^n</math>이라고 하자. <math>\check C^n</math>의 원소를 <math>n</math>차 '''체흐 사슬'''({{llang|en|Čech chain}})이라고 한다.

<math>n</math>차 체흐 단체 <math>\sigma</math>의 '''부분 경계'''(部分境界, {{llang|en|partial boundary}}) <math>\partial_k\sigma</math>는 다음과 같다.
:<math>\partial_k\sigma=(U_0,\dots,U_{k-1},U_{k+1},\dots,U_n)</math>.
<math>\sigma</math>의 '''경계'''(境界, {{llang|en|boundary}}) <math>\partial\sigma</math>는 다음과 같다.
:<math>\partial\sigma=\sum_{k=0}^n(-1)^k\partial_k\sigma\in\check  C^{n-1}</math>.
마찬가지로 <math>n</math>차 사슬의 경계를 (선형으로) 정의할 수 있다. <math>n</math>차 사슬의 경계는 <math>n-1</math>차 사슬이다.

=== 공사슬 ===
<math>n</math>차 '''체흐 공사슬'''(Čech共-, {{llang|en|Čech cochain}}) <math>\phi</math>는 <math>n</math>차 단체 <math>\sigma</math>를 [[아벨 군]] 원소 <math>\phi(\sigma)\in\mathcal F(|\sigma|)</math>와 대응시키는 [[함수]]이다. <math>n</math>차 공사슬의 집합을 <math>\check C^n(X,\mathcal U;\mathcal F)</math>라고 하자. 이는 점별 덧셈에 대하여 [[아벨 군]]을 이룬다.

공사슬의 '''공경계'''(共境界, {{llang|en|coboundary}})
:<math>\delta^n\colon\check C^n(X,\mathcal U;\mathcal F)\to\check C^{n+1}(X,\mathcal U;\mathcal F)</math>
는 다음과 같다. 단체 <math>\sigma</math>에 대하여,
:<math>(\delta^n\phi)(\sigma)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\operatorname{res}_{|\sigma|}^{|\partial_k\sigma|}\phi(\partial_k\sigma)</math>.
여기서
:<math>\operatorname{res}_{|\sigma|}^{|\partial_k\sigma|}\colon\mathcal F(|\partial_k\sigma|)\to\mathcal F(|\sigma|)</math>
는 [[부분 집합]]에 대한 제한 사상이다. 계산을 통해 <math>\delta^{n+1}\circ\delta^n=0</math>임을 확인할 수 있다. 따라서 이는 [[공사슬 복합체]]를 이루며, 그 [[코호몰로지]]를
:<math>\operatorname{\check H}^\bullet(X,\mathcal U;\mathcal F)</math>
라고 하자.

=== 유도 함자 구성 ===
체흐 코호몰로지는 보다 추상적으로 [[유도 함자]]를 통해 정의할 수 있다. 즉, 0차 체흐 코호몰로지는 다음과 같이 쉽게 구체적으로 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;\mathcal F)=
\left\{(\phi_U)_{U\in\mathcal F}\in C^0\colon
\forall U,V\in\mathcal U\colon U\cap V\ne\varnothing\implies\operatorname{res}_{U\cap V}^U\phi_U=\operatorname{res}_{U\cap V}^V\phi_V
\right\}</math>
여기서 <math>\check C^0</math>는 0차 체흐 공사슬, 즉 각 <math>U\in\mathcal U</math>에 대하여 <math>\mathcal F(U)</math>의 원소 <math>\phi_U\in\mathcal F_U</math>를 대응시키는 대상들의 집합이다. 만약 <math>\mathcal F</math>가 [[층 (수학)|층]]이라면 이는 대역 단면 <math>\Gamma_X(\mathcal F)</math>과 같지만, [[준층]]이라면 같을 필요가 없다.

0차 체흐 코호몰로지는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)\colon\operatorname{PSh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Ab}</math>
를 정의한다. 이 함자는 [[왼쪽 완전 함자]]임을 보일 수 있으며, 그 [[오른쪽 유도 함자]]들은 고차 체흐 코호몰로지와 일치한다.
:<math>\operatorname R^\bullet\left(\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)\right)=\operatorname{\check H}^\bullet(X,\mathcal U;-)</math>
여기서 준층 범주를 사용하는 것은 매우 중요하다. 층 범주에서는 0차 체흐 코호몰로지 함자 <math>\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)</math>는 단면 함자 <math>\Gamma_X(-)</math>와 일치하며, 이 함자의 [[오른쪽 유도 함자]]는 단순히 [[층 코호몰로지]]와 같다.

== 성질 ==
=== 특이 코호몰로지와의 관계 ===
임의의 [[아벨 군]] <math>G</math>에 대하여, 그 [[상수층]] <math>\underline G</math>을 생각하자. 만약 위상 공간 <math>X</math>가 [[CW 복합체]]와 [[호모토피 동치]]라면, 그 <math>\underline G</math> 계수 체흐 코호몰로지는 <math>G</math> 계수 [[특이 코호몰로지]]와 표준적으로 동형이다.
:<math>\operatorname{\check H}^\bullet(X;\underline G) \cong \operatorname H^\bullet_{\text{sing}}(X;G)</math>

그러나 체흐 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 다르게 되는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이 존재한다.

