체바 직선 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''체바 선'''({{llang|en|cevian (line)}})은 [[삼각형]]의 각 꼭짓점과 대변의 직선 위의 점을 잇는 [[선분]]이다.<ref name="Coxeter">{{서적 인용
|성1=Coxeter
|이름1=H. S. M.
|저자링크1=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|성2=Greitzer
|이름2=S. L.
|기타=Buehler, George H. 삽화
|제목=Geometry Revisited
|언어=en
|출판사=Mathematical Association of America
|위치=Washington, D.C.
|날짜=1967
|isbn=0-88385-619-0
}}</ref>{{rp|4, §1.2}}<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|13, §1; 137, §12}}

== 정의 ==
삼각형의 한 꼭짓점과 대변의 직선 위의 점을 잇는 선분을 이 삼각형의 '''체바 선'''이라고 한다. 삼각형 <math>ABC</math>의 [[내접 삼각형]] <math>DEF</math>가 주어졌다고 하자. 만약 삼각형 <math>ABC</math>의 체바 선 <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>가 [[공점선]]을 이룬다면, 삼각형 <math>DEF</math>를 삼각형 <math>ABC</math>의 '''체바 삼각형'''({{llang|en|Cevian triangle}})이라고 한다. 점 <math>P</math>가 삼각형 <math>ABC</math>의 [[외접원]] 위의 점이 아니라고 하자. 만약 <math>P</math>의 [[수족 삼각형]]이 체바 삼각형이라면, 점 <math>P</math>를 삼각형 <math>ABC</math>의 '''수족-체바 점'''({{llang|en|pedal-cevian point}})이라고 한다.

== 성질 ==
=== 체바 정리와 메넬라오스 정리 ===
{{본문|체바 정리|메넬라오스 정리}}
삼각형 <math>ABC</math>의 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 체바 선의 발을 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>라고 하자. '''[[체바 정리]]'''에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>는 [[공점선]]이거나 [[평행선]]이다.
* <math>\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1</math>

삼각형 <math>ABC</math>의 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 체바 선의 발을 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>라고 하자. '''[[메넬라오스 정리]]'''에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>는 [[공선점]]이다.
* <math>\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EB}=-1</math>

이 두 정리에서 각 비율은 두 유향 선분의 방향이 같을 경우 양의 부호를, 방향이 반대일 경우 음의 부호를 가지며, 절댓값은 두 유향 선분의 길이의 비율과 같다. 체바 정리의 조건을 만족시키려면 삼각형의 변의 연장선 위의 점인 체바 선의 발의 수는 짝수이어야 하며, 메넬라오스 정리의 조건을 만족시키려면 이는 홀수이어야 한다.

=== 부등식 ===
삼각형의 <math>ABC</math>의 각 꼭짓점을 지나는 체바 선 <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>가 삼각형 내부의 점 <math>P</math>를 지난다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 부등식들이 성립한다.
* <math>\frac{AP}{PD}+\frac{BP}{PE}+\frac{CP}{PF}\ge 6</math>
* <math>\frac{AP}{PD}\cdot\frac{BP}{PE}\cdot\frac{CP}{PF}\ge 8</math>
* <math>\frac{AD}{PD}\cdot\frac{BE}{PE}\cdot\frac{CF}{PF}\ge 27</math>
* <math>\frac{AD}{AP}+\frac{BE}{BP}+\frac{CF}{CP}\ge\frac 92</math>

=== 체바 삼각형의 성질 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 체바 삼각형 <math>DEF</math>의 각 꼭짓점을 원래 삼각형의 각 변의 중점에 대하여 [[반사 (기하학)|반사]]하여 얻는 점을 <math>D'</math>, <math>E'</math>, <math>F'</math>이라고 하자. 그렇다면 삼각형 <math>D'E'F'</math> 역시 원래 삼각형의 체바 삼각형이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|141, §12.3, Theorem 1}} 삼각형 <math>ABC</math>의 체바 삼각형 <math>DEF</math>의 외접원과 원래 삼각형의 각 변의 직선의 (중복도를 감안한) 총 6개의 교점 가운데 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 아닌 것들을 <math>D''</math>, <math>E''</math>, <math>F''</math>이라고 하자. 그렇다면 삼각형 <math>D''E''F''</math> 역시 원래 삼각형의 체바 삼각형이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|141, §12.3, Theorem 2}} 삼각형의 수족-체바 점의 [[등각 켤레점]]은 같은 삼각형의 수족-체바 점이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|143, §12.3, Theorem 3}} 삼각형의 수족-체바 점에 [[외심]]에 대한 반사를 가하여 얻는 점은 같은 삼각형의 수족-체바 점이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|143, §12.3, Theorem 4}}

== 예 ==
=== 중선 ===
[[외심]]의 수족 삼각형은 [[중점 삼각형]]이다. 이에 대한 원래 삼각형의 체바 선은 [[중선]]이며, 이들은 [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]에서 만난다. 따라서, 중점 삼각형은 체바 삼각형이며, 외심은 무게 중심에 대한 수족-체바 점이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|142, §12.3}}

=== 높이 ===
[[수심 (기하학)|수심]]의 수족 삼각형은 [[수심 삼각형]]이다. 이에 대한 원래 삼각형의 체바 선은 [[높이 (기하학)|높이]]이며, 이들은 수심에서 만난다. 따라서, 수심 삼각형은 체바 삼각형이며, 수심은 스스로에 대한 수족-체바 점이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|142, §12.3}}

=== 제르곤 점을 지나는 체바 선 ===
[[내심]]의 수족 삼각형은 [[제르곤 삼각형]]이다. 이에 대한 원래 삼각형의 체바 선은 [[제르곤 점]]에서 만난다. 따라서, 제르곤 삼각형은 체바 삼각형이며, 내심은 제르곤 점에 대한 수족-체바 점이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|142, §12.3}}

== 역사 ==
[[이탈리아]]의 수학자 [[조반니 체바]]의 이름을 땄다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Cevian|title=Cevian}}
* {{매스월드|id=CevianTriangle|title=Cevian triangle}}
* {{매스월드|id=CevianCircle|title=Cevian circle}}
* {{매스월드|id=CevianPoint|title=Cevian point}}
* {{매스월드|id=Pedal-CevianPoint|title=Pedal-Cevian point}}

[[분류:삼각 기하학]]