체르멜로-프렝켈 집합론 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서, '''선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론'''(選擇公理를追加한Zermelo-Fraenkel集合論, {{llang|en|Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice}}, 약자 ZFC)은 [[공리적 집합론]]의 하나이다. 현대 수학의 표준적인 [[수학기초론]]으로 사용된다.

== 정의 ==
'''선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론'''은 [[1차 논리]]를 기반으로 하는 1차 [[집합론]]이며, 등호 밖에 하나의 [[이항 관계]] <math>\in</math>만을 가진다. [[논의 영역]]은 '''[[집합]]'''들이다 (집합은 공리를 통해 묘사되기만 할 뿐 직접적으로 정의되지는 않는다). 이항 관계 <math>a\in b</math>는 "<math>a</math>가 <math>b</math>의 '''원소'''"라고 읽는다.
:<math>\forall x\in y\colon\phi</math>
:<math>\exists x\in y\colon\phi</math>
는 각각
:<math>\forall x\colon x\in y\implies\phi</math>
:<math>\exists x\colon x\in y\land\phi</math>
를 줄여 쓴 것이다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리계는 다음과 같은 공리 7개 및 공리꼴 2개로 정의된다. 이들은 통상적인 [[1차 논리|1차]] [[술어 논리]] 공리들에 추가로 가정한 것이다. 

'''체르멜로-프렝켈 공리계'''(ZF)는 ZFC에서 [[선택 공리]]를 제외한 것이며, '''체르멜로 공리계'''(Z)는 ZFC에서 선택 · 정칙성 · 치환 공리(꼴)를 제외한 것이다.

=== 집합의 기본 성질 ===
확장공리와 정칙성 공리는 ZFC에서 쓰이는, 집합의 기본적인 성질들을 나타낸다. 즉, 집합은 순서 및 다른 추가 성질을 갖지 않는 구조이며 (확장성), 스스로를 포함하거나 기타 재귀적인 포함 관계를 가지지 못한다 (정칙성).
<ol>
<li value=1> '''확장 공리'''({{llang|en|axiom of extensionality}}) 혹은 '''외연 공리''': 포함하는 원소가 전부 같은 두 집합은 서로 동일하다. 즉, 이는 사실상 집합의 동일함이 무엇인지를 정의한다. 확장 공리의 역은 서로 같은 집합이 포함하는 원소가 같다는 명제이며, 이는 이미 1차 논리의 공리이다.
:<math>\forall x\forall y\colon(\forall z\colon z\in x\iff z\in y)\implies x=y</math>

<li value=2> '''[[정칙성 공리]]'''({{llang|en|axiom of regularity}}) 혹은 '''기초 공리'''({{llang|en|axiom of foundation}}): [[공집합]]이 아닌 모든 집합은 자신과 [[서로소 집합|서로소]]인 원소를 포함한다. 이에 따라, 스스로를 원소로 포함하는 집합이나, 스스로를 원소의 원소로 포함하는 집합 등은 존재할 수 없다. 사실, 정칙성 공리를 가정하면 이는 모든 모임 위에서도 성립하게 된다 ([[정초 관계#정초 모임]] 참고).
:<math>\forall x\colon(\exists y\colon y\in x)\implies(\exists y\in x\lnot\exists z\colon z\in x\land z\in y)</math>
</ol>