=== 체흐-유도 함자 스펙트럼 열 ===
체흐 코호몰로지는 특정한 경우 [[유도 함자]]로 정의된 [[층 코호몰로지]]와 일치한다. 이 사실은 '''마이어-피토리스 스펙트럼 열'''({{llang|en|Mayer–Vietoris spectral sequence}}) 또는 '''체흐-유도 함자 스펙트럼 열'''({{llang|en|Čech-to-derived-functor spectral sequence}})의 존재에 의하여 함의된다.<ref>{{서적 인용|이름1=Raoul|성1=Bott|저자링크1=라울 보트|이름2=Loring Wuliang|성2=Tu|저자링크2=로링 투|제목=Differential forms in algebraic topology |날짜=1982|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=82|issn=0072-5285|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-1-4419-2815-3 |doi=10.1007/978-1-4757-3951-0|mr=658304|zbl= 0496.55001|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Topologie algébrique et théorie des faisceaux|이름=Roger|성=Godement | 저자링크=로제 고드망 | publisher=Hermann | 위치=[[파리 (프랑스)|파리]] | mr=0345092  | zbl = 0275.55010 | 판=3 | year=1973 |총서=Actualités scientifiques et industrielles | 권=1252 | 언어=fr}}</ref>{{rp|Théorème 5.4.1}}

구체적으로, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 [[아벨 군]] 값의 [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal F</math> 및 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal H^q(X;\mathcal F)</math>가 다음과 같은 [[준층]]이라고 하자.
:<math>\mathcal H^q(X;\mathcal F)\colon U\mapsto \operatorname H^q(U;\mathcal F)</math>
그렇다면, '''마이어-피토리스 스펙트럼 열'''의 두 번째 쪽은 다음과 같다.
:<math>E_2^{p,q}=\operatorname{\check H}^p\left(X,\mathcal U;\mathcal H^q(X;\mathcal F)\right)</math>
만약 <math>\mathcal U</math>가 두 개의 [[열린집합]]만으로 구성된다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 [[마이어-피토리스 열]]로 퇴화한다. 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 함자들로 유도되는, [[그로텐디크 스펙트럼 열]]의 특수한 경우이다.
:<math>\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\hookrightarrow\operatorname{PSh}(X;\operatorname{Ab})\xrightarrow{\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)}\operatorname{Ab}</math>
여기서 <math>\operatorname{Sh}</math>는 [[층 (수학)|층]] 범주, <math>\operatorname{PSh}</math>는 [[준층]] 범주를 뜻한다.

적절한 조건 아래 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 [[층 코호몰로지]]로 수렴한다.
:<math>E_2^{p,q}\Rightarrow\operatorname H^{p+q}(X;\mathcal F)</math>
특히, 만약  마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화한다면 <math>\operatorname{\check H}^p(X,\mathcal U;\mathcal F)</math>는 [[층 코호몰로지]]와 일치한다. 구체적으로, 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화하는 [[충분조건]]은 다음과 같다.
* 모든 유한 부분 집합 <math>\mathcal A\subseteq\mathcal U</math>에 대하여 <math>\mathcal F|_{\bigcap\mathcal A}</math>는 [[비순환층]]이다 (즉, <math>\textstyle\operatorname H^i(\bigcap\mathcal A;\mathcal F)=0\quad\forall i>0</math>이다).
이를 '''르레 정리'''({{llang|en|Leray’s theorem}})라고 하고, 이 조건을 만족시키는 [[열린 덮개]]를 '''르레 덮개'''({{llang|en|Leray cover}})라고 한다.<ref name="Leray">{{저널 인용|이름=Jean|성=Leray|저자링크=장 르레|제목=L’anneau spectral et l’anneau filtré d’homologie d’un espace localement compact et d’une application continue|저널=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées |권=29|날짜=1950|쪽=1–139|언어=fr}}</ref>

== 예 ==
=== 낮은 차수의 체흐 공사슬 ===
편의상 체흐 공사슬 <math>\phi</math>의 값을
:<math>\phi(U_{i_0},\dotsc,U_{i_n}) = \phi_{i_0\dotso i_n}</math>
으로 표기하자.

