천-페이턴 인자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{끈 이론}}
'''천-페이턴 인자'''(陳-Paton 因子, {{llang|en|Chan–Paton factor}})는 열린 끈의 끝에 붙어 있는 자유도이다.<ref>{{서적 인용|제목=Concise Encyclopedia of Supersymmetry and Noncommutative Structures in Mathematics and Physics|url=https://archive.org/details/conciseencyclope0000unse_o0z6|장=Chan–Paton Factor|쪽=[https://archive.org/details/conciseencyclope0000unse_o0z6/page/n94 85]|doi=10.1007/1-4020-4522-0_90|이름=Massimo|성=Bianchi|위치=Houten|출판사=Springer|isbn=978-1-4020-1338-6|연도=2004}}</ref> 겹친 [[D-막]]에 의하여 생긴 자유도로 해석할 수 있다. [[끈 이론]]에서 [[게이지 이론|게이지 대칭]]을 도입하는 한 방법이다.

== 전개 ==
[[향 (다양체)|가향]] 열린 끈의 경우 끈의 끝에 [[정수]] <math>\{1,2,\dots,N\}</math> 값을 가질 수 있는 [[자유도]]가 있다고 하자. 그렇다면 이를 한쪽 끝에는 [[기본 표현]] '''N''', 다른 끝에는 반기본 표현 {{overline|'''N'''}}이라고 생각할 수 있다. 이에 따라 총 <math>N^2</math>개의 게이지 장 <math>A_{ij}</math>가 존재하게 되고, 이들은 [[유니터리 군]] U(<math>N</math>)을 이룬다.

비가향 열린 끈의 경우, 방향 역전({{lang|en|orientation reversal}}) 연산자에 대하여 대칭이거나 반대칭일 수 있다. 대칭일 경우엔 총 <math>N(N+1)/2</math>가지가 가능하므로 (<math>N</math>이 짝수일 경우) [[심플렉틱 군]] <math>\operatorname{USp}(N)</math>을 이루며, 반대칭일 경우엔 총 <math>N(N-1)/2</math>가지가 가능하므로 [[특수직교군]] <math>\operatorname{SO}(N)</math>을 이룬다.

=== 비가향 게이지 군의 유도 ===
비가향 게이지 군은 다음과 같이 유도할 수 있다.<ref>Polchinski, pp. 189</ref> <math>N</math>개의 [[D-막]]이 겹쳐 있다고 하자.
비가향 열린 끈의 경우, 끈의 상태는 방향 역전 연산자 <math>\Omega</math>에 대하여 불변하여야 한다. 방향 역전 연산자는 진동 모드의 방향을 바꾸고,
:<math>\Omega\colon\alpha_n\mapsto(-1)^n\alpha_n</math>
또한 천-페이턴 인자 <math>\lambda_{ij}</math>를 다음과 같이 바꾼다.
:<math>\Omega\colon\lambda\mapsto(\gamma\lambda\gamma^{-1})^T</math>.
여기서 <math>\gamma</math>는 임의의 [[행렬]]이다.

<math>\Omega</math>는 천-페이턴 인자뿐만 아니라, 끈의 진동 모드의 방향을 바꾸지만, <math>\Omega^2</math>는 순수하게 천-페이턴 인자에만 작용한다. 비가향 열린 끈의 상태는 <math>\Omega</math>에 불변하여야 하는데, <math>\Omega</math>의 경우 <math>\lambda</math>가 달라져도 진동 모드의 방향이 바뀌어 불변일 수 있지만, <math>\Omega^2</math>의 경우 <math>\lambda</math>에만 작용하므로 <math>\Omega^2(\lambda)=(\lambda^T)^{-1}\gamma\lambda\gamma^{-1}\lambda^T=\lambda</math>이어야 한다. 즉, <math>\gamma^T=\pm\gamma</math>이어야 한다. 이에 따라, <math>\gamma</math>는 [[대칭행렬]]이거나 [[반대칭행렬]]이다.