=== 집합의 구성 ===
분류·치환 공리꼴과 짝·합집합·멱집합 공리들은 주어진 집합으로부터 새로운 집합을 구성하는 방법들을 정의한다. 즉, 이미 구성된 집합들로부터, 이들의 [[순서쌍]]·[[합집합]]·[[멱집합]]을 정의할 수 있으며, 또한 이미 구성된 집합에 주어진 성질을 만족시키는 부분집합을 취하거나 (분류 공리꼴), [[함수]]에 대한 [[상 (수학)|상]]을 취할 수 있다 (치환 공리꼴).
<ol>
<li value=3> '''분류 공리꼴'''({{llang|en|axiom schema of specification}}): <math>z</math>가 집합이고 <math>\phi</math>가 그 원소들이 만족할 수 있는 성질일 때, 이를 만족하는 것들로 이루어진 <math>z</math>의 부분 집합이 존재한다. 여기에서 원소의 범위를 집합 <math>z</math>로 제한하는 것은 [[러셀의 역설]] 등 역설을 피하기 위함이다. 1차 논리에서는 성질에 한정 기호를 가할 수 없으므로, 이는 낱개의 공리로 나타낼 수 없으며, 각 성질들에 대응하는 "무한 개"의 공리들로 구성된다. <math>x,w_1,\ldots,w_n</math> 또는 <math>x,z,w_1,\ldots,w_n</math>을 자유 변수로 가지는 (특히 <math>y</math>를 자유 변수로 갖지 않는) 논리식 <math>\phi</math>에 대하여,
:<math>\forall z\forall w_1\cdots\forall w_n\exists y\forall x\colon x\in y\iff x\in z\land\phi</math>
<li value=4> '''치환 공리꼴'''({{llang|en|axiom schema of replacement}}): 집합을 정의역으로 갖는, 형식적으로 정의된 함수가 있을 때, 그 치역을 포함하는 집합이 존재한다. 보다 엄밀하게 서술하면, <math>x,y,w_1,\ldots,w_n</math> 또는 <math>x,y,A,w_1,\ldots,w_n</math>을 자유변수로 가지는 (특히 <math>B</math>를 자유 변수로 갖지 않는) 논리식 <math>\phi</math>에 대하여,
:<math>\forall A\forall w_1\cdots\forall w_n\colon(\forall x\in A\exists!y\colon\phi)\implies(\exists B\forall x\in A\exists y\in B\colon\phi)</math>
여기에서 한정 기호 <math>\exists!y\colon\psi</math>는 <math>\exists y\colon\psi\land(\forall y'\colon\psi[y'/y]\implies y=y')</math>을 줄여 쓴 것이다. 즉, 성질 <math>\psi</math>를 만족하는 <math>y</math>가 유일하게 존재함을 말한다.

<li value=5> '''짝 공리'''({{llang|en|axiom of pairing}}): 임의의 두 집합에 대해, 둘 모두를 원소로서 포함하는 집합이 존재한다.
:<math>\forall x\forall y\exists z\colon x\in z\land y\in z</math>

<li value=6> '''합집합 공리'''({{llang|en|axiom of union}}): 임의의 집합에 대해, 거기에 포함되는 원소들에 포함되는 원소들을 전부 포함하는 집합이 존재한다.
:<math>\forall\mathcal F\exists A\forall Y\forall x\colon x\in Y\land Y\in\mathcal F\implies x\in A</math>

<li value=7> '''[[멱집합 공리]]''': 임의의 집합 x에 대해, x의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합 y가 존재한다.
:<math>\forall x\exists y\forall z\colon z\subseteq x\implies z\in y</math>
여기에서 <math>z \subseteq x</math>는 <math>\forall q \in z\colon q \in x</math>를 줄여 쓴 것이다.
</ol>