낮은 차수의 체흐 공경계 및 체흐 공사슬이 체흐 공순환이 될 조건은 다음과 같다. (편의상, 자명한 제약 사상들을 생략하였다.)
{| class=wikitable
! 차수 !! 공경계 !! 공순환 조건
|-
| 0 || <math>(\delta^0\phi)_{ij} = \phi_j - \phi_i</math> || <math>\phi_i = \phi_j</math>
|-
| 1 || <math>(\delta^1\phi)_{ijk} = \phi_{jk} - \phi_{ik} + \phi_{ij}</math> || <math>\phi_{ik} = \phi_{ij} + \phi_{jk}</math>
|-
| 2 || <math>(\delta^2\phi)_{ijkl} = \phi_{jkl} - \phi_{ikl} + \phi_{ijl} - \phi_{ijk}</math> || <math>\phi_{jkl} + \phi_{ijl} = \phi_{ikl} + \phi_{ijk}</math>
|-
| 3 || <math>(\delta^2\phi)_{ijklm} = \phi_{jklm} - \phi_{iklm} + \phi_{ijlm} - \phi_{ijkm} + \phi_{ijkl}</math> || <math>\phi_{jklm}  + \phi_{ijlm} + \phi_{ijkl} = \phi_{iklm} + \phi_{ijkm}</math>
|}

=== 위상수학자의 사인 곡선 ===
[[위상수학자의 사인 곡선]]
:<math> T = \left\{ \left(x, \sin(1/x) \right) \colon x \in (0,1] \right\} \cup \{(0,0)\} </math>
의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]
:<math>\operatorname{cl}(T) = T \cup (\{0\} \times [-1,1])</math>
의 경우, 체흐 코호몰로지와 [[특이 코호몰로지]]가 서로 일치하지 않는다. 구체적으로,
:<math>\operatorname{\check H}^1(\operatorname{cl}T; \underline{\mathbb Z}) \cong\mathbb Z</math>
:<math>\operatorname H^1_{\text{sing}}(\operatorname{cl}T;\mathbb Z)\cong 0</math>
이다.

=== 스킴 ===
[[분리 스킴]] 위의 [[연접층]]에 대하여, 열린 [[아핀 스킴|아핀]] 부분 스킴들로 구성된 덮개는 항상 르레 덮개이다. 여기서 분리성 및 연접성은 다음과 같이 필요하다.
* [[분리 스킴]]의 조건에 의하여 열린 아핀 부분 스킴들의 [[교집합]] 역시 열린 아핀 부분 스킴이다.
* [[연접층]]의 조건에 의하여, 아핀 스킴 위의 연접층은 항상 [[비순환층]]이다.

== 역사 ==
[[러시아]]의 [[파벨 알렉산드로프]]<ref>{{저널 인용|이름=Paul|성=Alexandroff|authorlink=파벨 알렉산드로프|제목=Untersuchungen über Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen beliebiger Dimension|저널=Annals of Mathematics|권=30|호=2|날짜=1929|쪽=101–187|doi=10.2307/1968272|jfm=54.0609.02|jstor=1968272|언어=de}}</ref>와 [[체코]]의 [[에두아르트 체흐]]<ref>{{저널 인용|이름=Eduard|성=Čech|authorlink=에두아르트 체흐|제목=Théorie générale de l’homologie dans un espace quelconque|저널=Fundamenta Mathematicae|권=19|호=1|연도=1932|쪽= 149–183|url=http://dml.cz/dmlcz/501004|zbl=0005.21802|zbl=0005.21802|언어=fr}}</ref>가 도입하였다. 르레 정리는 [[장 르레]]가 1950년에 도입하였다.<ref name="Leray"/>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성=Hatcher|이름=Allen|제목=Algebraic topology|출판사=Cambridge University Press|연도=2002|ISBN=0-521-79540-0|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=David|성=Edwards|이름2=Harold M.|성2=Hastings|제목=Čech Theory: Its past, present, and future|저널=Rocky Mountain Journal of Mathematics|권=10|호= 3|날짜=1980|쪽=429-468|doi=10.1216/RMJ-1980-10-3-429|mr=590209|zbl=0464.55001|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Čech cohomology}}
* {{eom|title=Aleksandrov-Čech homology and cohomology}}
* {{eom|title=Nerve of a family of sets}}
* {{매스월드|id=CechCohomology|title=Čech cohomology}}
* {{매스월드|id=Aleksandrov-CechCohomology|title=Aleksandrov-Čech cohomology}}
* {{매스월드|id=Nerve|title=Nerve}}
* {{nlab|id=Čech cohomology}}
* {{nlab|id=Čech nerve}}
* {{nlab|id=Čech cover}}
* {{nlab|id=Čech methods}}
* {{nlab|id=nerve theorem|title=Nerve theorem}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/11/17/the-cech-to-derived-functor-spectral-sequence/|제목=The Cech-to-derived functor spectral sequence|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|날짜=2010-11-17|이름=Akhil|성=Mathew|언어=en|확인날짜=2016-01-23|보존url=https://web.archive.org/web/20160216234259/https://amathew.wordpress.com/2010/11/17/the-cech-to-derived-functor-spectral-sequence/|보존날짜=2016-02-16|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2009/12/24/lerays-theorem/|제목=Leray’s theorem|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|날짜=2009-12-24|이름=Akhil|성=Mathew|언어=en|확인날짜=2016-01-23|보존url=https://web.archive.org/web/20160217000638/https://amathew.wordpress.com/2009/12/24/lerays-theorem/|보존날짜=2016-02-17|url-status=dead}}

[[분류:호몰로지 이론]]