체바 정리 문서 원본 보기

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[[파일:Ceva's theorem 1.svg|섬네일|체바 정리의 도해. ''O'' 점이 삼각형 내부에 있는 경우.]]
[[파일:Ceva's theorem 2.svg|섬네일|체바 정리의 도해. ''O'' 점이 삼각형 외부에 있는 경우.]]

[[기하학]]에서 '''체바 정리'''({{lang|it|Ceva}}定理, {{llang|en|Ceva's theorem}})는 [[삼각형]]의 각 꼭짓점을 지나는 직선이 한 점에서 만날 [[필요충분조건]]을 제시하는 정리이다.

== 정의 ==
점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 [[삼각형]] <math>ABC</math>의 각 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 직선 위의 점이라고 하자. '''체바 정리'''에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>는 [[공점선]]이거나 [[평행선]]이다.
* <math>\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1</math>
두 번째 조건의 세 개의 비율은 [[단순비]]를 나타낸다. 즉, 두 유향 선분의 방향이 같을 경우 양의 부호를 취하고, 방향이 반대일 경우 음의 부호를 취한다. 따라서 두 번째 조건을 만족시키려면 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math> 가운데 삼각형의 변의 [[외분점]]의 수는 짝수이어야 한다. 체바 정리는 세 점 가운데 하나가 [[무한원점]]인 경우에도 성립한다. 이 경우 각 꼭짓점과 대변 위의 무한원점을 잇는 직선은 각 꼭짓점을 지나는 대변의 평행선으로 정의되며, 무한원점의 단순비 값은 −1로 정의된다.

== 증명 ==
=== 넓이를 통한 증명 ===
우선 <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>가 한 점 <math>P</math>에서 만난다고 가정하자.<ref name="Coxeter">{{서적 인용
|성1=Coxeter
|이름1=H. S. M.
|저자링크1=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|성2=Greitzer
|이름2=S. L.
|기타=Buehler, George H. 삽화
|제목=Geometry Revisited
|언어=en
|출판사=Mathematical Association of America
|위치=Washington, D.C.
|날짜=1967
|isbn=0-88385-619-0
}}</ref>{{rp|4-5, §1.2}} 유향 삼각형 <math>XYZ</math>의 유향 넓이를 <math>S_{XYZ}</math>로 표기하자. 즉, 이는 세 꼭짓점을 시계 반대 방향으로 열거할 경우 양의 부호를 취하고, 시계 방향으로 열거할 경우 음의 부호를 취한다. 그렇다면, 높이가 같은 삼각형의 넓이는 밑변에 비례한다는 사실을 이용하면
:<math>\frac{AF}{FB}=\frac{S_{ACF}}{S_{FCB}}=\frac{S_{APF}}{S_{FPB}}</math>
를 얻으며, 따라서
:<math>\frac{AF}{FB}=\frac{S_{ACF}-S_{APF}}{S_{FCB}-S_{FPB}}=\frac{S_{APC}}{S_{CPB}}</math>
이다. 마찬가지로
:<math>\frac{BD}{DC}=\frac{S_{BPA}}{S_{APC}},\;\frac{CE}{EA}=\frac{S_{CPB}}{S_{BPA}}</math>
가 성립한다. 이 세 등식을 곱하면
:<math>\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}
=\frac{S_{APC}}{S_{CPB}}\cdot\frac{S_{BPA}}{S_{APC}}\cdot\frac{S_{CPB}}{S_{BPA}}
=1</math>
를 얻는다.

이제 <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>가 평행선이라고 가정하자. 그렇다면 삼각형 <math>ABE</math>와 <math>AFC</math>는 닮음이며, 삼각형 <math>ACD</math>와 <math>ECB</math> 역시 닮음이므로,
:<math>\frac{AF}{FB}=\frac{AC}{CE},\;\frac{BD}{DC}=\frac{EA}{AC}</math>
이다. (여기서 모든 비율은 유향 선분의 비율인 데 주의하자.) 따라서
:<math>\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{AC}{CE}\cdot\frac{EA}{AC}\cdot\frac{CE}{EA}=1</math>
이다.

반대로
:<math>\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1</math>
가 성립하고 <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math> 가운데 적어도 한 쌍이 평행하지 않는다고 가정하자. 편의상 <math>AD</math>와 <math>BE</math>가 평행하지 않는다고 하자. 이들의 교점을 <math>P</math>라고 하고, <math>CP</math>와 <math>AB</math>의 교점을 <math>F'</math>이라고 하자. 그렇다면 이미 증명한 바에 의하여
:<math>\frac{AF'}{F'B}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1</math>
이며, 따라서
:<math>\frac{AF'}{F'B}=\frac{AF}{FB}</math>
이다. 선분을 주어진 비율로 분할하는 점은 유일하게 결정된다는 사실에 의하여 <math>F'=F</math>가 성립한다. 따라서 <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>는 한 점 <math>P</math>에서 만난다.