=== 무한 공리와 선택 공리 ===
무한 공리와 선택 공리는 ZFC 공리계에서 비교적 더 논란이 되는 공리들이다. 무한 공리는 [[가산 무한 집합]]의 존재를 가정하며, 여기에 [[멱집합]]을 취하여 더 큰 무한 [[기수 (수학)|기수]]와 [[순서수]]들을 정의할 수 있다. [[선택 공리]]에 따르면, 무한한 수의 집합들에서 각각 하나의 원소를 무작위로 고를 수 있는데, 이 때 고르는 방법은 명시되지 않으며, 일부 경우 명시할 수 없음을 보일 수 있다.
<ol>
<li value=8> '''[[무한 공리]]''': [[공집합]]을 원소로 가지며, 만약 <math>y</math>를 원소로 가진다면 언제나 <math>S(y)</math>도 원소로 가지는 집합 <math>X</math>가 존재한다.
:<math>\exists X\colon\varnothing\in X\land(\forall y\in X\colon S(y)\in X)</math>
여기서 <math>S(x) = x \cup \{x\}</math>이며, 공리 1부터 6까지를 이용해 임의의 집합 <math>x</math>에 대해 <math>S(x)</math>가 유일하게 존재함을 증명할 수 있다. <math>\varnothing</math>은 [[공집합]]으로, 위의 공리들을 이용해 만약 집합이 하나라도 존재한다면 공집합이 유일하게 존재함을 증명할 수 있다. 정칙성 공리에 따라 항상 <math>S(x)\ne x</math>이므로, 이는
:<math>X\supseteq\left\{\varnothing,S(\varnothing),S(S(\varnothing),\dots\right\}</math>
를 의미한다. 이들은 각각 자연수로 정의할 수 있다.
:<math>\varnothing=0</math>
:<math>S(x)=x+1</math>
그렇다면, 이 공리는 자연수의 집합 <math>\mathbb N</math>의 존재를 의미한다. (만약 자연수를 다른 방법으로 정의하고 싶으면, 치환 공리꼴을 사용하여 이를 다른 정의로 번역할 수 있다.)
<li value=9> '''[[선택 공리]]''': 공집합이 아닌 집합들의 집합 <math>X</math>가 주어졌을 때, <math>X</math>의 각 원소로부터 하나씩의 원소를 고르는 함수 <math>f</math>가 존재한다. 즉, 모든 <math>A\in X</math>에 대하여, <math>f</math>는 <math>A</math>의 원소 <math>f(A)\in A</math>를 골라낸다.
:<math>\forall X\colon\varnothing\not\in X\implies\left(\exists f\colon X\to\bigcup X\forall A\in X\colon f(A)\in A\right)</math>
여기서 <math>\bigcup X=\bigcup_{A\in X}A</math>는 <math>X</math>의 모든 원소들의 [[합집합]]이며, 합집합 공리에 따라 존재한다.
</ol>

== 성질 ==
ZFC의 논의 영역은 [[집합]]만을 포함하며, [[고유 모임]]을 포함하지 않는다. [[모임 (집합론)|모임]]을 직접적으로 다루려면 [[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론]]이나 [[모스-켈리 집합론]]을 사용하여야 한다.

ZFC의 모든 집합은 집합으로 구성되어 있으며, 원자({{llang|en|atom}}, {{lang|en|urelement}})를 갖지 않는다. 또한, ZFC의 집합은 정칙적이다. 즉, 정칙성 공리에 의하여
:<math>A=\{A\}=\{\{A\}\}=\cdots</math>
또는
:<math>B=\{C\}=\{\{B\}\}=\{\{\{C\}\}\}=\cdots</math>
와 같은, 무한히 재귀적인 집합이 존재할 수 없다.

체르멜로-프렝켈 집합론의 일부 공리들은 서로 독립적이지 않다. 예를 들어, 나머지 공리들로부터 짝 공리를 유도할 수 있다.
{{증명}}
멱집합 공리에 따라, 집합 <math>\mathcal P(\mathcal P(\varnothing))=\{\varnothing,\mathcal P(\varnothing)\}</math>이 존재한다. 임의의 집합 <math>a,b</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 논리식 <math>\phi</math>를 생각하자.
:<math>(x=\varnothing\land y=a)\lor(x=\mathcal P(\varnothing)\land y=b)</math>
(이는 집합론의 언어 이외의 기호를 사용하지만, 집합론의 언어의 기호만을 사용하도록 번역할 수 있다.) <math>\phi</math>는 <math>x,y</math>를 자유 변수로 가지며, <math>\mathcal P(\mathcal P(\varnothing))</math>의 원소에 대하여 유일한 집합을 대응시킨다. 치환 공리꼴에 따라, <math>\varnothing</math>와 <math>\mathcal P(\varnothing)</math>의 상을 원소로 포함하는 집합이 존재한다. <math>\varnothing</math>의 상은 <math>a</math>이며, <math>\mathcal P(\varnothing)</math>의 상은 <math>b</math>이다.
{{증명 끝}}