<math>\gamma</math>가 대칭행렬일 경우를 생각해 보자. 이 경우, [[기저 (선형대수학)|기저]]를 재정의하여 <math>\gamma=1</math> ([[단위행렬]])로 놓을 수 있다. 이 경우, 천-페이턴 인자 <math>\lambda</math>가 대칭이면 방향 역전에 따라 부호가 바뀌지 않고, 반대칭이면 방향 역전에 따라 부호가 바뀐다. 비가향 끈 이론에서 모든 상태는 방향 역전에 따라 바뀌지 않아야 하는데, [[게이지 보손]] 상태 <math>\alpha_1^\mu|0,\lambda\rangle</math>의 경우 진동 모드 <math>\alpha_1</math>에 의하여 부호가 바뀌므로 천-페이턴 인자 <math>\lambda</math>가 <math>N\times N</math> 반대칭 행렬이어야 한다. 반대칭 행렬은 [[직교군]] <math>SO(N)</math>의 [[리 대수]]이므로, 이 경우 [[게이지 이론|게이지 군]]은 <math>SO(N)</math>이다.

<math>\gamma</math>가 반대칭행렬일 경우를 생각해 보자. 이 경우, <math>\gamma</math>는 [[가역행렬|가역]] 반대칭행렬이므로 <math>N</math>은 [[짝수]]다. [[기저 (선형대수학)|기저]]를 재정의하여
:<math>\gamma=\begin{pmatrix}
0&I_{N/2}\\
-I_{N/2}&0
\end{pmatrix}</math>
으로 놓을 수 있다. 여기서 <math>I_{N/2}</math>는 <math>N/2\times N/2</math> [[단위행렬]]이다. 이 경우, 천-페이턴 인자 <math>\lambda</math>가 [[해밀턴 행렬]]({{lang|en|Hamiltonian matrix}}, <math>\gamma\lambda</math>가 대칭행렬인 경우))이면 방향 역전 아래 부호가 바뀌고, 반해밀턴 행렬({{lang|en|anti-Hamiltonian matrix}}, <math>\gamma\lambda</math>가 반대칭행렬인 경우)이면 부호가 바뀌지 않는다. [[게이지 보손]] 상태의 경우 방향 역전 아래 진동 모드의 부호가 바뀌므로, 천-페이턴 인자의 부호도 바뀌어야 한다. 따라서 이 경우 게이지 보손의 천-페이턴 인자는 해밀턴 행렬이다. 해밀턴 행렬들은 [[심플렉틱 군]]의 [[리 대수]]를 이루므로, 이 경우 게이지 군은 <math>\operatorname{USp}(N)</math>이다.

== 역사 ==
잭 페이턴({{llang|en|Jack E. Paton}})과 천홍모({{zh|order=t|t=陳匡武|s=陈匡武|p=Chén Kuāngwŭ|h=천쾅우}}, {{llang|en|Hong-Mo Chan}})가 1969년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|저자=Jack E. Paton, Chan Hong-Mo|제목=Generalized Veneziano model with isospin|저널=Nuclear Physics B|권=10|호=3|쪽=516–520|연도=1969|doi=10.1016/0550-3213(69)90038-8}}</ref> 페이턴과 천은 원래 [[중간자]]를 설명하려고 천-페이턴 인자를 도입하였다. 중간자를 끝에 [[쿼크]]가 달려 있는 열린 끈으로 본다면 쿼크의 색을 나타내는 자유도가 필요했기 때문이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Clifford V.|성=Johnson||제목=D-Branes | 출판사=Cambridge University Press | 연도=2003 | isbn=0-521-80912-6 |url=http://www.cambridge.org/gb/knowledge/isbn/item1169323|언어=en|doi=10.1017/CBO9780511606540}}

{{전거 통제}}

[[분류:끈 이론]]