=== 무게 중심을 통한 증명 ===
체바 정리는 질점의 [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]을 사용하여 증명할 수 있다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|138, §12.1}} 외분점을 고려하기 위해서는 음의 질량을 허용해야 한다. 편의상 삼각형의 각 변의 직선 위의 유향 선분의 유향 길이가 삼각형을 기준으로 시계 반대 방향일 경우 양의 부호를 취하고, 시계 방향일 경우 음의 부호를 취한다고 하자. 예를 들어 <math>AF</math>와 <math>FB</math>의 길이는 <math>F</math>가 내분점일 경우 각각 양과 음의 부호를, 외분점일 경우 각각 음과 양의 부호를 취한다. 이렇게 하면 삼각형의 각 변의 직선 위의 모든 유향 선분에 유일한 유향 길이가 부여된다. 점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>에 각각 질량 <math>BD\cdot CE</math>, <math>DC\cdot EA</math>, <math>BD\cdot EA</math>를 부여하여 질점 <math>(A,BD\cdot CE)</math>, <math>(B,DC\cdot EA)</math>, <math>(C,BD\cdot EA)</math>를 만들자. 그렇다면 <math>D</math>에서 <math>(A,BD\cdot CE)</math>와 <math>(C,BD\cdot EA)</math>의 [[돌림힘]]이 일치하며, <math>E</math>에서 <math>(B,DC\cdot EA)</math>와 <math>(C,BD\cdot EA)</math>의 돌림힘이 일치한다. 즉, <math>D</math>는 <math>(A,BD\cdot CE)</math>와 <math>(C,BD\cdot EA)</math>의 무게 중심이며, <math>E</math>는 <math>(B,DC\cdot EA)</math>와 <math>(C,BD\cdot EA)</math>의 무게 중심이다.

우선 <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>가 한 점 <math>P</math>에서 만난다고 가정하자. 이 경우 세 질점의 무게 중심은 <math>AD</math> 위의 점이자 <math>BE</math> 위의 점이어야 하므로 이는 두 직선의 교점 <math>P</math>와 같다. <math>(A,BD\cdot CE)</math>와 <math>(B,DC\cdot EA)</math>의 무게 중심을 <math>F'</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>F'</math>는 선분 <math>AB</math> 위의 점이며, 세 질점의 무게 중심 <math>P</math>는 <math>CF'</math> 위의 점이다. 따라서 <math>F'=F</math>이며, <math>F</math>는 <math>(A,BD\cdot CE)</math>와 <math>(B,DC\cdot EA)</math>의 무게 중심이다. 즉, <math>F</math>에서 <math>(A,BD\cdot CE)</math>와 <math>(B,DC\cdot EA)</math>의 돌림힘
:<math>AF\cdot BD\cdot CE=FB\cdot DC\cdot EA</math>
은 일치한다. 즉,
:<math>\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1</math>
이 성립한다. 또한 이러한 세 비율의 곱은 유향 선분의 부호의 정의와 무관하다.

이제 <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>가 평행선이라고 가정하자. 이 경우 특히 <math>AD</math>와 <math>BE</math>가 평행하므로, 세 질점의 무게 중심은 존재하지 않는다. 즉, 세 질점의 질량의 합은 0이다. 즉,
:<math>BD\cdot CE+DC\cdot EA+BD\cdot EA=0</math>
이며, 이를 정리하면
:<math>\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=-1-\frac{BD}{DC}</math>
를 얻는다. 새로운 세 질점 <math>(A,FB\cdot DC)</math>, <math>(B,AF\cdot DC)</math>, <math>(C,AF\cdot BD)</math>를 생각하면 마찬가지로
:<math>\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}=-1-\frac{AF}{FB}</math>
를 얻는다. 따라서
:<math>\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}
=\frac{AF}{FB}\left(-1-\frac{BD}{DC}\right)
=-\frac{AF}{FB}-\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}
=1
</math>
이다.

반대로
:<math>\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1</math>
가 성립하고 <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>가 평행선이 아니라고 가정하자. 편의상 <math>AD</math>와 <math>BE</math>가 어떤 점 <math>P</math>에서 만난다고 가정하자. 그렇다면 <math>P</math>는 세 질점의 무게 중심이다. 또한 세 비율의 곱이 1이라는 등식을 정리하면
:<math>AF\cdot BD\cdot CE=FB\cdot DC\cdot EA</math>
을 얻으며, 이는 <math>F</math>에서 <math>(A,BD\cdot CE)</math>와 <math>(B,DC\cdot EA)</math>의 돌림힘이 일치한다는 말과 같다. 즉, <math>F</math>는 <math>(A,BD\cdot CE)</math>와 <math>(B,DC\cdot EA)</math>의 무게 중심이다. 따라서 <math>CF</math> 역시 <math>P</math>를 지난다.