=== 상대적 무모순성 ===

==== ZF(C)와 같은 무모순성을 갖는 이론 ====
다음 이론들은 서로 [[등무모순적]]이다.<ref name="Kunen">{{서적 인용|title=Set theory: an introduction to independence proofs|성=Kunen|이름=Kenneth|저자링크=케네스 쿠넌|publisher=North-Holland|날짜=1980|isbn=978-0-444-86839-8|url=http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|총서=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|권=102|zbl=0534.03026|mr=597342|언어=en|확인날짜=2016-08-08|보존url=https://web.archive.org/web/20160911102401/http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|보존날짜=2016-09-11|url-status=dead}}</ref>
* <math>\mathsf{ZF}^-</math>. 이는 <math>\mathsf{ZF}</math>에서 정칙성 공리를 생략한 공리계이다.<ref name="Kunen"/>{{rp|Corollary IV.4.4; 162, Corollary V.2.14}}
* <math>\mathsf{ZF}</math><ref name="Kunen"/>{{rp|Corollary IV.4.4; 162, Corollary V.2.14}}
* <math>\mathsf{ZFC}</math>
* <math>\mathsf{ZFC}</math> + [[도달 불가능한 기수]]가 존재하지 않는다.<ref name="Kunen"/>{{rp|148, Exercise IV.19}}
* <math>\mathsf{ZFC}</math> + [[일반화 연속체 가설]]<ref name="Kunen"/>{{rp|175, Corollary VI.4.9}}
* <math>\mathsf{ZFC}</math> + [[일반화 연속체 가설]] + [[도달 불가능한 기수]]가 존재하지 않는다.<ref name="Kunen"/>{{rp|177, Corollary VI.4.13}}
* <math>\mathsf{ZFC}+V=L</math><ref name="Kunen"/>{{rp|170, Corollary VI.3.4}}
* <math>\mathsf{ZFC}+V=\operatorname{HOD}</math><ref name="Kunen"/>{{rp|172, Corollary VI.3.11}}
* <math>\mathsf{ZFC}+V\ne L+\mathsf{GCH}</math><ref name="Kunen"/>{{rp|211, VII.5.17}}
* <math>\mathsf{ZFC}+2^{\aleph_0}=\aleph_2</math><ref name="Kunen"/>{{rp|209, Corollary VII.5.15}}
* <math>\mathsf{ZF}+\lnot\mathsf{AC}</math><ref name="Kunen"/>{{rp|245, Exercise VII.E4}}
* <math>\mathsf{ZFC}^-+\exists x\colon x=\{x\}</math><ref name="Kunen"/>{{rp|148, Exercise IV.19}}
* <math>\mathsf{NBG}</math> ([[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론]]). 이는 <math>\mathsf{ZFC}</math>의 [[보존적 확장]]이다. 즉, 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 서로 동치다.

==== ZF(C)보다 약한 이론 ====
다음과 같은 이론들은 <math>\mathsf{ZF(C)}</math>에 대하여 [[무모순적 이론|상대적으로 무모순적]]이지만 그 역은 성립하지 않는다.

:<math>\mathsf{ZF}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{PA})</math>
이며,
:<math>\operatorname{Con}(\mathsf{ZF-I})\iff\operatorname{Con}(\mathsf{PA})</math>
이다.<ref name="Kunen"/>{{rp|149, IV.30}}<ref>{{저널 인용|이름=Richard|성=Kaye|이름2=Tin Lok|성2=Wong|mr=2357524|저널=Notre Dame Journal of Formal Logic|제목=On interpretations of arithmetic and set theory|권=48|호=4|날짜=2007|쪽=497–510|doi=10.1305/ndjfl/1193667707|zbl=1137.03019|issn=0029-4527|언어=en}}</ref> 여기서 <math>\mathsf{PA}</math>는 [[페아노 공리계]]이며, <math>\mathsf{ZF-I}</math>는 체르멜로-프렝켈 집합론에서 무한 공리를 생략한 것이다. 따라서, (만약 <math>\mathsf{ZF(C)}</math>가 무모순적이라면) <math>\mathsf{ZF(C)}</math>는 <math>\mathsf{ZF-I}</math>보다 무모순성에 따르면 더 강력하다. 물론, <math>\mathbb N\models\mathsf{PA}</math>이다.

마찬가지로, 다음이 성립한다.<ref name="Kunen"/>{{rp|132, Theorem IV.6.5}}
:<math>\mathsf{ZFC}\vdash\operatorname{Con}\left(\mathsf{ZFC-P}\right)</math>
여기서 <math>\mathsf{ZFC-P}</math>는 <math>\mathsf{ZFC}</math>에서 멱집합 공리를 제거하고, 대신 "모든 집합이 [[가산 집합]]이다"를 추가한 것이다. 사실, <math>H_{\aleph_1}\models \mathsf{ZFC-P}</math>이다. 여기서 <math>H_{\aleph_1}</math>은 유전적 가산 집합들의 집합이다.

마찬가지로, 다음이 성립한다.<ref name="Kunen"/>{{rp|123, Theorem IV.3.13}}
:<math>\mathsf{ZFC}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC-I}+\lnot\mathsf I)</math>
여기서 <math>\mathsf{ZFC-I}+\lnot\mathsf I</math>는 <math>\mathsf{ZFC}</math>에서 무한 공리를 제거하고, 대신 그 부정을 추가한 것이다. 사실, <math>V_\omega\models \mathsf{ZFC-I}+\lnot\mathsf I</math>이다.<ref>{{서적 인용|last1=Roitman|first1=Judith|title=Introduction to Modern Set Theory|year=2011|origyear=1990|publisher = Virginia Commonwealth University|isbn=978-0-9824062-4-3}}</ref>{{rp|136}}<ref>{{서적 인용|last1=Cohen|first1=Paul Joseph|title=Set theory and the continuum hypothesis|url=https://archive.org/details/settheorycontinu0000cohe|year=2008|origyear=1966|publisher=Dover Publications|location=Mineola, New York|isbn=978-0-486-46921-8}}</ref>{{rp|54}} 여기서 <math>V_\omega</math>는 유전적 유한 집합들의 집합(즉, [[폰 노이만 전체]]의 <math>\omega</math>번째 단계)이다.

마찬가지로, 다음이 성립한다.<ref name="Kunen2011">{{서적 인용|성=Kunen|이름=Kenneth|저자링크=케네스 쿠넌|제목=Set theory|언어=en|총서=Studies in Logic (London)|권=34|출판사=College Publications|위치=London|날짜=2011|isbn=978-1-84890-050-9|mr=2905394|zbl=1262.03001|id={{iaid|settheory0000kune}}}}</ref>{{rp|110, Theorem II.2.2}}
:<math>\mathsf{ZFC}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}-\mathsf R+\lnot\mathsf R)</math>
여기서 <math>\mathsf{ZFC}-\mathsf R+\lnot\mathsf R</math>는 <math>\mathsf{ZFC}</math>에서 치환 공리꼴을 그 부정으로 대체한 것이다. 사실, <math>V_{\omega + \omega}\models\mathsf{ZFC}-\mathsf R+\lnot\mathsf R</math>이다.<ref>{{harvnb|Smullyan|Fitting|2010||pp=96}}</ref>