== 따름정리 ==
=== 각체바 정리 ===
{{본문|각체바 정리}}
점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 [[삼각형]] <math>ABC</math>의 각 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 직선 위의 점이라고 하자. '''각체바 정리'''(角{{lang|it|Ceva}}定理)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>는 공점선이거나 평행선이다.
* <math>\frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle FCB}
\cdot\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle DAC}
\cdot\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle EBA}
=1</math>
두 번째 조건의 여섯 개의 각의 크기는 유향각의 유향 크기를 나타낸다. 즉, 유향각이 시계 반대 방향일 경우 양의 부호를 취하고, 시계 방향일 경우 음의 부호를 취한다. 예를 들어, 만약 <math>F</math>가 변 <math>AB</math>의 내분점이라면, <math>CA</math>에서 <math>CF</math>로 (180도 이내의 각도로) 회전하는 방향은 시계 반대 방향이며, <math>CF</math>에서 <math>CB</math>로 회전하는 방향 역시 시계 반대 방향이므로, <math>\angle ACF</math>와 <math>\angle FCB</math>는 모두 양의 부호를 취한다. 따라서 이들의 사인 값은 모두 양수이다. 만약 <math>F</math>가 <math>B</math>에 더 가까운 외분점이라면, <math>CA</math>에서 <math>CF</math>로 회전하는 방향은 시계 반대 방향이나, <math>CF</math>에서 <math>CB</math>로 회전하는 방향은 시계 방향이므로, <math>\angle ACF</math>와 <math>\angle FCB</math>는 각각 양과 음의 부호를 취한다. 따라서 이들의 사인 값은 각각 양수와 음수이다. 만약 <math>F</math>가 <math>A</math>에 더 가까운 외분점이라면, <math>\angle ACF</math>와 <math>\angle FCB</math>는 각각 음과 양의 부호를 취하며, 이들의 사인 값은 각각 음수와 양수이다. 따라서, 두 번째 조건이 만족되려면 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math> 가운데 정확히 짝수 개가 외분점이어야 한다.

=== 각 변의 중점에 대한 반사의 성질 ===
점 <math>D</math>와 <math>D'</math>, <math>E</math>와 <math>E'</math>, <math>F</math>와 <math>F'</math>이 [[삼각형]] <math>ABC</math>의 각 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 직선 위의 점이며, 서로 각 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 [[중점 (기하학)|중점]]에 대한 [[반사 (기하학)|반사]]상이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>는 공점선이다.
* <math>AD'</math>, <math>BE'</math>, <math>CF'</math>은 공점선이다.
이는 각 변의 직선 위 두 점의 단순비가 서로 역수이기 때문이다.

=== 공원점의 성질 ===
점 <math>D</math>와 <math>D'</math>, <math>E</math>와 <math>E'</math>, <math>F</math>와 <math>F'</math>이 [[삼각형]] <math>ABC</math>의 각 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 직선 위의 점이며, 이 6개의 점이 [[공원점]]을 이룬다고 하자. (즉, 삼각형 <math>DEF</math>와 <math>D'E'F'</math>의 [[외접원]]은 같다고 하자.) 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>는 공점선이다.
* <math>AD'</math>, <math>BE'</math>, <math>CF'</math>은 공점선이다.
이는 [[방멱 정리]]를 통해 증명할 수 있다.

=== 중선의 성질 ===
삼각형의 세 [[중선]]은 [[공점선]]이며, 삼각형의 [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]에서 만난다. 이는 세 중점의 단순비가 모두 1이기 때문이다.

=== 각의 이등분선의 성질 ===
삼각형의 세 [[내각의 이등분선]]은 공점선이며, 삼각형의 [[내심]]에서 만난다. 삼각형의 두 [[외각의 이등분선]]과 남은 한 내각의 이등분선 역시 공점선이며, 이들은 삼각형의 한 [[방심]]에서 만난다. 이는 [[각의 이등분선 정리]]에 의하여 내각 또는 외각의 이등분선과 대변의 교점의 단순비의 절댓값이 각의 두 이웃변의 길이의 비율과 같기 때문이다.

== 역사 ==
1678년에 [[이탈리아]]의 수학자 [[조반니 체바]]가 처음 제시한 것으로 알려졌으나, 11세기 [[사라고사 타이파]]의 왕 [[유수프 알무타만 이븐 후드]]가 먼저 발견하였다.<ref name="Holme">{{서적 인용
|성=Holme
|이름=Audun
|제목=Geometry
|url=https://archive.org/details/geometryourcultr0000holm_2nded
|언어=en
|판=2
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2010
|isbn=978-3-642-14440-0
|doi=10.1007/978-3-642-14441-7
}}</ref>{{rp|193-194, §5.8}}

== 같이 보기 ==
* [[체바 직선]]
* [[하루키 정리]]
* [[메넬라오스 정리]]
* [[각체바 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Ceva theorem}}
* {{매스월드|id=CevasTheorem|title=Ceva's theorem}}

[[분류:아핀기하학]]
[[분류:삼각형에 대한 정리]]
[[분류:유클리드 평면기하학]]