==== ZFC보다 강한 이론 ====
[[모스-켈리 집합론]]({{llang|en|Morse–Kelley set theory}}) MK는 ZFC의 무모순성을 증명할 수 있어 ZFC보다 더 강한 이론이다.<ref name="Kunen2011" />{{rp|152, Exercise II.10.2}} 사실, MK의 유한한 수의 정리들을 공리들로 하는 이론 <math>T\subset\mathsf{MK}</math>에 대하여,
:<math>\mathsf{MK}\vdash\operatorname{Con}(T)</math>
이며, 특히 <math>T=\mathsf{NBG}</math>인 경우
:<math>\mathsf{MK}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{NBG})</math>
:<math>\operatorname{Con}(\mathsf{NBG})\iff\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC})</math>
이다.

만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC는 [[도달 불가능한 기수]](및 기타 [[큰 기수]])의 존재를 증명할 수 없다. 이는 ZFC+도달 불가능한 기수의 존재로부터 ZFC의 무모순성을 증명할 수 있기 때문이다. 사실,
:<math>\mathsf{ZFC}+\operatorname{Inacc}\ne\varnothing\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{MK})</math>
인데, 이는 [[도달 불가능한 기수]] <math>\kappa</math>에 대하여 <math>V_{\kappa+1}\models\mathsf{MK}</math>이기 때문이다.

마찬가지로, ZF+[[약하게 도달 불가능한 기수]]의 존재는 ZFC의 무모순성을 보일 수 있다.

=== 유한 공리화의 불가능성 ===
ZFC는 공리꼴({{llang|en|axiom schema}})을 포함하고 있으므로, 실제로는 [[무한]]히 많은 수의 공리들로 이루어져 있다. [[리처드 몬터규]]는 1961년에 ZFC도 ZF도 (만약 무모순적이라면) 유한개의 공리로는 대체될 수 없음을 증명했다. 사실, ZFC의 유한 부분 이론 <math>T\subset\operatorname{Th}(\mathsf{ZFC})</math>에 대하여, 항상
:<math>\mathsf{ZFC}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}-\mathsf R+T)</math>
이다.<ref name="Kunen2011" />{{rp|131, Corollary II.5.4}} 반면, [[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론]](NBG)은 유한 개의 공리로 공리화할 수 있다.

== 역사 ==
1890년대의 [[칸토어 역설]]의 발견과 1901년의 [[러셀의 역설]]의 발견으로, 엄밀한 수학기초론의 필요성이 대두되었다.

1904년에 [[에른스트 체르멜로]]는 [[정렬 정리]]를 증명하기 위하여 [[선택 공리]]를 도입하였다. 1908년, [[에른스트 체르멜로]]는 최초의 [[공리적 집합론]]인 체르멜로 집합론을 발표했다.<ref>{{저널 인용|authorlink=에른스트 체르멜로|first=Ernst|last= Zermelo|날짜=1908|title=Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I|journal=Mathematische Annalen |volume=65|pages= 261–281|doi= 10.1007/BF01449999|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002262002|jfm=39.0097.03|언어=de}}</ref> 그러나 체르멜로 집합론은 [[순서수]]를 구성하기에 부족하였다. 구체적으로, 체르멜로 집합론에서는 [[알레프 수]] <math>\aleph_\omega</math>를 정의할 수 없다. 또한, 체르멜로의 분류 공리꼴({{llang|de|Axiom der Aussonderung}})에는 "명확한"({{llang|de|definit}}) 성질이라는 표현이 포함되어 있었는데, 이 개념은 엄밀하게 정의되지 않았다.

1907년에 러시아의 수학자 [[드미트리 미리마노프]]({{llang|ru|Дми́трий Семёнович Мирима́нов}})는 집합의 정칙성의 개념을 정의하였고, 이 성질이 체르멜로의 공리계로부터 유도되지 않는다는 사실을 지적하였다.

1910년에 [[헤르만 바일]]은 "명확한" 성질을 [[1차 논리]]로 정의할 수 있는 성질로 정의하였다.<ref>{{저널 인용|성=Weyl|이름=H.|저자링크=헤르만 바일|날짜=1910|제목=Über die Definitionen der mathematischen Grundbegriffe|저널=Mathematisch-naturwissenschaftliche Blätter|권=7|쪽=93–95, 109–113|jfm=41.0089.03|언어=de}}</ref> 1922년에 [[토랄프 스콜렘]] 또한 같은 제안을 하였다.<ref name="Skolem1923">{{서적 인용|성=Skolem|이름=T.|저자링크=토랄프 스콜렘|날짜=1923|장=Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre|제목= Matematikerkrongressen i Helsingfors den 4–7 Juli 1922, Den femte skandinaviska matematikerkongressen, redogörelse|날짜=1923|쪽=217–232|jfm=49.0138.02|언어=de}}</ref>

또한, 1922년에 [[아브라함 프렝켈]]<ref>{{저널 인용|성=Fraenkel|이름=A. A.|저자링크=아브라함 프렝켈|날짜=1922|제목=Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre|저널=Mathematische Annalen|권=86|쪽=230–237|doi=10.1007/BF01457986|jfm= 48.0199.04|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN235181684|언어=de}}</ref>과 스콜렘<ref name="Skolem1923"/> 은 체르멜로의 공리계에 치환 공리꼴({{llang|de|Ersetzungsaxiom}})을 추가하였다. [[존 폰 노이만]]은 여기에 집합의 정칙성을 표현하는 정칙적 공리를 추가하여 ZFC를 완성하였다.

== 같이 보기 ==
* [[수학기초론]]
* [[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Heinz-Dieter|성=Ebbinghaus|날짜=2007|제목=Ernst Zermelo: An Approach to His Life and Work|url=https://archive.org/details/ernstzermeloappr0000ebbi|출판사=Springer|isbn=978-3-540-49551-2|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Peter|성=Hinman|날짜=2005|제목=Fundamentals of Mathematical Logic|출판사=A K Peters|isbn= 978-1-56881-262-5|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Thomas|성=Jech|날짜=2003|제목=Set Theory|url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4|판=The Third Millennium Edition, Revised and Expanded|출판사=Springer|isbn=3-540-44085-2|언어=en|id={{iaid|settheory0000jech_f7i4}}}}
* {{저널 인용|성=Maddy|이름=Penelope|날짜=1988-06|제목=Believing the axioms I|저널=Journal of Symbolic Logic|권=53|호=2|날짜=1988-06|쪽=481–511|jstor=2274520|issn=0022-4812|zbl=0652.03033|mr=0947855|doi=10.2307/2274520|언어=en}}
* {{서적 인용|title=Set Theory and the Continuum Problem|url=https://archive.org/details/settheorycontinu0000smul|last1=Smullyan|first1=Raymond M.|last2=Fitting|first2=Melvin|publisher=Dover|year=2010|origyear=revised and corrected republication of the work originally published in 1996 by Oxford University Press, New York|isbn=978-0-486-47484-7}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=ZFC}}
* {{매스월드|id=Zermelo-FraenkelAxioms|title=Zermelo-Fraenkel axioms}}
* {{매스월드|id=Zermelo-FraenkelSetTheory|title=Zermelo-Fraenkel set thoery}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/ZFC|제목=ZFC|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/|제목=Set theory|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|날짜=2014-10-08|성=Bagaria|이름=Joan|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/settheory-early/|제목=The early development of set theory|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|날짜=2011-07-06|성=Ferreirós|이름=José|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/|제목=Zermelo’s axiomatization of set theory|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|날짜=2013-07-02|성=Hallett|이름=Michael|언어=en}}

{{집합론}}

[[분류:집합론 체계]]
[[분류:수학기초론]]